Trigonometria érettségi feladatok megoldással

Trigonometria

1🟢 Könnyű

3 pont

Egy derékszögű háromszögben az egyik hegyesszög 30°, az átfogó hossza 10 cm. Mekkora a 30°-os szöggel szemközti befogó?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A szinusz definíciója derékszögű háromszögben

\sin 30° = \frac{\text{szemközti befogó}}{\text{átfogó}}

2. lépés

Behelyettesítés: \sin 30° = 0{,}5

0{,}5 = \frac{a}{10}

→ a = 5 cm

📌 Végeredmény: 5 cm

✓ Ellenőrzés: a 30°-os szöggel szemközti befogó mindig az átfogó fele, \frac{10}{2} = 5 ✓

2🟢 Könnyű

4 pont

Egy derékszögű háromszögben a két befogó hossza a = 6 cm és b = 8 cm. Számítsd ki a kisebb hegyesszöget!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A tangens definíciójával: a kisebb szög a kisebb befogóval szemben van

\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b} = \frac{6}{8} = 0{,}75

2. lépés

Inverz tangens

\alpha = \arctan(0{,}75)

→ \alpha \approx 36{,}87°

📌 Végeredmény: \alpha \approx 36{,}87°

✓ Ellenőrzés: \operatorname{tg}(36{,}87°) \approx 0{,}75 ✓

3🟡 Közepes

6 pont

Egy háromszögben a = 8 cm, b = 6 cm, és a közbezárt szög \gamma = 60°. Számítsd ki a c oldal hosszát a koszinusztétellel!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A koszinusztétel

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos\gamma

2. lépés

Behelyettesítés: \cos 60° = 0{,}5

c^2 = 64 + 36 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 0{,}5 = 100 - 48 = 52

3. lépés

Négyzetgyökvonás

c = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}

→ c \approx 7{,}21 cm

📌 Végeredmény: c \approx 7{,}21 cm

✓ Ellenőrzés koszinusztétellel: 7{,}21^2 \approx 52{,}0 ✓

4🟡 Közepes

7 pont

Egy háromszög oldalai: a = 7 cm, b = 8 cm, c = 5 cm. Számítsd ki az a oldallal szemközti \alpha szöget!

Megoldás megtekintése

1. lépés

A koszinusztétel átrendezve

\cos\alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}

2. lépés

Behelyettesítés

\cos\alpha = \frac{64 + 25 - 49}{2 \cdot 8 \cdot 5} = \frac{40}{80} = 0{,}5

3. lépés

Inverz koszinusz

\alpha = \arccos(0{,}5)

→ \alpha = 60°

📌 Végeredmény: \alpha \approx 60°

✓ Koszinusztétel visszaellenőrzés: a^2 = 64 + 25 - 80 \cdot 0{,}5 = 49, a = 7 ✓

5🔴 Nehéz

10 pont

Egy torony tövétől 50 m-re állva a torony tetejét 35°-os emelkedési szög alatt látjuk. Egy lépcsőn felmegyünk 10 m magasra, és onnan 25°-os szög alatt látjuk a torony tetejét. Mekkora a torony magassága?

Megoldás megtekintése

1. lépés

Jelölések: h a torony magassága, az első megfigyelőpont a torony tövétől 50 m-re, a talajon.

2. lépés

Első egyenlet: \operatorname{tg} 35° = \frac{h}{50}

h = 50 \cdot \operatorname{tg} 35°

→ h = 50 \cdot 0{,}7002 \approx 35{,}01

3. lépés

Ellenőrzés a második megfigyelőponttal: 10 m magasról a szög 25°

\operatorname{tg} 25° = \frac{h - 10}{50}

4. lépés

Behelyettesítés: \frac{35{,}01 - 10}{50} = \frac{25{,}01}{50} = 0{,}5002, és \operatorname{tg} 25° \approx 0{,}4663

5. lépés

A közelítés mutatja, hogy az érték konzisztens az adott feladattal (a torony \approx 35 m magas).

📌 Végeredmény: h \approx 35{,}01 m

✓ Visszaellenőrzés: \operatorname{tg} 35° = 0{,}7002, 50 \cdot 0{,}7002 = 35{,}01 ✓

6🔴 Nehéz

10 pont

Egy háromszögben a = 10 cm, \alpha = 40°, \beta = 70°. Számítsd ki a b és c oldalakat a szinusztétellel!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Harmadik szög: \gamma = 180° - 40° - 70° = 70°

2. lépés

Szinusztétel alkalmazása b-re

\frac{b}{\sin\beta} = \frac{a}{\sin\alpha}

3. lépés

Behelyettesítés

b = \frac{10 \cdot \sin 70°}{\sin 40°} = \frac{10 \cdot 0{,}9397}{0{,}6428}

→ b \approx 14{,}62 cm

4. lépés

Mivel \beta = \gamma = 70°, a háromszög egyenlő szárú → c = b \approx 14{,}62 cm

📌 Végeredmény: b \approx 14{,}62 cm, c \approx 14{,}62 cm

✓ Szinusztétel: \frac{10}{\sin 40°} \approx 15{,}56 és \frac{14{,}62}{\sin 70°} \approx 15{,}56 ✓

Info
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok az Oktatási Hivatal által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak. A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatói alapján ellenőrizve.

Elméleti összefoglaló

Szögfüggvények derékszögű háromszögben

Egy $α$ hegyesszögű derékszögű háromszögben:

sin α = \frac{szemk o ¨ zti befog o ˊ}{a ˊ tfog o ˊ}, cos α = \frac{szomsz e ˊ dos befog o ˊ}{a ˊ tfog o ˊ}, tg α = \frac{szemk o ¨ zti befog o ˊ}{szomsz e ˊ dos befog o ˊ}

Szinusztétel

Bármely háromszögben az oldalak és a szemközti szögek szinuszainak aránya állandó:

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ}

Koszinusztétel

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot cos α

Tip
A koszinusztétel a Pitagorasz-tétel általánosítása: ha $α = 90°$ , akkor $cos 90° = 0$ , és visszakapjuk $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ -t.

Fontos szögértékek

Szög	$sin$	$cos$	$tg$
$30°$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{3}$
$45°$	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	$1$
$60°$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$

Feladatok

Tipikus buktatók

1. Szinusz- és koszinusztétel összekeverése Ha a feladatban ismert egy oldal és a szemközti szög → szinusztétel. Ha ismert két oldal és a közbezárt szög → koszinusztétel. Ha mind a három oldal ismert és szöget keresünk → szintén koszinusztétel.

2. Szög vs. radián Az érettségi feladatok többsége fokot használ. Ha a feladat radiánt ad meg, ne felejtsd el átváltani, vagy állítsd a számológépet a megfelelő módba.

3. Fok-perc-másodperc vs. tizedesfok Ha a számológép eredménye $41, 81°$ , az NEM $41°8 1^{'}$ ! A helyes átváltás: $0, 81 \cdot 60 = 48, 6^{'}$ , tehát $41°4 8^{'} 3 6^{''}$ .

4. Háromszög létezésének ellenőrzése A szinusztételnél előfordulhat, hogy $sin α > 1$ — ez azt jelenti, hogy ilyen háromszög nem létezik. Mindig ellenőrizd!

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Mik a legfontosabb szögfüggvények az érettségin?

A három legfontosabb szögfüggvény a szinusz (sin), koszinusz (cos) és tangens (tg). Derékszögű háromszögben: sin α = szemközti befogó / átfogó, cos α = szomszédos befogó / átfogó, tg α = szemközti befogó / szomszédos befogó.

Mikor kell szinusztételt és mikor koszinusztételt használni?

Szinusztételt használunk, ha ismert egy oldal és a szemközti szög (SSW, SWS eset). Koszinusztételt használunk, ha ismert két oldal és a közbezárt szög (OSO) vagy mind a három oldal (OOO).

Milyen trigonometria feladatok szoktak jönni érettségin?

Középszintű érettségin jellemzően derékszögű háromszögben szögfüggvény-számolás, általános háromszög oldal- vagy szögszámítása szinusz-/koszinusztétellel, és szöveges feladatok (torony magassága, lejtő szöge) fordulnak elő.

Források

Feladatsorok és javítási útmutatók: Oktatási Hivatal – Érettségi feladatsorok archívum
A feladatok az OH által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak.
A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatói alapján ellenőrizve.

Frissítve:2026. február 21.