Másodfokú egyenlet feladatok megoldással

Q: Mi a másodfokú egyenlet megoldóképlete?

A másodfokú egyenlet (ax² + bx + c = 0) megoldóképlete: x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a). A gyök alatti kifejezést (b²-4ac) diszkriminánsnak nevezzük.

Q: Mit jelent a diszkrimináns?

A diszkrimináns (D = b²-4ac) megmutatja, hány valós megoldása van az egyenletnek. Ha D > 0: két különböző megoldás. Ha D = 0: egy megoldás (két egyenlő gyök). Ha D < 0: nincs valós megoldás.

Q: Mik a Viète-formulák?

A Viète-formulák összefüggést adnak az ax² + bx + c = 0 egyenlet gyökei (x₁, x₂) és együtthatói között: x₁ + x₂ = -b/a és x₁ · x₂ = c/a. Hasznos ellenőrzésre vagy gyökök kiszámítására az egyenlet megoldása nélkül.

Másodfokú egyenletek feladatok

1🟢 Könnyű

Oldd meg: x^2 - 5x + 6 = 0

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Azonosítsuk az együtthatókat: a = 1, b = -5, c = 6

2. lépés

Számoljuk ki a diszkriminánst

D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24

→ D = 1 > 0 → két különböző valós gyök

3. lépés

Alkalmazzuk a megoldóképletet

x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}

4. lépés

A két megoldás

x_1 = \frac{5-1}{2} = 2 \qquad x_2 = \frac{5+1}{2} = 3

📌 Végeredmény: x_1 = 2, x_2 = 3

✓ Viète-ellenőrzés: x_1 + x_2 = 2 + 3 = 5 = -\frac{b}{a} ✓ és x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 3 = 6 = \frac{c}{a} ✓

2🟢 Könnyű

Oldd meg: x^2 + 4x + 4 = 0

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Együtthatók: a = 1, b = 4, c = 4

2. lépés

Diszkrimináns

D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16

→ D = 0 → egy (kétszeres) gyök

3. lépés

A megoldás

x = \frac{-4}{2 \cdot 1} = -2

4. lépés

Felismerés: (x+2)^2 = 0, tehát x = -2 kétszeres gyök.

📌 Végeredmény: x = -2

✓ Ellenőrzés: (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0 ✓

3🟡 Közepes

Oldd meg: 2x^2 + 3x - 5 = 0

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Együtthatók: a = 2, b = 3, c = -5

2. lépés

Diszkrimináns

D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40

→ D = 49 > 0

3. lépés

Megoldóképlet

x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 7}{4}

4. lépés

A két megoldás

x_1 = \frac{-3 + 7}{4} = 1 \qquad x_2 = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{10}{4} = -2{,}5

📌 Végeredmény: x_1 = 1, x_2 = -2{,}5

✓ Viète: x_1 + x_2 = 1 + (-2{,}5) = -1{,}5 = -\frac{3}{2} = -\frac{b}{a} ✓ és x_1 \cdot x_2 = 1 \cdot (-2{,}5) = -2{,}5 = -\frac{5}{2} = \frac{c}{a} ✓

4🟡 Közepes

Oldd meg: x^2 - 2x + 5 = 0. Van-e valós megoldás?

Megoldás megtekintése

1. lépés

Együtthatók: a = 1, b = -2, c = 5

2. lépés

Diszkrimináns

D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20

→ D = -16 < 0

3. lépés

Mivel D < 0, az egyenletnek **nincs valós megoldása**.

4. lépés

Geometriai értelmezés: az f(x) = x^2 - 2x + 5 parabola a vízszintes tengely felett halad — nem metszi az x-tengelyt.

📌 Végeredmény: Nincs valós megoldás (D < 0)

✓ Ellenőrzés: a parabola csúcsa x_0 = \frac{2}{2} = 1-nél van, f(1) = 1 - 2 + 5 = 4 > 0, tehát tényleg nem metszi az x-tengelyt ✓

5🔴 Nehéz

Egy másodfokú egyenlet gyökei x_1 = -3 és x_2 = 7. Írd fel az egyenletet, ha a főegyüttható a = 2!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Használjuk a gyöktényezős alakot: a(x - x_1)(x - x_2) = 0

2(x - (-3))(x - 7) = 0

2. lépés

Egyszerűsítsünk

2(x + 3)(x - 7) = 0

3. lépés

Szorozzuk ki a zárójeleket

(x+3)(x-7) = x^2 - 7x + 3x - 21 = x^2 - 4x - 21

4. lépés

Szorozzunk 2-vel

2x^2 - 8x - 42 = 0

📌 Végeredmény: 2x^2 - 8x - 42 = 0

✓ Viète-ellenőrzés: x_1 + x_2 = -3 + 7 = 4 = -\frac{-8}{2} ✓ és x_1 \cdot x_2 = -3 \cdot 7 = -21 = \frac{-42}{2} ✓

6🔴 Nehéz

Oldd meg: 3x^2 - 12x = 0 szorzattá alakítással (megoldóképlet nélkül)!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Emeljük ki a közös 3x szorzót

3x(x - 4) = 0

2. lépés

Egy szorzat pontosan akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla:

3. lépés

**1. eset:** 3x = 0

x_1 = 0

4. lépés

**2. eset:** x - 4 = 0

x_2 = 4

📌 Végeredmény: x_1 = 0, x_2 = 4

✓ Ellenőrzés: 3 \cdot 0^2 - 12 \cdot 0 = 0 ✓ és 3 \cdot 4^2 - 12 \cdot 4 = 48 - 48 = 0 ✓

Info
⚠️ Pontosság: A feladatok és megoldások tájékoztató jellegűek, gondosan ellenőriztük őket. Előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd!

Rövid elméleti összefoglaló

A másodfokú egyenlet általános alakja

a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq = 0)

Diszkrimináns

D = b^{2} - 4 a c

A diszkrimináns megmondja, hány valós megoldás van:

$D > 0$ : két különböző valós gyök
$D = 0$ : egy gyök (kétszeres gyök)
$D < 0$ : nincs valós megoldás

Megoldóképlet

x_{1, 2} = \frac{- b \pm D}{2 a} = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Viète-formulák

Ha $x_{1}$ és $x_{2}$ az $a x^{2} + b x + c = 0$ egyenlet gyökei:

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Tip
A Viète-formulákkal gyorsan ellenőrizheted a megoldásodat: a gyökök összege és szorzata stimmel-e az együtthatókkal?

Gyöktényezős alak

Ha az egyenletnek van két gyöke ( $x_{1}$ és $x_{2}$ ):

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

Feladatok

Összegzés

A másodfokú egyenletek a 10. osztály központi témája. A megoldóképlet alkalmazása, a diszkrimináns értelmezése és a Viète-formulák ellenőrző szerepe együtt adják azt a tudásbázist, amire az érettségin is szükséged lesz.

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Mi a másodfokú egyenlet megoldóképlete?

A másodfokú egyenlet (ax² + bx + c = 0) megoldóképlete: x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a). A gyök alatti kifejezést (b²-4ac) diszkriminánsnak nevezzük.

Mit jelent a diszkrimináns?

A diszkrimináns (D = b²-4ac) megmutatja, hány valós megoldása van az egyenletnek. Ha D > 0: két különböző megoldás. Ha D = 0: egy megoldás (két egyenlő gyök). Ha D < 0: nincs valós megoldás.

Mik a Viète-formulák?

A Viète-formulák összefüggést adnak az ax² + bx + c = 0 egyenlet gyökei (x₁, x₂) és együtthatói között: x₁ + x₂ = -b/a és x₁ · x₂ = c/a. Hasznos ellenőrzésre vagy gyökök kiszámítására az egyenlet megoldása nélkül.

Frissítve:2026. február 16.