2025 május Határozza meg a z = \frac{3 + 4i}{1 - 2i} komplex szám algebrai alakját!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Szorzunk a nevező konjugáltjával:
z = \frac{(3+4i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}
2. lépés
Számláló: (3+4i)(1+2i) = 3 + 6i + 4i + 8i^2 = 3 + 10i - 8 = -5 + 10i
3. lépés
Nevező: (1-2i)(1+2i) = 1 + 4 = 5
4. lépés
Eredmény:
z = \frac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i
→ z = -1 + 2i
📌 Végeredmény: z = -1 + 2i
✓ Ellenőrzés: (-1+2i)(1-2i) = -1+2i+2i-4i^2 = -1+4i+4 = 3+4i ✓
Egy 30 fős osztályban 18 diák tanul angolul, 12 németül, és 5 diák mindkét nyelvet tanulja. Hány diák nem tanul sem angolul, sem németül?
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Jelölje A az angolul, N a németül tanulók halmazát
2. lépés
Szita-formula:
|A \cup N| = |A| + |N| - |A \cap N| = 18 + 12 - 5 = 25
3. lépés
Egyik nyelvet sem tanulók:
30 - 25 = 5
→ 5 diák
📌 Végeredmény: 5 diák
✓ Ellenőrzés: Csak angol: 13, csak német: 7, mindkettő: 5, egyik sem: 5 → 13+7+5+5 = 30 ✓
Bizonyítsa be, hogy ha n páratlan pozitív egész szám, akkor n^2 - 1 osztható 8-cal!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Legyen n = 2k+1 (k \geq 0 egész), ekkor:
n^2 - 1 = (2k+1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k + 1 - 1 = 4k(k+1)
2. lépés
Mivel k és k+1 két egymást követő egész szám, az egyikük páros, tehát k(k+1) osztható 2-vel.
3. lépés
Következésképpen 4k(k+1) osztható 4 \cdot 2 = 8-cal. \blacksquare
📌 Végeredmény: n^2 - 1 = 4k(k+1), ami osztható 8-cal, mert k(k+1) páros.
✓ Ellenőrzés: n=3: 9-1=8 ✓; n=5: 25-1=24=8 \cdot 3 ✓; n=7: 49-1=48=8 \cdot 6 ✓
Hányféleképpen ülhet le 5 fiú és 3 lány egy 8 személyes sorba, ha a három lány egymás mellett kell, hogy üljön?
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
A 3 lányt kezeljük egy blokkként. Így 6 egységet (5 fiú + 1 lányblokk) rendezünk:
6! = 720
2. lépés
A lányblokkon belül a 3 lány tetszőleges sorrendben ülhet:
3! = 6
3. lépés
Összesen:
6! \cdot 3! = 720 \cdot 6 = 4320
→ 4320
📌 Végeredmény: 4320
✓ Ellenőrzés: 8! = 40320 az összes lehetőség; 4320 < 40320 és \frac{4320}{40320} \approx 10{,}7\% — reális arány ✓
Egy számtani sorozat első három tagjának összege 21, és az első három tag szorzata 280. Határozza meg a sorozat elemeit!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Legyen a három tag: a-d, a, a+d
2. lépés
Összeg: (a-d) + a + (a+d) = 3a = 21, tehát a = 7
3. lépés
Szorzat: (7-d) \cdot 7 \cdot (7+d) = 280
7(49 - d^2) = 280
4. lépés
Egyszerűsítés:
49 - d^2 = 40 \;\Rightarrow\; d^2 = 9 \;\Rightarrow\; d = \pm 3
5. lépés
d = 3: sorozat 4, 7, 10; d = -3: sorozat 10, 7, 4
→ 4, 7, 10 (vagy fordítva)
📌 Végeredmény: A sorozat elemei: 4, 7, 10 (vagy 10, 7, 4)
✓ Ellenőrzés: 4+7+10 = 21 ✓; 4 \cdot 7 \cdot 10 = 280 ✓
Oldja meg a \cos 2x + 3\sin x - 2 = 0 egyenletet a [0; 2\pi] intervallumon!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Használjuk a \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x azonosságot:
1 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0
2. lépés
Rendezés:
-2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0 \;\Rightarrow\; 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0
3. lépés
Legyen t = \sin x:
2t^2 - 3t + 1 = 0 \;\Rightarrow\; (2t-1)(t-1) = 0
4. lépés
t_1 = \frac{1}{2}, t_2 = 1 — mindkettő [-1; 1]-ben
5. lépés
\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}
6. lépés
\sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} vagy x = \frac{5\pi}{6}
→ x \in \left\{\frac{\pi}{6},\; \frac{\pi}{2},\; \frac{5\pi}{6}\right\}
📌 Végeredmény: x \in \left\{\frac{\pi}{6},\; \frac{\pi}{2},\; \frac{5\pi}{6}\right\}
✓ Ellenőrzés: x = \frac{\pi}{6}: \cos\frac{\pi}{3} + 3 \cdot \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 = 0 ✓
Egy szabályos dobókockával 4-szer dobunk. Mi a valószínűsége, hogy pontosan kétszer dobunk 6-ost?
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Binomiális eloszlás: n = 4, k = 2, p = \frac{1}{6}, q = \frac{5}{6}
2. lépés
Képlet:
P(X=2) = \binom{4}{2} \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^2
3. lépés
Kiszámítás:
= 6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}
→ P = \frac{25}{216} \approx 0{,}1157
📌 Végeredmény: \frac{25}{216}
✓ Ellenőrzés: \frac{25}{216} \approx 11{,}6\% — 4 dobásnál 2 hatos reális valószínűség ✓
Adott az f(x) = e^x(x^2 - 2x) függvény. Határozza meg az f'(x) deriváltat, és a függvény lokális szélsőértékeit!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Szorzat deriváltja: (uv)' = u'v + uv', ahol u = e^x, v = x^2-2x:
f'(x) = e^x(x^2-2x) + e^x(2x-2) = e^x(x^2 - 2)
2. lépés
f'(x) = 0: mivel e^x > 0 mindig, x^2 - 2 = 0
x = \pm\sqrt{2}
3. lépés
f''(x) = e^x(x^2-2) + e^x \cdot 2x = e^x(x^2 + 2x - 2)
4. lépés
f''(-\sqrt{2}) = e^{-\sqrt{2}}(2 - 2\sqrt{2} - 2) = -2\sqrt{2} \cdot e^{-\sqrt{2}} < 0 → lokális maximum
→ f(-\sqrt{2}) = e^{-\sqrt{2}}(2+2\sqrt{2}) \approx 1{,}15
5. lépés
f''(\sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}}(2 + 2\sqrt{2} - 2) = 2\sqrt{2} \cdot e^{\sqrt{2}} > 0 → lokális minimum
→ f(\sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}}(2-2\sqrt{2}) \approx -1{,}56
📌 Végeredmény: Lokális max.: f(-\sqrt{2}) = e^{-\sqrt{2}}(2+2\sqrt{2}) \approx 1{,}15, lokális min.: f(\sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}}(2-2\sqrt{2}) \approx -1{,}56
✓ Ellenőrzés: f'(0) = e^0(0 - 2) = -2 < 0 (csökkenő (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) intervallumon) ✓
a) Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n \geq 1 pozitív egészre: 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} b) Mutassa meg, hogy \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 > \frac{n^3}{3} minden n \geq 1-re!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
a) Teljes indukció
Bázis (n=1): Bal oldal: 1^2 = 1. Jobb oldal: \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1. ✓
2. lépés
Indukciós feltevés: Tegyük fel, hogy n = k-ra igaz:
1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}
3. lépés
Indukciós lépés (n = k+1):
1^2 + 2^2 + \ldots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2
4. lépés
Kiemelés:
= (k+1)\left[\frac{k(2k+1)}{6} + (k+1)\right] = (k+1) \cdot \frac{k(2k+1) + 6(k+1)}{6}
5. lépés
A számlálóban:
k(2k+1) + 6(k+1) = 2k^2 + k + 6k + 6 = 2k^2 + 7k + 6 = (k+2)(2k+3)
6. lépés
Tehát:
\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} = \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}
7. lépés
Ez pontosan az állítás n = k+1-re. \blacksquare
8. lépés
b) Az a) rész alapján elég belátni:
\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} > \frac{n^3}{3}
9. lépés
Egyszerűsítés (n > 0-val osztva):
\frac{(n+1)(2n+1)}{6} > \frac{n^2}{3} \;\Leftrightarrow\; (n+1)(2n+1) > 2n^2
10. lépés
Kifejtés: 2n^2 + 3n + 1 > 2n^2, azaz 3n + 1 > 0, ami igaz minden n \geq 1-re. \blacksquare
📌 Végeredmény: a) Teljes indukcióval bizonyítva. b) Következik az a) részből: \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} > \frac{n^3}{3}.
✓ Ellenőrzés: n=3: 1+4+9=14; \frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} = 14 ✓; \frac{27}{3} = 9 < 14 ✓
A koordináta-rendszerben adottak az A(1; 3), B(5; 1), C(7; 5) pontok. a) Határozza meg az AB oldalhoz tartozó magasságvonal egyenletét! b) Számítsa ki az ABC háromszög területét! c) Határozza meg a háromszög köré írt kör egyenletét!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
a) \vec{AB} = (4; -2), meredeksége: m_{AB} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}
2. lépés
A magasságvonal merőleges AB-re, meredeksége: m_{\perp} = 2. A C(7; 5) ponton megy át:
y - 5 = 2(x - 7) \;\Rightarrow\; 2x - y - 9 = 0
→ 2x - y - 9 = 0
3. lépés
b) Terület koordinátás képlettel:
T = \frac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|
4. lépés
Behelyettesítés:
= \frac{1}{2}|1(1-5) + 5(5-3) + 7(3-1)| = \frac{1}{2}|-4 + 10 + 14| = \frac{20}{2} = 10
→ T = 10
5. lépés
c) A köré írt kör egyenlete: (x-u)^2 + (y-v)^2 = r^2.
6. lépés
|OA|^2 = |OB|^2:
(1-u)^2 + (3-v)^2 = (5-u)^2 + (1-v)^2
7. lépés
Kifejtve: 1-2u+u^2+9-6v+v^2 = 25-10u+u^2+1-2v+v^2
8u - 4v = 16 \;\Rightarrow\; 2u - v = 4 \quad (I)
8. lépés
|OA|^2 = |OC|^2:
(1-u)^2 + (3-v)^2 = (7-u)^2 + (5-v)^2
9. lépés
Kifejtve: 1-2u+9-6v = 49-14u+25-10v
12u + 4v = 64 \;\Rightarrow\; 3u + v = 16 \quad (II)
10. lépés
(I) + (II): 5u = 20 \Rightarrow u = 4; visszahelyettesítve (I)-be: v = 4
→ Középpont: O(4; 4)
11. lépés
r^2 = (1-4)^2 + (3-4)^2 = 9 + 1 = 10
→ (x-4)^2 + (y-4)^2 = 10
📌 Végeredmény: a) 2x - y - 9 = 0; b) T = 10; c) (x-4)^2 + (y-4)^2 = 10
✓ Ellenőrzés: |OB|^2 = 1+9 = 10 ✓; |OC|^2 = 9+1 = 10 ✓
Adott az f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 függvény. a) Határozza meg a függvény lokális szélsőértékeit! b) Határozza meg az inflexiós pont koordinátáit! c) Számítsa ki a görbe alatti terület nagyságát az [0; 1] intervallumon!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
a) f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)
2. lépés
f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1 vagy x = 3
4. lépés
f''(1) = -6 < 0 → lokális maximum:
→ f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5
5. lépés
f''(3) = 6 > 0 → lokális minimum:
→ f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1
6. lépés
b) f''(x) = 0 \Rightarrow 6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2
→ f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3. Inflexiós pont: (2; 3)
7. lépés
c) Az [0; 1] intervallumon f(x) > 0 (mert f(0) = 1, f(1) = 5), tehát:
T = \int_0^1 (x^3 - 6x^2 + 9x + 1)\,dx
8. lépés
Primitív függvény:
\left[\frac{x^4}{4} - 2x^3 + \frac{9x^2}{2} + x\right]_0^1 = \frac{1}{4} - 2 + \frac{9}{2} + 1
9. lépés
Közös nevezőre hozva:
= \frac{1 - 8 + 18 + 4}{4} = \frac{15}{4}
→ T = \frac{15}{4} = 3{,}75
📌 Végeredmény: a) Lok. max.: f(1) = 5, lok. min.: f(3) = 1. b) Inflexiós pont: (2; 3). c) T = \frac{15}{4}.
✓ Ellenőrzés: f(0) = 1, f(1) = 5, trapéz-közelítés: \frac{1+5}{2} \cdot 1 = 3, a pontos \frac{15}{4} = 3{,}75 reális ✓
Egy dobozban 6 piros, 4 kék és 2 zöld golyó van. Visszatevés nélkül húzunk 4 golyót. a) Mi a valószínűsége, hogy mind a 4 húzott golyó piros? b) Mi a valószínűsége, hogy minden színből húzunk legalább egyet? c) Jelölje X a kihúzott piros golyók számát. Határozza meg E(X)-et és D^2(X)-et!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Összes eset: \binom{12}{4} = 495
2. lépés
a) Mind a 4 piros: \binom{6}{4} = 15
P = \frac{15}{495} = \frac{1}{33}
→ P = \frac{1}{33} \approx 0{,}030
3. lépés
b) Minden színből legalább egy. A 4 golyóból kell \geq 1 piros, \geq 1 kék, \geq 1 zöld. Lehetséges eloszlások:
4. lépés
(2P, 1K, 1Z): \binom{6}{2}\binom{4}{1}\binom{2}{1} = 15 \cdot 4 \cdot 2 = 120
5. lépés
(1P, 2K, 1Z): \binom{6}{1}\binom{4}{2}\binom{2}{1} = 6 \cdot 6 \cdot 2 = 72
6. lépés
(1P, 1K, 2Z): \binom{6}{1}\binom{4}{1}\binom{2}{2} = 6 \cdot 4 \cdot 1 = 24
7. lépés
Összesen kedvező:
120 + 72 + 24 = 216
→ P = \frac{216}{495} = \frac{24}{55} \approx 0{,}436
8. lépés
c) Hipergeometrikus eloszlás: X \sim \operatorname{Hyp}(N=12, K=6, n=4)
E(X) = n \cdot \frac{K}{N} = 4 \cdot \frac{6}{12} = 2
9. lépés
Szórásnégyzet:
D^2(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{11} = \frac{8}{11}
→ D^2(X) = \frac{8}{11} \approx 0{,}727
📌 Végeredmény: a) \frac{1}{33}; b) \frac{24}{55}; c) E(X) = 2, D^2(X) = \frac{8}{11}
✓ Ellenőrzés: E(X) = 2 (fele piros, 4-et húzunk) ✓; \frac{1}{33} + \frac{24}{55} stb. összegek \leq 1 ✓
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok szövege az Oktatási Hivatal által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származik. A lépésenkénti levezetések saját feldolgozások, amelyeket az OH javítási útmutatója alapján ellenőriztünk. Ennek ellenére előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd nekünk!
Összpontszám: 100 pont (I. rész: 36 pont, II. rész: 64 pont)
Időtartam: I. rész 90 perc, II. rész 150 perc
A II. rész feladatainak megoldási gondolatmenetét minden esetben részletezni kell.
Rész
Feladatok
Pontszám
I. rész
8 feladat
36 pont
II. rész
4 feladat
64 pont
Összesen 12 feladat 100 pont
Hány pont volt elérhető a 2025 májusi emelt szintű matek érettségin?
Összesen 100 pont: az I. rész 36 pontot ért (8 feladat), a II. rész 64 pontot (4 kifejtős feladat, egyenként 16 pont). Minden feladat kötelező.
Milyen témák szerepeltek a 2025 májusi emelt érettségin?
Az emelt szintű érettségi jellemzően tartalmaz: bizonyítási feladatot, komplex geometriai feladatot, függvényanalízist és valószínűségszámítást. A pontos témákat a feladatsor feldolgozása után közöljük.
Mennyivel nehezebb az emelt szintű érettségi a középszintűnél?
Az emelt szint 240 perces (középszint: 180 perc), szerepelnek bizonyítások, és a II. rész mind a 4 feladata kötelező. A feladatok mélyebb matematikai ismeretet és komplex gondolkodást igényelnek.
Frissítve: 2026. február 21.
📝
Ajánljuk tanuláshoz
Minden közép szintű érettségi témakör egy csomagban: algebra, trigonometria, valószínűség, sorozatok, geometria + 2 teljes mintaérettségi dolgozat. 7 PDF, 82 feladat prémium tanulási réteggel.
✓ 30 napos garancia✓ Azonnali letöltés✓ Nyomtatható A4 PDF