Másodfokú egyenletek feladatok Oldd meg: x^2 - 5x + 6 = 0
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Azonosítsuk az együtthatókat: a = 1, b = -5, c = 6
2. lépés
Számoljuk ki a diszkriminánst
D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24
→ D = 1 > 0 → két különböző valós gyök
3. lépés
Alkalmazzuk a megoldóképletet
x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}
4. lépés
A két megoldás
x_1 = \frac{5-1}{2} = 2 \qquad x_2 = \frac{5+1}{2} = 3
📌 Végeredmény: x_1 = 2, x_2 = 3
✓ Viète-ellenőrzés: x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5 = -\frac{b}{a} ✓ és x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 3 = 6 = \frac{c}{a} ✓
Oldd meg: x^2 + 4x + 4 = 0
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Együtthatók: a = 1, b = 4, c = 4
2. lépés
Diszkrimináns
D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16
→ D = 0 → egy (kétszeres) gyök
3. lépés
A megoldás
x = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2
4. lépés
Felismerés: (x+2)^2 = 0, tehát x = -2 kétszeres gyök.
📌 Végeredmény: x = -2
✓ Ellenőrzés: (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0 ✓
Oldd meg: 2x^2 + 3x - 5 = 0
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Együtthatók: a = 2, b = 3, c = -5
2. lépés
Diszkrimináns
D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40
→ D = 49 > 0
3. lépés
Megoldóképlet
x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 7}{4}
4. lépés
A két megoldás
x_1 = \frac{-3 + 7}{4} = 1 \qquad x_2 = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{10}{4} = -2{,}5
📌 Végeredmény: x_1 = 1, x_2 = -2{,}5
✓ Viète: x_1 + x_2 = 1 + (-2{,}5) = -1{,}5 = -\frac{3}{2} = -\frac{b}{a} ✓ és x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-2{,}5) = -2{,}5 = -\frac{5}{2} = \frac{c}{a} ✓
Oldd meg: x^2 - 2x + 5 = 0. Van-e valós megoldás?
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Együtthatók: a = 1, b = -2, c = 5
2. lépés
Diszkrimináns
D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20
→ D = -16 < 0
3. lépés
Mivel D < 0, az egyenletnek nincs valós megoldása.
4. lépés
Geometriai értelmezés: az f(x) = x^2 - 2x + 5 parabola a vízszintes tengely felett halad -- nem metszi az x-tengelyt.
📌 Végeredmény: Nincs valós megoldás (D < 0)
✓ Ellenőrzés: a parabola csúcsa x_0 = \frac{2}{2} = 1-nél van, f(1) = 1 - 2 + 5 = 4 > 0, tehát tényleg nem metszi az x-tengelyt ✓
Egy másodfokú egyenlet gyökei x_1 = -3 és x_2 = 7. Írd fel az egyenletet, ha a főegyüttható a = 2!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Használjuk a gyöktényezős alakot: a(x - x_1)(x - x_2) = 0
2(x - (-3))(x - 7) = 0
2. lépés
Egyszerűsítsünk
2(x + 3)(x - 7) = 0
3. lépés
Szorozzuk ki a zárójeleket
(x+3)(x-7) = x^2 - 7x + 3x - 21 = x^2 - 4x - 21
4. lépés
Szorozzunk 2-vel
2x^2 - 8x - 42 = 0
📌 Végeredmény: 2x^2 - 8x - 42 = 0
✓ Viète-ellenőrzés: x_1 + x_2 = -3 + 7 = 4 = -\frac{-8}{2} ✓ és x_1 \cdot x_2 = -3 \cdot 7 = -21 = \frac{-42}{2} ✓
Oldd meg: 3x^2 - 12x = 0 szorzattá alakítással (megoldóképlet nélkül)!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Emeljük ki a közös 3x szorzót
3x(x - 4) = 0
2. lépés
Egy szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla:
3. lépés
1. eset: 3x = 0
x_1 = 0
4. lépés
2. eset: x - 4 = 0
x_2 = 4
📌 Végeredmény: x_1 = 0, x_2 = 4
✓ Ellenőrzés: 3 \cdot 0^2 - 12 \cdot 0 = 0 ✓ és 3 \cdot 4^2 - 12 \cdot 4 = 48 - 48 = 0 ✓
⚠️ Pontosság: A feladatok és megoldások tájékoztató jellegűek, gondosan ellenőriztük őket. Előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd!
a x 2 + b x + c = 0 ( a = 0 )
D = b 2 − 4 a c
A diszkrimináns megmondja, hány valós megoldás van:
D > 0 két különböző valós gyökD = 0 egy gyök (kétszeres gyök)D < 0 nincs valós megoldás
x 1 , 2 = 2 a − b ± D = 2 a − b ± b 2 − 4 a c Ha x 1 x 2 a x 2 + b x + c = 0
x 1 + x 2 = − a b x 1 ⋅ x 2 = a c
A Viète-formulákkal gyorsan ellenőrizheted a megoldásodat: a gyökök összege és szorzata stimmel-e az együtthatókkal?
Ha az egyenletnek van két gyöke (x 1 x 2
a x 2 + b x + c = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 )
A másodfokú egyenletek a 10. osztály központi témája. A megoldóképlet alkalmazása, a diszkrimináns értelmezése és a Viète-formulák ellenőrző szerepe együtt adják azt a tudásbázist, amire az érettségin is szükséged lesz.
Mi a másodfokú egyenlet megoldóképlete?
A másodfokú egyenlet (ax² + bx + c = 0) megoldóképlete: x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a). A gyök alatti kifejezést (b²-4ac) diszkriminánsnak nevezzük.
Mit jelent a diszkrimináns?
A diszkrimináns (D = b²-4ac) megmutatja, hány valós megoldása van az egyenletnek. Ha D > 0: két különböző megoldás. Ha D = 0: egy megoldás (két egyenlő gyök). Ha D < 0: nincs valós megoldás.
Mik a Viète-formulák?
A Viète-formulák összefüggést adnak az ax² + bx + c = 0 egyenlet gyökei (x₁, x₂) és együtthatói között: x₁ + x₂ = -b/a és x₁ · x₂ = c/a. Hasznos ellenőrzésre vagy gyökök kiszámítására az egyenlet megoldása nélkül.
Frissítve: 2026. február 16.
