Sorozatok érettségi feladatok megoldással

Sorozatok

1🟢 Könnyű

3 pont

Egy számtani sorozat első eleme a_1 = 5, differenciája d = 3. Add meg a sorozat 20. elemét!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Alkalmazzuk a számtani sorozat n-edik elemének képletét

a_n = a_1 + (n-1) \cdot d

2. lépés

Helyettesítsünk be: n = 20, a_1 = 5, d = 3

a_{20} = 5 + (20-1) \cdot 3 = 5 + 19 \cdot 3

→ a_{20} = 5 + 57 = 62

📌 Végeredmény: a_{20} = 62

✓ Ellenőrzés: a_1 = 5, a_2 = 8, a_3 = 11, ... a sorozat 3-asával nő. 19 lépés \cdot 3 = 57, plusz a kezdő 5, összesen 62 ✓

2🟢 Könnyű

4 pont

Számold ki az első 50 pozitív egész szám összegét!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Az 1, 2, 3, \ldots, 50 sorozat számtani sorozat: a_1 = 1, a_{50} = 50, d = 1.

2. lépés

Alkalmazzuk az összegképletet

S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}

3. lépés

Behelyettesítés

S_{50} = \frac{50 \cdot (1 + 50)}{2} = \frac{50 \cdot 51}{2}

→ S_{50} = \frac{2550}{2} = 1275

📌 Végeredmény: S_{50} = 1275

✓ Ellenőrzés (Gauss-trükk): 1+50 = 51, 2+49 = 51, ... 25 ilyen pár → 25 \cdot 51 = 1275 ✓

3🟡 Közepes

5 pont

Egy mértani sorozat első eleme a_1 = 2, kvóciense q = 3. Mekkora az első 5 elem összege?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A mértani sorozat összegképlete (q \neq 1)

S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}

2. lépés

Helyettesítsünk: a_1 = 2, q = 3, n = 5

S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2}

3. lépés

Számoljuk ki

S_5 = 2 \cdot \frac{242}{2} = 242

📌 Végeredmény: S_5 = 242

✓ Ellenőrzés elemenkénti összeadással: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 = 242 ✓

4🟡 Közepes

6 pont

Egy számtani sorozatban a_3 = 11 és a_7 = 23. Határozd meg a_1-et és d-t!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Írjuk fel a két feltételt a képlettel

a_3 = a_1 + 2d = 11

2. lépés

Második feltétel

a_7 = a_1 + 6d = 23

3. lépés

Vonjuk ki az elsőt a másodikból

(a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 23 - 11

→ 4d = 12 \;\Rightarrow\; d = 3

4. lépés

Visszahelyettesítés az első egyenletbe

a_1 + 2 \cdot 3 = 11

→ a_1 = 11 - 6 = 5

📌 Végeredmény: a_1 = 5, d = 3

✓ Ellenőrzés: a_3 = 5 + 2 \cdot 3 = 11 ✓, a_7 = 5 + 6 \cdot 3 = 23 ✓

5🔴 Nehéz

8 pont

Péter minden év elején 100 000 Ft-ot tesz be egy bankszámlára, amelyre évi 5% kamatot kap (az év végén írják jóvá). Mennyi pénze lesz 3 év végén?

Megoldás megtekintése

1. lépés

Az 1. évben betett pénz 3 évig kamatozik: 100\,000 \cdot 1{,}05^3

2. lépés

A 2. évben betett pénz 2 évig kamatozik: 100\,000 \cdot 1{,}05^2

3. lépés

A 3. évben betett pénz 1 évig kamatozik: 100\,000 \cdot 1{,}05^1

4. lépés

Összesen (mértani sorozat összege, q = 1{,}05, n = 3):

S = 100000 \cdot 1{,}05 \cdot \frac{1{,}05^3 - 1}{1{,}05 - 1}

5. lépés

Számoljuk ki lépésenként: 1{,}05^3 = 1{,}157625

S = 100000 \cdot 1{,}05 \cdot \frac{0{,}157625}{0{,}05}

→ S = 105000 \cdot 3{,}1525 = 331\,012{,}5 Ft

📌 Végeredmény: 331\,012{,}5 Ft

✓ Ellenőrzés elemenkénti: 100000 \cdot 1{,}05^3 = 115\,762{,}5; 100000 \cdot 1{,}05^2 = 110\,250; 100000 \cdot 1{,}05 = 105\,000. Összeg: 331\,012{,}5 Ft ✓

6🔴 Nehéz

10 pont

Egy számtani sorozat első 10 elemének összege S_{10} = 155, és a_1 = 2. Határozd meg a differenciát és a 10. elemet!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Alkalmazzuk az összegképletet

S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1)d]

2. lépés

Behelyettesítés: S_{10} = 155, n = 10, a_1 = 2

155 = \frac{10}{2} \cdot [2 \cdot 2 + 9d]

3. lépés

Egyszerűsítsünk

155 = 5 \cdot (4 + 9d)

→ 31 = 4 + 9d

4. lépés

Megoldjuk

9d = 27

→ d = 3

5. lépés

A 10. elem

a_{10} = 2 + 9 \cdot 3 = 29

📌 Végeredmény: d = 3, a_{10} = 29

✓ Ellenőrzés: S_{10} = \frac{10 \cdot (2 + 29)}{2} = \frac{10 \cdot 31}{2} = 155 ✓

Info
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok az Oktatási Hivatal által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak. A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatói alapján ellenőrizve.

Elméleti összefoglaló

Számtani sorozat

A számtani sorozat olyan sorozat, amelyben bármely két szomszédos elem különbsége állandó. Ezt a különbséget differenciának ( $d$ ) nevezzük.

Az $n$ -edik elem képlete:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d

Az első $n$ elem összege:

S_{n} = \frac{n \cdot ( a _{1} + a _{n} )}{2} = \frac{n}{2} \cdot [2 a_{1} + (n - 1) \cdot d]

Tip
Ha ismered az első és az utolsó elemet, az összeg egyszerűen: „darabszám × (első + utolsó) / 2".

Mértani sorozat

A mértani sorozat olyan sorozat, amelyben bármely két szomszédos elem hányadosa állandó. Ezt a hányadost kvóciensnek ( $q$ ) nevezzük.

Az $n$ -edik elem képlete:

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Az első $n$ elem összege ( $q \neq = 1$ ):

S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}

1. Számtani vs. mértani sorozat összekeverése Ha a feladat „közös különbséget“ említ → számtani. Ha „közös hányadost” → mértani. Szöveges feladatoknál figyelj: „minden évben 500 Ft-tal nő“ = számtani, „minden évben 5%-kal nő” = mértani.

2. Mértani sorozat összege: $q = 1$ eset Ha a kvóciens 1, akkor az összegképlet nem használható (nullával osztanál). Ilyenkor az összeg egyszerűen $S_{n} = n \cdot a_{1}$ .

3. Indexelés hibák A képletben $a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d$ — figyeld, hogy $(n - 1)$ -et kell szorozni, nem $n$ -et! Ha $a_{1} = 3$ és $d = 2$ , akkor $a_{5} = 3 + 4 \cdot 2 = 11$ , nem $3 + 5 \cdot 2 = 13$ .

4. Szöveges feladat: melyik az „első elem"? Érettségi feladatokban az első év, az első hónap vagy az induló érték nem mindig egyértelmű. Olvasd végig a feladatot, mielőtt behelyettesítenél.

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Mi a számtani sorozat képlete?

A számtani sorozat n-edik elemének képlete: aₙ = a₁ + (n-1)·d, ahol a₁ az első elem és d a differencia (közös különbség).

Mi a mértani sorozat összegképlete?

A mértani sorozat első n elemének összege: Sₙ = a₁ · (qⁿ - 1) / (q - 1), ahol q ≠ 1 a kvóciens.

Milyen sorozat feladatok szoktak jönni érettségin?

Középszintű érettségin jellemzően számtani sorozat elemének vagy összegének kiszámítása, mértani sorozat felismerése, és szöveges feladatba ágyazott sorozat-problémák fordulnak elő.

Források

Feladatsorok és javítási útmutatók: Oktatási Hivatal – Érettségi feladatsorok archívum
A feladatok az OH által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak.
A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatói alapján ellenőrizve.

Frissítve:2026. február 16.

Sorozatok

Elméleti összefoglaló

Számtani sorozat

Mértani sorozat

Feladatok

Tipikus buktatók

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Források