Pitagorasz-tétel – Képlet, Bizonyítás és Példák

Pitagorasz tétel

Pitagorasz-tétel – A Derékszögű Háromszög Alaptétele

A Pitagorasz-tétel a matematika egyik legfontosabb és legismertebb tétele, amely a derékszögű háromszög oldalai közötti összefüggést írja le. A tétel szerint a befogók négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével.

Ez az alapvető geometriai összefüggés már több mint 2500 éve ismert, és a mai napig széles körben alkalmazzák az építészetben, mérnöki tudományokban, navigációban és a mindennapi életben. A tétel megértése elengedhetetlen a derékszögű háromszög tulajdonságainak elsajátításához.

A Pitagorasz-tétel Képlete

A derékszögű háromszögben jelöljük:

a és b – a befogók (a derékszöget bezáró oldalak)
c – az átfogó (a derékszöggel szemközti oldal, a leghosszabb)

A Pitagorasz-tétel kimondja:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Szavakkal: A két befogó négyzetének összege egyenlő az átfogó négyzetével.

Az átfogó kiszámítása

Ha ismerjük a két befogót (a és b), az átfogó:

c = a^{2} + b^{2}

A befogó kiszámítása

Ha ismerjük az átfogót (c) és az egyik befogót (b), a másik befogó:

a = c^{2} - b^{2}

Tip
💡 Az átfogó mindig a leghosszabb oldal a derékszögű háromszögben, és mindig a 90°-os szöggel szemben található.

A Pitagorasz-tétel Bizonyítása

A Pitagorasz-tételnek több mint 300 ismert bizonyítása van. Íme a két legismertebb:

1. Területi bizonyítás (geometriai)

Rajzoljunk egy nagy négyzetet, amelynek oldala (a + b). Ezt kétféleképpen oszthatjuk fel:

1. módszer: A nagy négyzet területe = $(a + b)^{2}$

2. módszer: 4 egyforma derékszögű háromszög + 1 kisebb négyzet (oldala c)

A területek egyenlősége:

(a + b)^{2} = 4 \cdot \frac{ab}{2} + c^{2}

a^{2} + 2 ab + b^{2} = 2 ab + c^{2}

a^{2} + b^{2} = c^{2}

2. Algebrai bizonyítás (hasonló háromszögekkel)

A derékszögű háromszögben a csúcsból az átfogóra bocsátott magasság két hasonló háromszöget hoz létre. A hasonlóság arányaiból:

\frac{a}{c} = \frac{p}{a} \Rightarrow a^{2} = p \cdot c

\frac{b}{c} = \frac{q}{b} \Rightarrow b^{2} = q \cdot c

Összeadva, és felhasználva, hogy $p + q = c$ :

a^{2} + b^{2} = p c + q c = c (p + q) = c^{2}

Info
ℹ️ A tétel megfordítása is igaz: ha egy háromszög oldalaira $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ , akkor a háromszög derékszögű.

Pitagoraszi Számhármasok

A pitagoraszi számhármasok olyan pozitív egész számok (a, b, c), amelyekre teljesül a Pitagorasz-tétel.

Legismertebb pitagoraszi hármasok

a	b	c	Ellenőrzés
3	4	5	9 + 16 = 25 ✓
5	12	13	25 + 144 = 169 ✓
8	15	17	64 + 225 = 289 ✓
7	24	25	49 + 576 = 625 ✓
20	21	29	400 + 441 = 841 ✓
9	40	41	81 + 1600 = 1681 ✓

Primitív és származtatott hármasok

Primitív hármas: a, b, c legnagyobb közös osztója 1 (pl. 3, 4, 5)
Származtatott hármas: egy primitív hármas k-szorosa (pl. 6, 8, 10 a 3, 4, 5 kétszerese)

Pitagoraszi hármasok generálása

Bármely primitív pitagoraszi hármas előállítható két pozitív egész számból (m > n):

a = m^{2} - n^{2}, b = 2 mn, c = m^{2} + n^{2}

m	n	a	b	c
2	1	3	4	5
3	2	5	12	13
4	1	15	8	17
4	3	7	24	25

Tip
💡 A (3, 4, 5) hármas a legkisebb pitagoraszi számhármas, és az építkezésen gyakran használják derékszög ellenőrzésére.

Pitagorasz-tétel Példák Lépésről Lépésre

Példa 1: Átfogó számítása

Feladat: Egy derékszögű háromszög befogói 6 cm és 8 cm. Mennyi az átfogó?

Megoldás:

A. Képlet felírása:

c = a^{2} + b^{2}

B. Értékek behelyettesítése:

c = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100

C. Eredmény:

c = 10 cm

Válasz: Az átfogó 10 cm.

Példa 2: Befogó számítása

Feladat: Egy derékszögű háromszög átfogója 13 cm, egyik befogója 5 cm. Mennyi a másik befogó?

Megoldás:

A. Képlet átrendezése:

a = c^{2} - b^{2}

B. Értékek behelyettesítése:

a = 1 3^{2} - 5^{2} = 169 - 25 = 144

C. Eredmény:

a = 12 cm

Válasz: A másik befogó 12 cm. (Ez a 5-12-13 pitagoraszi hármas!)

Példa 3: Létra felállítása

Feladat: Egy 5 méteres létrát egy falhoz támasztunk úgy, hogy az alja 3 méterre van a faltól. Milyen magasan éri el a létra a falat?

Megoldás:

A létra, a fal és a talaj derékszögű háromszöget alkot:

Átfogó (c) = létra hossza = 5 m
Egyik befogó (a) = távolság a faltól = 3 m
Másik befogó (b) = magasság = ?

b = c^{2} - a^{2} = 5^{2} - 3^{2} = 25 - 9 = 16 = 4 m

Válasz: A létra 4 méter magasan éri el a falat. (3-4-5 háromszög!)

Példa 4: Átló számítása

Feladat: Egy téglalap oldalai 12 cm és 5 cm. Mennyi az átlója?

Megoldás:

A téglalap átlója a derékszögű háromszög átfogója, ahol a befogók a téglalap oldalai:

d = 1 2^{2} + 5^{2} = 144 + 25 = 169 = 13 cm

Válasz: Az átló 13 cm. (5-12-13 pitagoraszi hármas!)

Példa 5: Két pont távolsága

Feladat: Két pont koordinátái: A(1, 2) és B(4, 6). Mekkora a távolságuk?

Megoldás:

A távolság a Pitagorasz-tétellel számolható:

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

d = (4 - 1)^{2} + (6 - 2)^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5

Válasz: A két pont távolsága 5 egység.

Info
ℹ️ Ez a távolságképlet a koordinátageometriában, amely közvetlenül a Pitagorasz-tételből származik.

A Pitagorasz-tétel Gyakorlati Alkalmazásai

A Pitagorasz-tétel számos területen alkalmazható:

Építészet és mérnöki tudományok

Derékszög ellenőrzése: A 3-4-5 módszer az építkezésen: ha egy háromszög oldalai 3, 4 és 5 egység arányúak, akkor derékszögű.
Tetőszerkezetek: A tetőgerenda hosszának kiszámítása.
Alapozás: Négyzetes alapok átlóinak ellenőrzése.

Navigáció

Távolságszámítás: Két pont közötti legrövidebb út (légvonalban).
GPS rendszerek: Pozíció meghatározása.

Mindennapi élet

Létra biztonságos felállítása: A megfelelő dőlésszög kiszámítása.
TV és monitor méret: Az átló mérete az oldalhosszakból.
Kerítés átlós merevítése.

A Pitagorasz-tétel és a Szögfüggvények

A Pitagorasz-tétel szorosan kapcsolódik a szögfüggvényekhez. A derékszögű háromszögben:

sin^{2} (α) + cos^{2} (α) = 1

Ez a pitagoraszi trigonometrikus azonosság közvetlenül a Pitagorasz-tételből következik, ha az oldalakat a szögfüggvényekkel fejezzük ki.

Kapcsolat a szögfüggvényekkel

Összefüggés	Képlet
Szinusz	$sin (α) = \frac{a}{c}$
Koszinusz	$cos (α) = \frac{b}{c}$
Tangens	$tan (α) = \frac{a}{b}$
Pitagoraszi azonosság	$sin^{2} + cos^{2} = 1$

A Pitagorasz-tétel Általánosítása

Koszinusz-tétel

Nem derékszögű háromszögekre a koszinusz-tétel használható:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab \cdot cos (γ)

Ha $γ = 90°$ , akkor $cos (90°) = 0$ , és visszakapjuk a Pitagorasz-tételt:

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Térbeli kiterjesztés

Három dimenzióban a testátló:

d = a^{2} + b^{2} + c^{2}

Kapcsolódó Témák és Kalkulátorok

Geometria cikkek

Derékszögű háromszög – Részletes áttekintés a derékszögű háromszög tulajdonságairól
Szögfüggvények – Szinusz, koszinusz, tangens és alkalmazásaik

Kalkulátorok

Százalék kalkulátor – Százalékos számítások, arányok

Tip
💡 A derékszögű háromszög kalkulátor segítségével gyorsan ellenőrizheted a Pitagorasz-tétellel végzett számításaidat!

Gyakran Ismételt Kérdések (FAQ)

Mi a Pitagorasz-tétel képlete?

A Pitagorasz-tétel képlete: a² + b² = c², ahol a és b a derékszögű háromszög befogói, c pedig az átfogó (a derékszöggel szemközti oldal). A képlet csak derékszögű háromszögekre érvényes.

Hogyan számolom ki az átfogót a Pitagorasz-tétellel?

Az átfogó (c) kiszámításához vond négyzetgyök alá a befogók négyzetösszegét: c = √(a² + b²). Például ha a = 3 és b = 4, akkor c = √(9 + 16) = √25 = 5.

Hogyan számolom ki az egyik befogót, ha a másik befogót és az átfogót ismerem?

A befogó (a) kiszámításához használd az átrendezett képletet: a = √(c² - b²). Például ha c = 13 és b = 5, akkor a = √(169 - 25) = √144 = 12.

Mik azok a pitagoraszi számhármasok?

A pitagoraszi számhármasok olyan pozitív egész számok (a, b, c), amelyek kielégítik a Pitagorasz-tételt. Legismertebb példák: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25). Ezek többszörösei is pitagoraszi hármasok.

Hogyan bizonyítható a Pitagorasz-tétel?

A Pitagorasz-tétel több mint 300 különböző módon bizonyítható. A legismertebb a területi bizonyítás: egy nagy négyzetet kétféleképpen osztunk fel, és a területek egyenlőségéből következik a² + b² = c².

Működik a Pitagorasz-tétel nem derékszögű háromszögekre is?

Nem, a Pitagorasz-tétel csak derékszögű háromszögekre érvényes. Általános háromszögekre a koszinusz-tétel használható: c² = a² + b² - 2ab·cos(γ), ahol γ a c oldallal szemközti szög.

Mire használható a Pitagorasz-tétel a gyakorlatban?

A Pitagorasz-tétel sokféle gyakorlati alkalmazása van: távolságszámítás, építészeti és mérnöki tervezés, navigáció, derékszög ellenőrzése (3-4-5 módszer), létra biztonságos dőlésszöge, és koordinátageometriai feladatok.

Mi a Pitagorasz-tétel megfordítása?

A Pitagorasz-tétel megfordítása: ha egy háromszög oldalaira teljesül a² + b² = c², akkor a háromszög derékszögű, és a derékszög a c oldallal szemben van. Ezt használják derékszög ellenőrzésére az építkezésen.

Frissítve:2026. február 6.