2024 május

Q: Hány pont volt elérhető a 2024 májusi emelt szintű matek érettségin?

Összesen 100 pont: az I. rész 36 pontot ért (8 feladat), a II. rész 64 pontot (4 kifejtős feladat, egyenként 16 pont). Minden feladat kötelező.

Q: Milyen témák szerepeltek a 2024 májusi emelt érettségin?

Az emelt szintű érettségi jellemzően tartalmaz: bizonyítási feladatot, komplex geometriai feladatot, függvényanalízist és valószínűségszámítást. A pontos témákat a feladatsor feldolgozása után közöljük.

Q: Mennyivel nehezebb az emelt szintű érettségi a középszintűnél?

Az emelt szint 240 perces (középszint: 180 perc), szerepelnek bizonyítások, és a II. rész mind a 4 feladata kötelező. A feladatok mélyebb matematikai ismeretet és komplex gondolkodást igényelnek.

1🟡 Közepes

3 pont

Adott az A = \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\} alaphalmaz. Legyen B az A azon elemeinek halmaza, amelyek 3-mal oszthatók, és C az A azon elemeinek halmaza, amelyek párosak. Adja meg a B \cup C, B \cap C és \overline{B \cap C} halmazokat!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

B = \{3; 6\} (3-mal oszthatók A-ból)

2. lépés

C = \{2; 4; 6; 8\} (páros elemek A-ból)

3. lépés

B \cup C = \{2; 3; 4; 6; 8\}

4. lépés

B \cap C = \{6\} (mindkettőben: páros ÉS 3-mal osztható)

→ B \cap C = \{6\}

5. lépés

\overline{B \cap C} = A \setminus (B \cap C) = \{1; 2; 3; 4; 5; 7; 8\}

📌 Végeredmény: B \cup C = \{2; 3; 4; 6; 8\}, B \cap C = \{6\}, \overline{B \cap C} = \{1; 2; 3; 4; 5; 7; 8\}

✓ Ellenőrzés: B \cup C ∪ \overline{B \cup C} = A ✓

2🟡 Közepes

4 pont

Adja meg azt a komplex számot, amelynek négyzete -8 + 6i!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Legyen z = a + bi. Akkor z^2 = a^2 - b^2 + 2abi = -8 + 6i

2. lépés

Valós részek: a^2 - b^2 = -8 Képzetes részek: 2ab = 6, tehát ab = 3, b = \frac{3}{a}

3. lépés

Behelyettesítés: a^2 - \frac{9}{a^2} = -8. Legyen t = a^2:

t - \frac{9}{t} = -8 \implies t^2 + 8t - 9 = 0

4. lépés

Megoldás: t = \frac{-8 \pm \sqrt{64+36}}{2} = \frac{-8 \pm 10}{2}, tehát t = 1 (a t = -9 nem jó, mert t = a^2 \geq 0)

5. lépés

a^2 = 1 \Rightarrow a = \pm 1, b = \frac{3}{a}

→ z = 1 + 3i vagy z = -1 - 3i

📌 Végeredmény: z = 1 + 3i vagy z = -1 - 3i

✓ Ellenőrzés: (1+3i)^2 = 1 + 6i + 9i^2 = 1 + 6i - 9 = -8 + 6i ✓

3🟡 Közepes

5 pont

Bizonyítsa be, hogy bármely két egymást követő páratlan szám négyzetének különbsége osztható 8-cal!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Legyen a két egymást követő páratlan szám 2k+1 és 2k+3, ahol k egész

2. lépés

A négyzetek különbsége:

(2k+3)^2 - (2k+1)^2

3. lépés

Szorzattá alakítás (a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)):

= [(2k+3)-(2k+1)] \cdot [(2k+3)+(2k+1)]

4. lépés

Egyszerűsítés:

= 2 \cdot (4k+4) = 8(k+1)

5. lépés

Mivel k egész szám, (k+1) is egész, tehát 8(k+1) osztható 8-cal. ∎

📌 Végeredmény: A különbség mindig 8(k+1) alakú, ami osztható 8-cal.

✓ Ellenőrzés: k=0: 3^2 - 1^2 = 8 = 8 \cdot 1 ✓; k=1: 5^2 - 3^2 = 16 = 8 \cdot 2 ✓

4🟡 Közepes

5 pont

Egy 10 fős társaságból hányféleképpen lehet kiválasztani egy 4 fős bizottságot, ha két meghatározott személy (A és B) nem lehet egyszerre a bizottság tagja?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Összes 4 fős bizottság: \binom{10}{4} = 210

2. lépés

Rossz esetek: A ÉS B is benne van. Ilyenkor a maradék 2 helyre 8-ból választunk:

\binom{8}{2} = 28

3. lépés

Jó esetek: összes − rossz

210 - 28 = 182

→ 182

📌 Végeredmény: 182

5🟡 Közepes

5 pont

Egy mértani sorozat harmadik tagja 12, ötödik tagja 48. Határozza meg a sorozat első tagját és hányadosát, majd számítsa ki az első 6 tag összegét!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

a_3 = a_1 \cdot q^2 = 12 és a_5 = a_1 \cdot q^4 = 48

2. lépés

Osztás: \frac{a_5}{a_3} = q^2 = \frac{48}{12} = 4, tehát q = 2 (pozitív tagok)

→ q = 2

3. lépés

a_1 = \frac{12}{q^2} = \frac{12}{4} = 3

→ a_1 = 3

4. lépés

Összegképlet: S_6 = a_1 \cdot \frac{q^6 - 1}{q - 1} = 3 \cdot \frac{64 - 1}{1} = 3 \cdot 63

→ S_6 = 189

📌 Végeredmény: a_1 = 3, q = 2, S_6 = 189

✓ Tagok: 3, 6, 12, 24, 48, 96. Összeg: 3+6+12+24+48+96 = 189 ✓

6🔴 Nehéz

5 pont

Oldja meg a 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 egyenletet a [0; 2\pi] intervallumon!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Helyettesítés: legyen t = \sin x, ahol t \in [-1; 1]

2t^2 - 3t + 1 = 0

2. lépés

Megoldóképlet:

t = \frac{3 \pm \sqrt{9-8}}{4} = \frac{3 \pm 1}{4}

3. lépés

t_1 = 1 és t_2 = \frac{1}{2} — mindkettő [-1;1]-ben van

4. lépés

\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}

5. lépés

\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} vagy x = \frac{5\pi}{6}

→ x \in \left\{\frac{\pi}{6},\; \frac{\pi}{2},\; \frac{5\pi}{6}\right\}

📌 Végeredmény: x \in \left\{\frac{\pi}{6},\; \frac{\pi}{2},\; \frac{5\pi}{6}\right\}

✓ Ellenőrzés: \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}: 2 \cdot \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 1 = 0 ✓

7🔴 Nehéz

5 pont

Egy dobozban 5 piros és 3 kék golyó van. Visszatevés nélkül húzunk 3 golyót. Mi a valószínűsége, hogy pontosan 2 piros golyót húzunk?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Összes eset: \binom{8}{3} = 56

2. lépés

Kedvező: 2 piros ÉS 1 kék

\binom{5}{2} \cdot \binom{3}{1} = 10 \cdot 3 = 30

3. lépés

Valószínűség:

P = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}

→ P = \frac{15}{28} \approx 0{,}536

📌 Végeredmény: \frac{15}{28}

✓ Ellenőrzés: \frac{15}{28} \approx 53{,}6\% — reális érték 2 piros húzásánál 5-ből ✓

8🔴 Nehéz

6 pont

Adott az f(x) = \ln(x^2 - 4) függvény. Határozza meg az értelmezési tartományát, és vizsgálja meg, hogy a függvény páros, páratlan, vagy egyik sem!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Értelmezési tartomány: x^2 - 4 > 0, azaz x^2 > 4

x < -2 \text{ vagy } x > 2

2. lépés

Tehát D_f = (-\infty; -2) \cup (2; +\infty)

3. lépés

Párosság vizsgálata: f(-x) = \ln((-x)^2 - 4) = \ln(x^2 - 4) = f(x)

4. lépés

Mivel f(-x) = f(x) minden x \in D_f-re, és D_f szimmetrikus az origóra:

→ A függvény páros.

📌 Végeredmény: D_f = (-\infty; -2) \cup (2; +\infty), a függvény páros.

✓ Ellenőrzés: f(3) = \ln 5 \approx 1{,}61; f(-3) = \ln 5 \approx 1{,}61 → f(3) = f(-3) ✓

9🔴 Nehéz

16 pont

a) Bizonyítsa be, hogy bármely n pozitív egész számra: 1 + 2 + 4 + \ldots + 2^{n-1} = 2^n - 1. b) Mutassa meg, hogy a 2^{100} - 1 szám osztható 31-gyel!

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Teljes indukció Bázis (n=1): Bal oldal: 1. Jobb oldal: 2^1 - 1 = 1. ✓

2. lépés

Indukciós feltevés: Tegyük fel, hogy n = k-ra igaz: 1 + 2 + \ldots + 2^{k-1} = 2^k - 1

3. lépés

Indukciós lépés (n = k+1):

1 + 2 + \ldots + 2^{k-1} + 2^k = (2^k - 1) + 2^k = 2 \cdot 2^k - 1 = 2^{k+1} - 1

4. lépés

Ez pontosan az állítás n = k+1-re. Tehát az állítás minden pozitív egészre igaz. ∎

5. lépés

b) 2^{100} - 1 = (2^5)^{20} - 1 = 32^{20} - 1

6. lépés

Alkalmazzuk az a^n - 1 = (a-1)(a^{n-1} + a^{n-2} + \ldots + 1) azonosságot a = 32, n = 20-ra:

32^{20} - 1 = (32 - 1)(32^{19} + 32^{18} + \ldots + 1) = 31 \cdot (\ldots)

7. lépés

Tehát 2^{100} - 1 osztható 31-gyel. ∎

📌 Végeredmény: a) Teljes indukcióval bizonyítva. b) 2^{100} - 1 = (2^5)^{20} - 1 = (32)^{20} - 1, osztható 31-gyel.

✓ Ellenőrzés: 2^5 = 32 \equiv 1 \pmod{31}, tehát 2^{100} = (2^5)^{20} \equiv 1^{20} = 1 \pmod{31}, azaz 2^{100} - 1 \equiv 0 \pmod{31} ✓

10🔴 Nehéz

16 pont

A koordináta-rendszerben adott az A(0; 0), B(6; 0), C(4; 4) háromszög. a) Határozza meg az AB oldal felezőmerőlegesének egyenletét! b) Határozza meg a háromszög köré írt kör egyenletét! c) Mekkora a háromszög területe?

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) AB felezőpontja: F_{AB} = (3; 0). Az AB szakasz vízszintes, ezért a felezőmerőlegese függőleges:

→ x = 3

2. lépés

b) A körülírt kör középpontja az AB felezőmerőlegesén van, tehát O(3; y_0) alakú.

3. lépés

|OA|^2 = |OC|^2 feltételből:

9 + y_0^2 = (4-3)^2 + (4-y_0)^2 = 1 + 16 - 8y_0 + y_0^2

4. lépés

Egyszerűsítés: 9 = 17 - 8y_0, tehát 8y_0 = 8

→ y_0 = 1, középpont: O(3; 1)

5. lépés

Sugár: r^2 = |OA|^2 = 3^2 + 1^2 = 10

→ (x-3)^2 + (y-1)^2 = 10

6. lépés

c) Területképlet koordinátákkal:

T = \frac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|

7. lépés

Behelyettesítés:

= \frac{1}{2}|0 \cdot (0-4) + 6 \cdot (4-0) + 4 \cdot (0-0)| = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12

→ T = 12

📌 Végeredmény: a) x = 3; b) (x-3)^2 + (y-1)^2 = 10; c) T = 12

✓ Ellenőrzés: |OB|^2 = (6-3)^2 + (0-1)^2 = 9+1 = 10 ✓; |OC|^2 = (4-3)^2 + (4-1)^2 = 1 + 9 = 10 ✓

11🔴 Nehéz

16 pont

Adott az f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 függvény. a) Határozza meg a függvény lokális szélsőértékeit! b) Hol monoton növekvő, hol monoton csökkenő a függvény? c) Ábrázolja a függvényt a [-1; 4] intervallumon, jelölve a szélsőértékeket és az inflexiós pontot!

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Derivált: f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)

2. lépés

f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0 vagy x = 2

3. lépés

Második derivált: f''(x) = 6x - 6

4. lépés

f''(0) = -6 < 0 → lokális maximum: f(0) = 4

→ Lok. max. (0; 4)

5. lépés

f''(2) = 6 > 0 → lokális minimum: f(2) = 8 - 12 + 4 = 0

→ Lok. min. (2; 0)

6. lépés

b) f'(x) > 0, ha x < 0 vagy x > 2 → növekvő: (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)

7. lépés

f'(x) < 0, ha 0 < x < 2 → csökkenő: (0; 2)

8. lépés

c) Inflexiós pont: f''(x) = 0 \Rightarrow x = 1. f(1) = 1 - 3 + 4 = 2

→ Inflexiós pont: (1; 2)

📌 Végeredmény: a) Lokális max.: f(0) = 4, lokális min.: f(2) = 0. b) Növekvő: (-\infty; 0) \cup (2; +\infty), csökkenő: (0; 2).

✓ Ellenőrzés: f(0) = 4 ✓; f(2) = 0 ✓; f(-1) = -1-3+4 = 0, f(4) = 64-48+4 = 20

12🔴 Nehéz

16 pont

Egy urnában 4 piros és 6 fehér golyó van. Egymás után, visszatevés nélkül húzunk 3 golyót. a) Mi a valószínűsége, hogy mindhárom húzott golyó piros? b) Mi a valószínűsége, hogy pontosan 1 piros golyót húzunk? c) Jelölje X a kihúzott piros golyók számát. Határozza meg az X valószínűségi változó várható értékét!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Összes eset: \binom{10}{3} = 120

2. lépés

a) Mindhárom piros: \binom{4}{3} = 4

P(3P) = \frac{4}{120} = \frac{1}{30}

3. lépés

b) Pontosan 1 piros:

\binom{4}{1} \cdot \binom{6}{2} = 4 \cdot 15 = 60

4. lépés

P(1P) = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}

5. lépés

c) X lehetséges értékei: 0, 1, 2, 3

6. lépés

P(X=0) = \frac{\binom{6}{3}}{120} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}

7. lépés

P(X=1) = \frac{1}{2}, P(X=2) = \frac{\binom{4}{2}\binom{6}{1}}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}, P(X=3) = \frac{1}{30}

8. lépés

Várható érték:

E(X) = 0 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{3}{10} + 3 \cdot \frac{1}{30} = \frac{1}{2} + \frac{3}{5} + \frac{1}{10} = \frac{5+6+1}{10} = \frac{12}{10}

→ E(X) = 1{,}2

📌 Végeredmény: a) \frac{1}{30}; b) \frac{1}{2}; c) E(X) = 1{,}2

✓ Ellenőrzés: \frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{3}{10} + \frac{1}{30} = \frac{5+15+9+1}{30} = \frac{30}{30} = 1 ✓; Gyorsképlet: E(X) = 3 \cdot \frac{4}{10} = 1{,}2 ✓

Info
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok szövege az Oktatási Hivatal által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származik. A lépésenkénti levezetések saját feldolgozások, amelyeket az OH javítási útmutatója alapján ellenőriztünk. Ennek ellenére előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd nekünk!

2024. május — Emelt szintű matematika érettségi

Összpontszám: 100 pont (I. rész: 36 pont, II. rész: 64 pont)

Időtartam: I. rész 90 perc, II. rész 150 perc

I. rész — Feladatok (36 pont, 90 perc)

II. rész — Kifejtős feladatok (64 pont, 150 perc)

A II. rész feladatainak megoldási gondolatmenetét minden esetben részletezni kell.

Összegzés

Rész	Feladatok	Pontszám
I. rész	8 feladat	36 pont
II. rész	4 feladat	64 pont
Összesen	12 feladat	100 pont

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Hány pont volt elérhető a 2024 májusi emelt szintű matek érettségin?

Összesen 100 pont: az I. rész 36 pontot ért (8 feladat), a II. rész 64 pontot (4 kifejtős feladat, egyenként 16 pont). Minden feladat kötelező.

Milyen témák szerepeltek a 2024 májusi emelt érettségin?

Az emelt szintű érettségi jellemzően tartalmaz: bizonyítási feladatot, komplex geometriai feladatot, függvényanalízist és valószínűségszámítást. A pontos témákat a feladatsor feldolgozása után közöljük.

Mennyivel nehezebb az emelt szintű érettségi a középszintűnél?

Az emelt szint 240 perces (középszint: 180 perc), szerepelnek bizonyítások, és a II. rész mind a 4 feladata kötelező. A feladatok mélyebb matematikai ismeretet és komplex gondolkodást igényelnek.

Források

Feladatsor: Oktatási Hivatal – Emelt szintű írásbeli érettségi feladatsorok
Javítási-értékelési útmutató: 2024. május – emelt szint
A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatója alapján ellenőrizve.

Frissítve:2026. február 21.

Előző oldal2024 október Következő oldal2023 október

2024 május

2024. május — Emelt szintű matematika érettségi#

I. rész — Feladatok (36 pont, 90 perc)#

II. rész — Kifejtős feladatok (64 pont, 150 perc)#

Összegzés#

Kapcsolódó tartalmak#

Gyakran ismételt kérdések#

Források#

2024. május — Emelt szintű matematika érettségi

I. rész — Feladatok (36 pont, 90 perc)

II. rész — Kifejtős feladatok (64 pont, 150 perc)

Összegzés

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Források