2023 október

Q: Miben különbözött a 2023 októberi érettségi a májusitól?

Az októberi vizsga ugyanolyan struktúrájú volt (I. rész: 30 pont, II. rész: 70 pont). A feladatok nehézsége hasonló szintű, de az októberiben erősebb volt az algebra (kifejezések egyszerűsítése, egyenlőtlenség) és a gyakorlati szöveges feladatok (bérlés, vasúti jegy, párna gyártás).

1🟢 Könnyű

2 pont

Adja meg az 1848 prímtényezős felbontását!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Osztás 2-vel: 1848 : 2 = 924, 924 : 2 = 462, 462 : 2 = 231

2. lépés

Osztás 3-mal: 231 : 3 = 77

3. lépés

Osztás 7-tel: 77 : 7 = 11, ami prím

→ 1848 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11

📌 Végeredmény: 1848 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11

2🟢 Könnyű

2 pont

Egy építkezésre teherautókkal szállítják a homokot. Öt egyforma teherautó mindegyikének nyolcszor kellene fordulnia, hogy az összes homokot odaszállítsák. Hány fordulóval tudná odaszállítani ugyanezt a mennyiségű homokot négy ugyanekkora teherautó?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Összes szükséges forduló (teherautó·forduló): 5 \cdot 8 = 40

2. lépés

Négy teherautóval:

\frac{40}{4}

→ 10 \text{ forduló}

📌 Végeredmény: 10 fordulóval

3🟡 Közepes

4 pont

Egy derékszögű háromszög két befogója 10 és 24 cm hosszú. Számítsa ki az átfogó hosszát, és a 10 cm-es befogóval szemközti szög nagyságát! Válaszát indokolja!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Pitagorasz-tétel:

c = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676}

→ c = 26 \text{ cm}

2. lépés

A 10 cm-es befogóval szemközti szög:

\tan\alpha = \frac{10}{24} \approx 0{,}4167

→ \alpha \approx 22{,}62°

📌 Végeredmény: Átfogó: 26 cm, szög: \approx 22{,}62°

4🟢 Könnyű

2 pont

Válassza ki az alábbi, a valós számok halmazán értelmezett függvények közül azt, amelyik nem vesz fel negatív értéket! A) f(x) = x - 3 B) f(x) = x^2 - 3 C) f(x) = x^2 + 3

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A) f(0) = 0 - 3 = -3 < 0 → felvesz negatív értéket ✗

2. lépés

B) f(0) = 0 - 3 = -3 < 0 → felvesz negatív értéket ✗

3. lépés

C) x^2 \geq 0 minden valós x-re, tehát x^2 + 3 \geq 3 > 0. Sosem negatív ✓

📌 Végeredmény: C

5🟢 Könnyű

2 pont

Egy autók bérbeadásával foglalkozó cég honlapja szerint legfeljebb 5 napra 7500 Ft/nap, legalább 6 napra 6300 Ft/nap a bérlési díj. Mennyivel magasabb a teljes bérleti díj, ha 5 nap helyett 6 napra béreljük?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

5 nap díja: 5 \cdot 7500 = 37\,500 Ft

2. lépés

6 nap díja: 6 \cdot 6300 = 37\,800 Ft

3. lépés

Különbség:

37\,800 - 37\,500

→ 300 \text{ Ft}

📌 Végeredmény: 300 Ft-tal magasabb

6🟢 Könnyű

3 pont

Egy meteorológiai állomáson november első hetében az alábbi napi hőmérsékleti maximumokat mérték (°C-ban): 9, 5, 6, 9, 6, 6, 8. Adja meg az adatok átlagát, terjedelmét és mediánját!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Átlag:

\frac{9 + 5 + 6 + 9 + 6 + 6 + 8}{7} = \frac{49}{7}

→ 7 \text{ °C}

2. lépés

Terjedelem: 9 - 5 = 4 °C

3. lépés

Medián: sorba rendezve: 5, 6, 6, \mathbf{6}, 8, 9, 9 → a középső (4.) elem

→ 6 \text{ °C}

📌 Végeredmény: Átlag: 7 °C, terjedelem: 4 °C, medián: 6 °C

7🟢 Könnyű

2 pont

Egy dobozban 10 piros és néhány zöld golyó van. Tudjuk, hogy ha egy golyót kihúzunk véletlenszerűen, \frac{2}{3} annak a valószínűsége, hogy piros. Hány zöld golyó van a dobozban?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Jelöljük az összes golyó számát n-nel

\frac{10}{n} = \frac{2}{3}

2. lépés

Ebből n = 15, tehát a zöld golyók száma:

15 - 10

→ 5

📌 Végeredmény: 5 zöld golyó

8🟡 Közepes

3 pont

Bontsa fel a zárójeleket az alábbi kifejezésben, és végezze el a lehetséges összevonásokat! Megoldását részletezze! (a + 1)(a - 1) + (a - 4)^2

Megoldás megtekintése

1. lépés

Első tag: (a+1)(a-1) = a^2 - 1

2. lépés

Második tag: (a-4)^2 = a^2 - 8a + 16

3. lépés

Összevonás:

(a^2 - 1) + (a^2 - 8a + 16) = 2a^2 - 8a + 15

→ 2a^2 - 8a + 15

📌 Végeredmény: 2a^2 - 8a + 15

✓ Ellenőrzés a = 0-ra: (1)(-1) + (-4)^2 = -1 + 16 = 15 ✓ és 2 \cdot 0 - 0 + 15 = 15 ✓

9🟢 Könnyű

3 pont

Egy vasúti tartálykocsi tömege üres tartállyal 23,8 tonna. Maximum 60 000 liter üzemanyagot szállíthat. Egy liter üzemanyag tömege 0,85 kg. Hány tonna a tartálykocsi tömege tele tartállyal? Megoldását részletezze!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Az üzemanyag tömege:

60\,000 \cdot 0{,}85 = 51\,000 \text{ kg}

→ = 51 \text{ t}

2. lépés

A tele tartálykocsi tömege:

23{,}8 + 51

→ 74{,}8 \text{ tonna}

📌 Végeredmény: 74{,}8 tonna

10🟢 Könnyű

2 pont

Egy kör egyenlete: (x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 25. Adja meg a kör középpontjának koordinátáit és a kör sugarát!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A kör egyenlete (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 alakú, ahol a középpont (a; b), a sugár r

2. lépés

Leolvasva: középpont (2; 4), sugár \sqrt{25} = 5

📌 Végeredmény: Középpont: (2; 4), sugár: 5

11🟡 Közepes

2 pont

Adja meg a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett f(x) = \sqrt{x} - 3 függvény zérushelyét!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Zérushely: f(x) = 0

\sqrt{x} - 3 = 0

2. lépés

Megoldás:

\sqrt{x} = 3

→ x = 9

📌 Végeredmény: x = 9

12🟡 Közepes

3 pont

Egy szabályos pénzérmét háromszor feldobunk. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a három dobás közül pontosan egy lesz fej! Válaszát indokolja!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Összes eset: 2^3 = 8

2. lépés

Kedvező esetek (pontosan egy fej): FII, IFI, IIF → 3 eset

3. lépés

Valószínűség:

P = \frac{3}{8}

→ 0{,}375

📌 Végeredmény: P = \dfrac{3}{8} = 0{,}375

13🟡 Közepes

12 pont

Adott a valós számok halmazán értelmezett f(x) = (x - 3)^2 + 2 függvény. a) Mit rendel az f függvény az x = 3{,}5-höz? b) Mely számokhoz rendeli az f függvény a 6-ot? c) Válassza ki az f értékkészletét: A: [-3; +\infty), B: [2; +\infty), C: [3; +\infty), D: [2; 3], E: \mathbb{R} d) Oldja meg a 6x - 11 \geq x^2 - 3 egyenlőtlenséget az egész számok halmazán!

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Behelyettesítés:

f(3{,}5) = (3{,}5 - 3)^2 + 2 = 0{,}25 + 2

→ 2{,}25

2. lépés

b) (x-3)^2 + 2 = 6

(x-3)^2 = 4

3. lépés

Megoldás: x - 3 = \pm 2

→ x = 5 \text{ vagy } x = 1

4. lépés

c) Az f egy felfelé nyíló parabola csúccsal a (3; 2) pontban → értékkészlet [2; +\infty)

→ \textbf{B}

5. lépés

d) 6x - 11 \geq x^2 - 3 → x^2 - 6x + 8 \leq 0

(x-2)(x-4) \leq 0

6. lépés

A 2 és 4 között (zárt intervallumban) teljesül: 2 \leq x \leq 4

7. lépés

Egész megoldások:

→ x \in \{2; 3; 4\}

📌 Végeredmény: a) 2{,}25 · b) x = 5 vagy x = 1 · c) B · d) \{2; 3; 4\}

14🔴 Nehéz

13 pont

Az ABCD paralelogramma AB oldala 8 cm, AC átlója 11 cm. Az AB oldal és az AC átló 32°-os szöget zár be. a) Számítsa ki a BC oldal hosszát! b) Számítsa ki a paralelogramma területét! c) Az AC átló felezőpontjából az AB-re bocsátott merőleges talppontja T. Mekkora részekre osztja az AB oldalt a T pont? d) A paralelogrammát a két átlója négy tartományra osztja. Ezeket pirosra, sárgára vagy kékre színezzük úgy, hogy minden színt legalább egyszer használunk, és szomszédos tartományok nem kaphatnak azonos színt. Hányféleképpen?

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) A CAB háromszögben koszinusztétel:

BC^2 = 11^2 + 8^2 - 2 \cdot 11 \cdot 8 \cdot \cos 32°

2. lépés

Számolás:

BC^2 = 121 + 64 - 176 \cdot 0{,}848 \approx 35{,}74

→ BC \approx 6 \text{ cm}

3. lépés

b) A terület a CAB háromszög területének kétszerese:

T = 2 \cdot \frac{11 \cdot 8 \cdot \sin 32°}{2} = 11 \cdot 8 \cdot \sin 32°

→ T \approx 46{,}6 \text{ cm}^2

4. lépés

c) Az AC átló felezőpontjából (AF = 5{,}5 cm) az AB-re bocsátott merőleges talppontja T:

AT = \frac{5{,}5}{\cos 32°} \cdot \cos 32° = 5{,}5 \cdot \cos 32°

→ AT \approx 4{,}66 \text{ cm}

5. lépés

A másik rész: TB = 8 - 4{,}66 \approx 3{,}34 cm

6. lépés

d) 3 szín, 4 tartomány, min. 1 szín mindegyikből, szomszédos nem egyforma → 1 szín kétszer (szemközti tartományokon)

7. lépés

A kétszer használt szín: 3-féle. A szemközti pár: 2-féle. A maradék 2 tartomány a maradék 2 színnel: 2-féle.

3 \cdot 2 \cdot 2

→ 12 \text{ féle}

📌 Végeredmény: a) BC \approx 6 cm · b) T \approx 46{,}6 \text{ cm}^2 · c) AT \approx 4{,}66, TB \approx 3{,}34 cm · d) 12

15🟡 Közepes

11 pont

a) A H alaphalmaz a négyszögek halmaza. A Venn-diagramon 3 részhalmaz látható. Helyezze el: • N: Egy négyzet • T: Egy téglalap (3 és 5 cm oldalak) • R: Egy rombusz (60°-os szöggel) • P: Egy paralelogramma (3 és 5 cm oldalak, 60°-os szög) b) Határozza meg az alábbi állítások logikai értékét! I. Ha az A és a B halmaznak is két eleme van, akkor az A \cup B halmaz négyelemű. II. A kétjegyű négyzetszámok halmazának hat eleme van.

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) A három részhalmaz: téglalapok, rombuszok, paralelogrammák

2. lépés

N (négyzet): téglalap is, rombusz is, paralelogramma is → mindhárom halmaz metszete

3. lépés

T (téglalap 3×5): téglalap és paralelogramma, de nem rombusz (mert oldalai nem egyenlőek)

4. lépés

R (rombusz 60°): rombusz és paralelogramma, de nem téglalap (mert szögei nem derékszögek)

5. lépés

P (paralelogramma 3×5, 60°): paralelogramma, de nem téglalap és nem rombusz

6. lépés

b/I. Hamis. Ellenpélda: A = \{1; 2\}, B = \{1; 3\} → A \cup B = \{1; 2; 3\}, aminek 3 eleme van.

7. lépés

b/II. Igaz. Kétjegyű négyzetszámok: 16, 25, 36, 49, 64, 81 → 6 elem.

📌 Végeredmény: a) N: mindhárom halmaz metszete · T: téglalap · R: rombusz · P: paralelogramma (nem téglalap, nem rombusz) · b) I: hamis, II: igaz

16🔴 Nehéz

17 pont

a) Janka történelemből kapott első három jegye 3, 3, 4. Ezután már csak ötösöket kapott. Hány ötöst kapott, ha a végén 4,5 lett az átlaga? b) Janka a szüleitől havonta annyiszor 1000 Ft zsebpénzt kap, ahányadik évfolyamra jár (1–12). Összesen mennyi zsebpénzt kap a 12 év alatt? c) Egy mértani sorozat hányadosa 3, az első 9 tag összege 59 046. Mi az első és a kilencedik tag? d) 50 000 Ft-ot helyezünk el évi p százalékos kamatos kamatra. Három év múlva 59 046 Ft. Számítsa ki p értékét!

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Jelöljük n-nel az ötösök számát:

\frac{3 + 3 + 4 + 5n}{3 + n} = 4{,}5

2. lépés

10 + 5n = 4{,}5(3 + n) = 13{,}5 + 4{,}5n, tehát 0{,}5n = 3{,}5

→ n = 7

3. lépés

b) Évente kapott összeg: 12 \cdot 1000, 12 \cdot 2000, \ldots, 12 \cdot 12000 → számtani sorozat, a_1 = 12000, d = 12000

S_{12} = \frac{12\,000 + 144\,000}{2} \cdot 12

→ 936\,000 \text{ Ft}

4. lépés

c) Mértani sorozat összegképlete (q = 3):

S_9 = a_1 \cdot \frac{3^9 - 1}{3 - 1} = a_1 \cdot \frac{19682}{2} = 59\,046

5. lépés

Ebből a_1 \cdot 9841 = 59\,046

→ a_1 = 6

6. lépés

A kilencedik tag: a_9 = 6 \cdot 3^8 = 6 \cdot 6561 = 39\,366

7. lépés

d) Kamatos kamat képlet:

50\,000 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^3 = 59\,046

8. lépés

Rendezés:

\left(1 + \frac{p}{100}\right)^3 = 1{,}18092

9. lépés

Köbgyökvonás:

1 + \frac{p}{100} = \sqrt[3]{1{,}18092} \approx 1{,}057

→ p \approx 5{,}7

📌 Végeredmény: a) 7 ötös · b) 936\,000 Ft · c) a_1 = 6, a_9 = 39\,366 · d) p \approx 5{,}7

17🔴 Nehéz

17 pont

Egy gyorsvonat 5 másodosztályú, 1 kerékpárszállító és 1 étkezőkocsiból áll. a) Hányféle sorrendben állíthatók össze, ha a másodosztályúak nem különböztethetők meg? b) Automata kedvezménnyel (5%) 3040 Ft-ot fizettünk. Mi a kedvezmény nélküli ár? c) Havi tanulóbérlet 2140 Ft (30 km). Automatás menetjegy: 280 \cdot 0{,}95 = 266 Ft. Ábel annyiszor utazott, hogy épp megérte bérletet venni (eggyel kevesebbszer nem). Hányszor utazott? d) A Kiss család (2 teljes + 1 db 20%-os + 1 db 50%-os menetjegy + 4 pótjegy) = 7960 Ft. A Nagy család (5 db 90%-os menetjegy + 5 pótjegy) = 1975 Ft. Mennyi a teljes menetjegy és a pótjegy ára?

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) 7 kocsi, ebből 5 egyforma. A kerékpárszállító helye: 7-féle, az étkezőkocsi helye: 6-féle, a többi (5 egyforma) fix:

7 \cdot 6

→ 42 \text{ féle}

2. lépés

b) A kedvezményes ár az eredeti 95%-a:

\frac{3040}{0{,}95}

→ 3200 \text{ Ft}

3. lépés

c) Egy automatás jegy: 280 \cdot 0{,}95 = 266 Ft. A bérlet ára: 2140 Ft.

\frac{2140}{266} \approx 8{,}05

4. lépés

8 jegy még olcsóbb (8 \cdot 266 = 2128 < 2140), de 9 jegy drágább (9 \cdot 266 = 2394 > 2140)

→ 9\text{-szer utazott}

5. lépés

d) Jelölje x a teljes menetjegy árát, y a pótjegy árát:

2x + 0{,}8x + 0{,}5x + 4y = 7960 \implies 3{,}3x + 4y = 7960

6. lépés

Nagy család:

5 \cdot 0{,}1x + 5y = 1975 \implies 0{,}5x + 5y = 1975

7. lépés

A második egyenletből: y = 395 - 0{,}1x. Behelyettesítés az elsőbe:

3{,}3x + 4(395 - 0{,}1x) = 7960

8. lépés

3{,}3x + 1580 - 0{,}4x = 7960, tehát 2{,}9x = 6380

→ x = 2200 \text{ Ft}

9. lépés

Pótjegy: y = 395 - 0{,}1 \cdot 2200 = 395 - 220 = 175 Ft

📌 Végeredmény: a) 42 · b) 3200 Ft · c) 9-szer · d) menetjegy: 2200 Ft, pótjegy: 175 Ft

✓ Ellenőrzés: Kiss: 2 \cdot 2200 + 1760 + 1100 + 4 \cdot 175 = 7960 ✓, Nagy: 5 \cdot 220 + 5 \cdot 175 = 1975 ✓

18🔴 Nehéz

17 pont

Ülőpárnát készítenek szivacsból: 42 cm átmérőjű, 7 cm magas körhengerből kivágnak középen egy 18 cm átmérőjű kisebb körhengert. a) Számítsa ki a párna szivacsos részének térfogatát! b) Mennyi szövet kell 30 párna befedéséhez (m²-ben, egészre kerekítve)? c) A gyártás során egy párna 0,03 valószínűséggel selejtes. Mi a valószínűsége, hogy 30 legyártott párnából legfeljebb egy selejtes?

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Nagy henger sugara: R = 21 cm, kis henger sugara: r = 9 cm, magasság: m = 7 cm

2. lépés

Nagy henger: V_1 = \pi \cdot 21^2 \cdot 7 \approx 9698 \text{ cm}^3

3. lépés

Kis henger: V_2 = \pi \cdot 9^2 \cdot 7 \approx 1781 \text{ cm}^3

4. lépés

Szivacsos rész:

V = V_1 - V_2

→ \approx 7917 \text{ cm}^3

5. lépés

b) Egy párna felszíne: 2 körgyűrű + belső palást + külső palást

6. lépés

Körgyűrű: \pi(21^2 - 9^2) \approx 1131 \text{ cm}^2. Belső palást: 2\pi \cdot 9 \cdot 7 \approx 396 \text{ cm}^2. Külső palást: 2\pi \cdot 21 \cdot 7 \approx 924 \text{ cm}^2

7. lépés

Egy párna: 2 \cdot 1131 + 396 + 924 = 3582 \text{ cm}^2

8. lépés

30 párna:

30 \cdot 3582 = 107\,460 \text{ cm}^2 \approx 10{,}746 \text{ m}^2

→ \approx 11 \text{ m}^2

9. lépés

c) Binomiális eloszlás, n = 30, p = 0{,}03

10. lépés

0 selejtes: P(X=0) = 0{,}97^{30} \approx 0{,}401

11. lépés

Pontosan 1 selejtes:

P(X=1) = \binom{30}{1} \cdot 0{,}03 \cdot 0{,}97^{29}

→ \approx 0{,}372

12. lépés

Legfeljebb 1 selejtes:

P(X \leq 1) = 0{,}401 + 0{,}372

→ \approx 0{,}773

📌 Végeredmény: a) \approx 7917 \text{ cm}^3 · b) \approx 11 \text{ m}^2 · c) \approx 0{,}773

Info
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok szövege az Oktatási Hivatal által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származik (2313, 2023. október 17.). A lépésenkénti levezetések saját feldolgozások, amelyeket az OH javítási-értékelési útmutatója alapján ellenőriztünk. Előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd nekünk!

2023. október 17. — Középszintű matematika érettségi

Vizsga dátuma: 2023. október 17., 8:00

Összpontszám: 100 pont (I. rész: 30 pont, II/A rész: 36 pont, II/B rész: 34 pont)

Időtartam: I. rész 45 perc, II. rész 135 perc

I. rész — Rövid feladatok (30 pont, 45 perc)

II/A rész — Kötelező feladatok (36 pont)

A II. rész feladatainak megoldási gondolatmenetét minden esetben részletezni kell.

II/B rész — Választható feladatok (3-ból 2, összesen 34 pont)

A 16–18. feladatok közül kettőt kell megoldani, egyenként 17 pont.

Összegzés

A 2023 októberi középszintű érettségi az utolsó vizsgák egyike volt a régi NAT2012 szerinti struktúrában. Az I. részben a prímfelbontás, derékszögű háromszög, statisztika, algebrai kifejezés és valószínűség témakörök domináltak. A II. részben kiemelkedő volt a paralelogramma+színezési feladat (14.), a Venn-diagramos halmazelmélet (15.), valamint a vonatos szöveges egyenletrendszer (17d). A nehézségi szint összességében hasonló volt a májusihoz.

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Hány pont volt elérhető a 2023 októberi középszintű matek érettségin?

Összesen 100 pont: az I. rész 30 pontot ért (12 rövid feladat), a II/A rész 36 pontot (3 kötelező feladat: 12+13+11 pont), a II/B rész pedig 34 pontot (3-ból 2 választott feladat, egyenként 17 pont).

Milyen témák szerepeltek a 2023 októberi érettségin?

I. rész: prímfelbontás, fordított arányosság, derékszögű háromszög, függvények, szöveges feladat, statisztika, valószínűség, algebrai kifejezés, mértékegység-átváltás, kör egyenlete, zérushely, pénzfeldobás. II. rész: másodfokú függvény, paralelogramma, Venn-diagram, sorozat+kamatszámítás, vonatjegy, körhenger+valószínűség.

Miben különbözött a 2023 októberi érettségi a májusitól?

Az októberi vizsga azonos struktúrájú volt (I. rész: 30 pont, II. rész: 70 pont). Az októberiben erősebb volt az algebra (kifejezések, egyenlőtlenség) és a gyakorlati szöveges feladatok (bérlés, vasúti jegy, párna gyártás).

Források

Feladatsor: Oktatási Hivatal – Középszintű írásbeli, 2023 ősz
A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási-értékelési útmutatója alapján ellenőrizve.

Frissítve:2026. február 20.

Előző oldal2024 május Következő oldal2023 május