Elsőfokú egyenlet feladatok megoldással

Q: Mi a különbség a 8. és 9. osztályos egyenletek között?

A 9. osztályban az elsőfokú egyenletek összetettebb formában jelennek meg: paraméteres egyenletek, abszolútértékes egyenletek, és egyenlőtlenségek. Az alap megoldási technika ugyanaz, de több esetet kell vizsgálni.

Q: Hogyan oldjunk meg elsőfokú egyenlőtlenséget?

Az elsőfokú egyenlőtlenség megoldása ugyanúgy történik, mint az egyenleté, egyetlen különbséggel: ha negatív számmal szorzunk vagy osztunk, az egyenlőtlenség iránya megfordul.

Q: Mi az a paraméteres egyenlet?

A paraméteres egyenletben az ismeretlen mellett egy paraméter (pl. a, b, m) is megjelenik, amelynek értéke változhat. A megoldást a paraméter függvényében kell megadni, és meg kell vizsgálni, milyen paraméterértékekre van megoldás.

Elsőfokú egyenletek feladatok

1🟢 Könnyű

Oldd meg az egyenlőtlenséget: 2x - 5 > 3

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Adjunk 5-öt mindkét oldalhoz

2x - 5 + 5 > 3 + 5

→ 2x > 8

2. lépés

Osszunk 2-vel (pozitív szám, az irány nem fordul meg)

x > 4

📌 Végeredmény: x > 4

✓ Ellenőrzés: x = 5-re: 2 \cdot 5 - 5 = 5 > 3 ✓. x = 3-ra: 2 \cdot 3 - 5 = 1 \not> 3 ✓

2🟢 Könnyű

Oldd meg: -3x + 6 \geq 0

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Vonjunk ki 6-ot mindkét oldalból

-3x \geq -6

2. lépés

Osszunk (-3)-mal — az irány megfordul!

x \leq \frac{-6}{-3}

→ x \leq 2

📌 Végeredmény: x \leq 2

✓ Ellenőrzés: x = 2: -3 \cdot 2 + 6 = 0 \geq 0 ✓. x = 0: -3 \cdot 0 + 6 = 6 \geq 0 ✓. x = 3: -3 \cdot 3 + 6 = -3 \not\geq 0 ✓

3🟡 Közepes

Oldd meg: |2x - 6| = 10

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Az abszolútérték definíciója szerint két eset van:

2. lépés

**1. eset:** 2x - 6 = 10

2x = 16

→ x_1 = 8

3. lépés

**2. eset:** 2x - 6 = -10

2x = -4

→ x_2 = -2

4. lépés

Mindkét megoldás érvényes.

📌 Végeredmény: x_1 = 8 vagy x_2 = -2

✓ Ellenőrzés: |2 \cdot 8 - 6| = |10| = 10 ✓ és |2 \cdot (-2) - 6| = |-10| = 10 ✓

4🟡 Közepes

Oldd meg a paraméteres egyenletet x-re: ax + 3 = 2x + a (vizsgáld meg a értékeit!)

Megoldás megtekintése

1. lépés

Rendezzük: x-es tagok balra, többi jobbra

ax - 2x = a - 3

→ (a - 2)x = a - 3

2. lépés

**Ha a \neq 2:** oszthatunk (a-2)-vel

x = \frac{a - 3}{a - 2}

3. lépés

**Ha a = 2:** a bal oldal (2-2)x = 0, a jobb 2-3 = -1. Kapjuk: 0 = -1, ami ellentmondás → **nincs megoldás**.

4. lépés

Tehát: ha a \neq 2, akkor x = \frac{a-3}{a-2}. Ha a = 2, nincs megoldás.

📌 Végeredmény: a \neq 2: x = \frac{a-3}{a-2}; a = 2: nincs megoldás

✓ Ellenőrzés (a = 5): x = \frac{5-3}{5-2} = \frac{2}{3}. Bal: 5 \cdot \frac{2}{3} + 3 = \frac{19}{3}. Jobb: 2 \cdot \frac{2}{3} + 5 = \frac{19}{3} ✓

5🔴 Nehéz

Oldd meg: |3x + 1| < 7

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

|A| < k (k > 0) ekvivalens: -k < A < k

-7 < 3x + 1 < 7

2. lépés

Vonjunk ki 1-et mindhárom helyről

-8 < 3x < 6

3. lépés

Osszunk 3-mal

-\frac{8}{3} < x < 2

4. lépés

A megoldáshalmaz: x \in \left(-\frac{8}{3};\; 2\right)

📌 Végeredmény: -\frac{8}{3} < x < 2

✓ Ellenőrzés: x = 0: |3 \cdot 0 + 1| = 1 < 7 ✓. x = 2: |7| = 7 \not< 7 (határpont, nem tartozik bele) ✓

6🔴 Nehéz

Oldd meg: \frac{3}{x-2} + \frac{1}{x+2} = \frac{4}{x^2-4}

Megoldás megtekintése

1. lépés

Figyeld meg: x^2 - 4 = (x-2)(x+2). Értelmezési tartomány: x \neq 2 és x \neq -2.

2. lépés

Szorozzunk végig (x-2)(x+2)-vel

3(x+2) + 1(x-2) = 4

3. lépés

Bontsuk fel

3x + 6 + x - 2 = 4

→ 4x + 4 = 4

4. lépés

Rendezzük

4x = 0

→ x = 0

5. lépés

x = 0 benne van az értelmezési tartományban (0 \neq \pm 2), tehát érvényes.

📌 Végeredmény: x = 0

✓ Ellenőrzés: \frac{3}{0-2} + \frac{1}{0+2} = -\frac{3}{2} + \frac{1}{2} = -1 és \frac{4}{0-4} = -1 ✓

Info
⚠️ Pontosság: A feladatok és megoldások tájékoztató jellegűek, gondosan ellenőriztük őket. Előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd!

Rövid elméleti összefoglaló