Elsőfokú egyenletek feladatok

Q: Mi a különbség a 8. és 9. osztályos egyenletek között?

A 9. osztályban az elsőfokú egyenletek összetettebb formában jelennek meg: paraméteres egyenletek, abszolútértékes egyenletek, és egyenlőtlenségek. Az alap megoldási technika ugyanaz, de több esetet kell vizsgálni.

Q: Hogyan oldjunk meg elsőfokú egyenlőtlenséget?

Az elsőfokú egyenlőtlenség megoldása ugyanúgy történik, mint az egyenleté, egyetlen különbséggel: ha negatív számmal szorzunk vagy osztunk, az egyenlőtlenség iránya megfordul.

Q: Mi az a paraméteres egyenlet?

A paraméteres egyenletben az ismeretlen mellett egy paraméter (pl. a, b, m) is megjelenik, amelynek értéke változhat. A megoldást a paraméter függvényében kell megadni, és meg kell vizsgálni, milyen paraméterértékekre van megoldás.

1🟢 Könnyű

Oldd meg az egyenlőtlenséget: 2x - 5 > 3

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Adjunk 5-öt mindkét oldalhoz

2x - 5 + 5 > 3 + 5

→ 2x > 8

2. lépés

Osszunk 2-vel (pozitív szám, az irány nem fordul meg)

x > 4

📌 Végeredmény: x > 4

✓ Ellenőrzés: x = 5-re: 2 \cdot 5 - 5 = 5 > 3 ✓. x = 3-ra: 2 \cdot 3 - 5 = 1 ot> 3 ✓

2🟢 Könnyű

Oldd meg: -3x + 6 \geq 0

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Vonjunk ki 6-ot mindkét oldalból

-3x \geq -6

2. lépés

Osszunk (-3)-mal -- az irány megfordul!

x \leq \frac{-6}{-3}

→ x \leq 2

📌 Végeredmény: x \leq 2

✓ Ellenőrzés: x = 2: -3 \cdot 2 + 6 = 0 \geq 0 ✓. x = 0: -3 \cdot 0 + 6 = 6 \geq 0 ✓. x = 3: -3 \cdot 3 + 6 = -3 ot\geq 0 ✓

3🟡 Közepes

Oldd meg: |2x - 6| = 10

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Az abszolútérték definíciója szerint két eset van:

2. lépés

1. eset: 2x - 6 = 10

2x = 16

→ x_1 = 8

3. lépés

2. eset: 2x - 6 = -10

2x = -4

→ x_2 = -2

4. lépés

Mindkét megoldás érvényes.

📌 Végeredmény: x_1 = 8 vagy x_2 = -2

✓ Ellenőrzés: |2 \cdot 8 - 6| = |10| = 10 ✓ és |2 \cdot (-2) - 6| = |-10| = 10 ✓

4🟡 Közepes

Oldd meg a paraméteres egyenletet x-re: ax + 3 = 2x + a (vizsgáld meg a értékeit!)

Megoldás megtekintése

1. lépés

Rendezzük: x-es tagok balra, többi jobbra

ax - 2x = a - 3

→ (a - 2)x = a - 3

2. lépés

Ha a eq 2: oszthatunk (a-2)-vel

x = \frac{a - 3}{a - 2}

3. lépés

Ha a = 2: a bal oldal (2-2)x = 0, a jobb 2-3 = -1. Kapjuk: 0 = -1, ami ellentmondás → nincs megoldás.

4. lépés

Tehát: ha a eq 2, akkor x = \frac{a-3}{a-2}. Ha a = 2, nincs megoldás.

📌 Végeredmény: a eq 2: x = \frac{a-3}{a-2}; a = 2: nincs megoldás

✓ Ellenőrzés (a = 5): x = \frac{5-3}{5-2} = \frac{2}{3}. Bal: 5 \cdot \frac{2}{3} + 3 = \frac{19}{3}. Jobb: 2 \cdot \frac{2}{3} + 5 = \frac{19}{3} ✓

5🔴 Nehéz

Oldd meg: |3x + 1| < 7

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

|A| < k (k > 0) ekvivalens: -k < A < k

-7 < 3x + 1 < 7

2. lépés

Vonjunk ki 1-et mindhárom helyről

-8 < 3x < 6

3. lépés

Osszunk 3-mal

-\frac{8}{3} < x < 2

4. lépés

A megoldáshalmaz: x \in \left(-\frac{8}{3};\; 2\right)

📌 Végeredmény: -\frac{8}{3} < x < 2

✓ Ellenőrzés: x = 0: |3 \cdot 0 + 1| = 1 < 7 ✓. x = 2: |7| = 7 ot< 7 (határpont, nem tartozik bele) ✓

6🔴 Nehéz

Oldd meg: \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x+2} = \frac{4}{x^2-4}

Megoldás megtekintése

1. lépés

Figyeld meg: x^2 - 4 = (x-2)(x+2). Értelmezési tartomány: x eq 2 és x eq -2.

2. lépés

Szorozzunk végig (x-2)(x+2)-vel

3(x+2) + 1(x-2) = 4

3. lépés

Bontsuk fel

3x + 6 + x - 2 = 4

→ 4x + 4 = 4

4. lépés

Rendezzük

4x = 0

→ x = 0

5. lépés

x = 0 benne van az értelmezési tartományban (0 eq \pm 2), tehát érvényes.

📌 Végeredmény: x = 0

✓ Ellenőrzés: \frac{3}{0-2} + \frac{1}{0+2} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1 és \frac{4}{0-4} = -1 ✓

Info
⚠️ Pontosság: A feladatok és megoldások tájékoztató jellegűek, gondosan ellenőriztük őket. Előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd!

Rövid elméleti összefoglaló

Elsőfokú egyenlet

Az elsőfokú egyenlet megoldása: $x$ -es tagok az egyik oldalra, számok a másikra, osztás az együtthatóval.

a x + b = c x + d \Rightarrow (a - c) x = d - b \Rightarrow x = \frac{d - b}{a - c}

Elsőfokú egyenlőtlenség

Ugyanaz a megoldás, de negatívval osztva/szorozva az irány megfordul:

- 2 x > 6 \Rightarrow x < - 3

Abszolútértékes egyenlet

$∣ a x + b ∣ = c$ ( $c \geq 0$ ) megoldása két eset vizsgálatával:

1. eset: $a x + b = c$
2. eset: $a x + b = - c$

Ha $c < 0$ , az egyenletnek nincs megoldása.

Feladatok

Összegzés

A 9. osztályos elsőfokú egyenletek az alaptechnikák bővítésén túl megtanítják az esetszétválasztás gondolkodásmódját (abszolútérték, paraméter), ami a későbbi tananyag alapja.

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Mi a különbség a 8. és 9. osztályos egyenletek között?

A 9. osztályban az elsőfokú egyenletek összetettebb formában jelennek meg: paraméteres egyenletek, abszolútértékes egyenletek, és egyenlőtlenségek. Az alap megoldási technika ugyanaz, de több esetet kell vizsgálni.

Hogyan oldjunk meg elsőfokú egyenlőtlenséget?

Az elsőfokú egyenlőtlenség megoldása ugyanúgy történik, mint az egyenleté, egyetlen különbséggel: ha negatív számmal szorzunk vagy osztunk, az egyenlőtlenség iránya megfordul.

Mi az a paraméteres egyenlet?

A paraméteres egyenletben az ismeretlen mellett egy paraméter (pl. a, b, m) is megjelenik, amelynek értéke változhat. A megoldást a paraméter függvényében kell megadni, és meg kell vizsgálni, milyen paraméterértékekre van megoldás.

Frissítve:2026. február 16.

📐

Témazáró dolgozatok — 9. osztály (4 téma, A/B csoport)

Négy témazáró: halmazok, függvények, egyenletrendszerek, valamint elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek és abszolút érték. Mindegyik két párhuzamos csoporttal (A és B, 10–10 feladat), 3 ★ kihívással, Felkészítővel és részpontozott kulccsal. 4 PDF, 92 feladat.

✓ 30 napos garancia✓ Azonnali letöltés✓ Nyomtatható A4 PDF

ettől

1990 Ft

Megnézem →

Előző oldalSzámelmélet feladatok Következő oldalFüggvények feladatok