Bizonyítások érettségi feladatok megoldással

Q: Milyen bizonyítási módszerek kellenek az emelt érettségihez?

A legfontosabb módszerek: direkt bizonyítás, indirekt bizonyítás (feltesszük az ellenkezőjét), teljes indukció, és az ellenpélda alkalmazása. Direkt bizonyításnál a feltételekből logikai lépésekkel jutunk el az állításig.

Q: Hogyan működik a teljes indukció?

Teljes indukció lépései: 1. Bázis: igazoljuk az állítást n=1 (vagy n=0) esetén. 2. Indukciós feltevés: feltesszük, hogy n=k-ra igaz. 3. Indukciós lépés: bizonyítjuk, hogy n=k+1-re is igaz. Ha mindhárom lépés teljesül, az állítás minden természetes számra igaz.

Q: Milyen bizonyítási feladatok szoktak jönni emelt érettségin?

Emelt szintű érettségin jellemzően oszthatósági bizonyítások (pl. három egymást követő szám szorzata osztható 6-tal), egyenlőtlenség-bizonyítások (számtani-mértani közép), és geometriai bizonyítások fordulnak elő.

Bizonyítások

1🟢 Könnyű

4 pont

Bizonyítsa be, hogy három egymást követő egész szám szorzata osztható 6-tal!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Jelölje a három egymást követő egész számot n, n+1, n+2.

2. lépés

Oszthatóság 2-vel: Három egymást követő szám között van legalább egy páros, tehát n(n+1)(n+2) osztható 2-vel.

3. lépés

Oszthatóság 3-mal: Három egymást követő szám között van pontosan egy, amelyik osztható 3-mal (mert a 3-mal vett maradékok: 0, 1, 2 valamilyen sorrendben).

4. lépés

Mivel a szorzat osztható 2-vel és 3-mal is, és \operatorname{lnko}(2, 3) = 1:

→ n(n+1)(n+2) osztható 6-tal. \blacksquare

📌 Végeredmény: A szorzat mindig osztható 2-vel és 3-mal is, tehát 6-tal.

✓ Ellenőrzés: n=1: 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 ✓; n=4: 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120 = 20 \cdot 6 ✓

2🟢 Könnyű

5 pont

Bizonyítsa be, hogy n^3 - n osztható 6-tal minden n pozitív egész számra!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Szorzattá alakítás:

n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1) = (n-1) \cdot n \cdot (n+1)

2. lépés

Ez három egymást követő egész szám szorzata: (n-1), n, (n+1).

3. lépés

Oszthatóság 2-vel: Három egymást követő szám közül legalább az egyik páros.

4. lépés

Oszthatóság 3-mal: Három egymást követő szám közül pontosan az egyik osztható 3-mal.

5. lépés

Mivel 2 | (n^3 - n) és 3 | (n^3 - n), és \operatorname{lnko}(2,3) = 1:

→ 6 | (n^3 - n) minden n \geq 1-re. \blacksquare

📌 Végeredmény: n^3 - n = (n-1)n(n+1), ami három egymást követő egész szám szorzata, tehát osztható 6-tal.

✓ Ellenőrzés: n=2: 8-2=6 ✓; n=5: 125-5=120=20 \cdot 6 ✓; n=10: 1000-10=990=165 \cdot 6 ✓

3🟡 Közepes

7 pont

Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n \geq 1 pozitív egészre: 1 + 3 + 5 + \ldots + (2n-1) = n^2

Megoldás megtekintése

1. lépés

Bázis (n = 1): Bal oldal: 1. Jobb oldal: 1^2 = 1. ✓

2. lépés

Indukciós feltevés: Tegyük fel, hogy n = k-ra igaz:

1 + 3 + 5 + \ldots + (2k-1) = k^2

3. lépés

Indukciós lépés (n = k+1): Adjuk hozzá mindkét oldalhoz a (2(k+1)-1) = (2k+1) tagot:

1 + 3 + \ldots + (2k-1) + (2k+1) = k^2 + (2k+1)

4. lépés

A jobb oldal:

k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2

5. lépés

Ez pontosan az állítás n = k+1-re. \blacksquare

📌 Végeredmény: Teljes indukcióval bizonyítva: az első n páratlan szám összege n^2.

✓ Ellenőrzés: n=4: 1+3+5+7 = 16 = 4^2 ✓; n=5: 1+3+5+7+9 = 25 = 5^2 ✓

4🟡 Közepes

8 pont

Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n \geq 1 természetes számra: \sum_{k=1}^{n} k \cdot k! = (n+1)! - 1

Megoldás megtekintése

1. lépés

Bázis (n = 1): Bal oldal: 1 \cdot 1! = 1. Jobb oldal: 2! - 1 = 1. ✓

2. lépés

Indukciós feltevés: Tegyük fel, hogy n = k-ra igaz:

\sum_{i=1}^{k} i \cdot i! = (k+1)! - 1

3. lépés

Indukciós lépés (n = k+1):

\sum_{i=1}^{k+1} i \cdot i! = \sum_{i=1}^{k} i \cdot i! + (k+1)(k+1)!

4. lépés

Az indukciós feltevéssel:

= (k+1)! - 1 + (k+1)(k+1)!

5. lépés

Kiemelés: (k+1)!:

= (k+1)![1 + (k+1)] - 1 = (k+1)!(k+2) - 1 = (k+2)! - 1

6. lépés

Ez pontosan az állítás n = k+1-re, mert (k+2)! = ((k+1)+1)!. \blacksquare

📌 Végeredmény: Teljes indukcióval bizonyítva.

✓ Ellenőrzés: n=3: 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 6 = 1+4+18 = 23 = 4! - 1 = 24-1 ✓

5🔴 Nehéz

10 pont

Bizonyítsa be, hogy minden a, b > 0 valós számra fennáll: \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 Mikor áll fenn egyenlőség?

Megoldás megtekintése

1. lépés

1. módszer (algebrai): Hozzuk közös nevezőre:

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab}

2. lépés

Elég belátni, hogy a^2 + b^2 \geq 2ab:

a^2 + b^2 - 2ab \geq 0 \;\Leftrightarrow\; (a-b)^2 \geq 0

3. lépés

Ez nyilvánvalóan igaz, mert egy valós szám négyzete mindig nemnegatív.

4. lépés

Egyenlőség pontosan akkor, ha (a-b)^2 = 0, azaz a = b.

5. lépés

2. módszer (AM-GM): A számtani-mértani közép egyenlőtlenség szerint:

\frac{\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}{2} \geq \sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = \sqrt{1} = 1

6. lépés

Tehát \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2, egyenlőség \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{a} \Leftrightarrow a = b. \blacksquare

📌 Végeredmény: Az egyenlőtlenség minden a, b > 0-ra igaz, egyenlőség \Leftrightarrow a = b.

✓ Ellenőrzés: a=3, b=3: 1+1=2 ✓ (egyenlőség); a=1, b=4: \frac{1}{4}+4 = 4{,}25 > 2 ✓

6🔴 Nehéz

12 pont

Legyenek a, b, c > 0 pozitív valós számok. Bizonyítsa be az AM-GM egyenlőtlenséget: \frac{a + b + c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} Mikor áll fenn egyenlőség?

Megoldás megtekintése

1. lépés

Alkalmazzunk helyettesítést: legyen x = \frac{a}{\sqrt[3]{abc}}, y = \frac{b}{\sqrt[3]{abc}}, z = \frac{c}{\sqrt[3]{abc}}, így xyz = 1.

2. lépés

Elég belátni: ha x, y, z > 0 és xyz = 1, akkor x + y + z \geq 3.

3. lépés

Használjuk a t \geq 1 + \ln t egyenlőtlenséget (minden t > 0-ra), amit abból kapunk, hogy e^u \geq 1 + u.

4. lépés

Másik megközelítés: közvetlenül. Legyen S = a + b + c és P = abc. Be kell látni: S^3 \geq 27P.

5. lépés

Kifejtjük: (a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3 + 3(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b) + 6abc

6. lépés

Egyszerűbb út: először 2 változóra. \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}, mert (a-b)^2 \geq 0.

7. lépés

3 változóra: tegyük fel (ÁSNE nélkül), a \leq b \leq c. Legyen g = \sqrt[3]{abc}. Cseréljük a-t és c-t g-re: a' = b' = c' = g, a szorzat nem változik, az összeg csökken a Schur/muirhead elv alapján.

8. lépés

Elegánsabb bizonyítás: Legyen f(x) = \ln x, ez konkáv. Jensen-egyenlőtlenség:

\frac{\ln a + \ln b + \ln c}{3} \leq \ln\left(\frac{a+b+c}{3}\right)

9. lépés

A bal oldal: \ln\sqrt[3]{abc}. Tehát:

\ln\sqrt[3]{abc} \leq \ln\left(\frac{a+b+c}{3}\right)

10. lépés

Mivel \ln szigorúan monoton növekvő:

\sqrt[3]{abc} \leq \frac{a+b+c}{3}

→ \blacksquare Egyenlőség \Leftrightarrow a = b = c.

📌 Végeredmény: Az egyenlőtlenség igaz minden a, b, c > 0-ra. Egyenlőség \Leftrightarrow a = b = c.

✓ Ellenőrzés: a=b=c=5: \frac{15}{3}=5=\sqrt[3]{125} ✓; a=1,b=2,c=3: \frac{6}{3}=2 > \sqrt[3]{6} \approx 1{,}817 ✓

Info
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok az Oktatási Hivatal által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak. A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatói alapján ellenőrizve.

Elméleti összefoglaló

Direkt bizonyítás

A feltételekből logikai lépésekkel jutunk el az állításig. Ez a leggyakoribb módszer.

Indirekt bizonyítás

Feltesszük az állítás tagadását, majd ellentmondásra jutunk. Ezzel az eredeti állítás igaz.

Teljes indukció

Természetes számokra vonatkozó állítások bizonyítása:

Bázis: Igazoljuk $n = 1$ (vagy $n = 0$ ) esetén
Indukciós feltevés: Tegyük fel, hogy $n = k$ -ra igaz
Indukciós lépés: Bizonyítsuk $n = k + 1$ -re

Ellenpélda

Ha egy állítás nem igaz, egyetlen ellenpélda elég a cáfoláshoz.

Tip
Az emelt érettségin a bizonyítás menete és logikája ad pontot, nem csak a végeredmény! Írd le minden lépést tisztán.

Feladatok

Tipikus buktatók

1. Indukciós lépésnél a feltevés felhasználása A leggyakoribb hiba: az indukciós lépésben elfelejtik felhasználni az indukciós feltevést. Mindig jelöld, hol használod azt, hogy „ $n = k$ -ra igaz".

2. „Nyilvánvaló" lépések Az érettségin SEMMI nem nyilvánvaló. Minden algebrai átalakítást, egyenlőtlenségi lépést le kell írni.

3. Egyenlőtlenségnél az irány Figyelj, hogy $\leq$ vagy $<$ kell-e. Az SM-GM (számtani-mértani közép) egyenlőtlenségben egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha minden elem egyenlő.

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Milyen bizonyítási módszerek kellenek az emelt érettségihez?

A legfontosabb módszerek: direkt bizonyítás, indirekt bizonyítás (feltesszük az ellenkezőjét), teljes indukció, és az ellenpélda alkalmazása. Direkt bizonyításnál a feltételekből logikai lépésekkel jutunk el az állításig.

Hogyan működik a teljes indukció?

Teljes indukció lépései: 1. Bázis: igazoljuk az állítást n=1 (vagy n=0) esetén. 2. Indukciós feltevés: feltesszük, hogy n=k-ra igaz. 3. Indukciós lépés: bizonyítjuk, hogy n=k+1-re is igaz. Ha mindhárom lépés teljesül, az állítás minden természetes számra igaz.

Milyen bizonyítási feladatok szoktak jönni emelt érettségin?

Emelt szintű érettségin jellemzően oszthatósági bizonyítások (pl. három egymást követő szám szorzata osztható 6-tal), egyenlőtlenség-bizonyítások (számtani-mértani közép), és geometriai bizonyítások fordulnak elő.

Források

Feladatsorok és javítási útmutatók: Oktatási Hivatal – Érettségi feladatsorok archívum
A feladatok az OH által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak.
A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatói alapján ellenőrizve.

Frissítve:2026. február 21.