Számelmélet feladatok megoldással

Számelmélet feladatok

1🟢 Könnyű

Bontsd fel 120-at prímtényezők szorzatára!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Osszunk a legkisebb prímmel: 120 \div 2 = 60

2. lépés

60 \div 2 = 30, 30 \div 2 = 15, 15 \div 3 = 5, 5 \div 5 = 1

3. lépés

Tehát

120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5

📌 Végeredmény: 120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5

2🟡 Közepes

Add meg a 36 és 48 legnagyobb közös osztóját (LNKO)!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Prímfelbontás: 36 = 2^2 \cdot 3^2, 48 = 2^4 \cdot 3

2. lépés

LNKO: minden közös prímből a kisebb kitevőt vesszük

\text{LNKO} = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12

📌 Végeredmény: \text{LNKO}(36, 48) = 12

3🟡 Közepes

Add meg a 12 és 18 legkisebb közös többszörösét (LKKT)!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Prímfelbontás: 12 = 2^2 \cdot 3, 18 = 2 \cdot 3^2

2. lépés

LKKT: minden prímből a nagyobb kitevőt vesszük

\text{LKKT} = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36

📌 Végeredmény: \text{LKKT}(12, 18) = 36

4🔴 Nehéz

Igazold, hogy \sqrt{2} irracionális szám! (Indirekt bizonyítás vázlata)

Megoldás megtekintése

1. lépés

Tegyük fel indirekt, hogy \sqrt{2} = \frac{p}{q}, ahol p és q egészek, \text{LNKO}(p,q)=1 (egyszerűsített tört)

2. lépés

Négyzetre emelve: 2 = \frac{p^2}{q^2}, tehát p^2 = 2q^2

3. lépés

p^2 páros → p is páros → p = 2k valamely k-ra

4. lépés

Behelyettesítve: (2k)^2 = 2q^2 → 4k^2 = 2q^2 → q^2 = 2k^2 → q is páros

5. lépés

De akkor p és q is páros → nem lehetett egyszerűsített tört → ellentmondás!

📌 Végeredmény: \sqrt{2} irracionális (nem írható fel törtként)

Info
⚠️ Pontosság: A feladatok és megoldások tájékoztató jellegűek, gondosan ellenőriztük őket. Előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd!

Mit fogsz tanulni?

A számelmélet az egész számok tulajdonságaival foglalkozik. Ezen az oldalon az oszthatósági szabályokat, prímszámokat, és a legnagyobb közös osztó (LNKO) / legkisebb közös többszörös (LKKT) számítását gyakorolhatod.

Elméleti összefoglaló

Oszthatósági szabályok

Osztó	Szabály	Példa
$2$	Az utolsó jegy páros	$1234$ ✓
$3$	A jegyösszeg osztható 3-mal	$123$ : $1 + 2 + 3 = 6$ ✓
$4$	Az utolsó két jegy osztható 4-gyel	$1324$ : $24 \div 4 = 6$ ✓
$5$	Az utolsó jegy 0 vagy 5	$1235$ ✓
$9$	A jegyösszeg osztható 9-cel	$729$ : $7 + 2 + 9 = 18$ ✓
$10$	Az utolsó jegy 0	$1230$ ✓

Prímszámok és prímtényezős felbontás

A prímszám 1-nél nagyobb egész szám, amelynek pontosan két osztója van: $1$ és önmaga.

Az első prímszámok: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, \dots$

Minden összetett szám felírható prímszámok szorzataként (prímtényezős felbontás):

60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

LNKO és LKKT

LNKO (legnagyobb közös osztó): prímtényezős felbontásból a közös prímek a kisebb kitevővel:

LNKO (12, 18) = LNKO (2^{2} \cdot 3, 2 \cdot 3^{2}) = 2^{1} \cdot 3^{1} = 6

LKKT (legkisebb közös többszörös): összes prím a nagyobb kitevővel:

LKKT (12, 18) = 2^{2} \cdot 3^{2} = 36

Tip
Hasznos összefüggés: $LNKO (a, b) \cdot LKKT (a, b) = a \cdot b$ . Ezzel ellenőrizheted az eredményed!

Feladatok

Összegzés

A számelmélet alapja a prímtényezős felbontás — ha ezt jól csinálod, az LNKO, LKKT és oszthatósági kérdések mind könnyen megoldhatók. Ne feledd: az LNKO-nál közös prímek kisebbik kitevővel, az LKKT-nál összes prím nagyobbik kitevővel!

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Mi az a prímszám?

A prímszám egy 1-nél nagyobb egész szám, amelynek pontosan két osztója van: 1 és önmaga. Például 2, 3, 5, 7, 11, 13 prímszámok. A 4 nem prím, mert 1, 2, 4 is osztója.

Hogyan számoljuk ki az LNKO-t és az LKKT-t?

LNKO (legnagyobb közös osztó): prímtényezős felbontás, közös prímek a kisebb kitevővel. LKKT (legkisebb közös többszörös): összes prím a nagyobb kitevővel. Például LNKO(12,18) = 6, LKKT(12,18) = 36.

Mire jók az oszthatósági szabályok?

Az oszthatósági szabályokkal gyorsan eldönthetjük, hogy egy szám osztható-e 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, 9-cel stb. anélkül, hogy tényleg el kellene osztanunk. Például: páros szám → osztható 2-vel; jegyösszeg osztható 3-mal → a szám is.

Frissítve:2026. február 18.