M 2

Menü

Kelly-kritérium

Info
Gyors áttekintés — Kelly egy bekezdésben

Mit válaszol meg: "Ha pozitív várható értékű (EV) fogadásom van, mennyit tegyek fel a tőkémből?"

Képlet (binary): $f^{*} = \frac{p \cdot b - q}{b}$ , ahol $p$ a nyerési valószínűség, $b$ a payout odds, $q = 1 - p$

Példa: 60%-os nyerési esély, 1:1 odds → Kelly = 20%

¼-Kelly: intézményi standard — a teljes Kelly negyede, drawdown-védelem miatt

Veszély: túl-fogadás (Kelly fölött) hosszú távon NEGATÍV hozamot eredményez, hiába pozitív EV

💡 A Kelly nem azt mondja meg, hogy nyersz-e — azt mondja meg, hogy ha nyersz, mennyit legyen rá feltéve.

A Kelly-kritérium egy egyszerű képlet, ami a kvantitatív pénzügyek egyik legtöbbet hivatkozott eszköze. A profi sportfogadóktól a hedge fundok pozícióméretezéséig mindenhol felbukkan, mégis kevés helyen magyarázzák el úgy, hogy egy középiskolás is megértse. Ez a cikk ezt próbálja meg.

Mit válaszol meg a Kelly-kritérium?

A Kelly-kritérium egyetlen kérdésre ad választ: "Ha pozitív várható értékű fogadásom van, a tőkém hány százalékát tegyem fel rá?"

Tehát NEM arra válaszol, hogy érdemes-e fogadni — azt a várható érték (EV) dönti el. A Kelly azt feltételezi, hogy már tudod, hogy a fogadásod nyerő (pozitív EV). Onnan kezdődik a kérdés, hogy mennyit.

Két szélsőség közt áll: ha túl keveset fogadsz fel, lassan gyarapszik a tőkéd. Ha túl sokat, akkor egy rossz széria a teljes tőkédet elpusztítja, és onnan már nem tudsz visszatérni. A Kelly pont a közöttük lévő optimumot adja meg.

Egy egyszerű érme-példa

Képzelj el egy érmét, amiről tudod, hogy 60%-os valószínűséggel fejet ad (nem fele-fele, hanem el van súlyozva — ez a “te edge-d”). Egy fogadóiroda felajánl egy 1:1 odds szerinti fogadást: ha eltalálod a feldobás eredményét, megduplázódik a tét; ha nem, elveszíted.

Ha 1 000 000 Ft tőkéd van, mennyit tegyél fel egyetlen feldobásra?

0 Ft: soha nem nyersz, soha nem buksz — biztosan nem gyarapszol
1 000 000 Ft (teljes tőke): ha az első dobás elsőre rosszul jön ki (40% esély), elveszítettél mindent
valami a kettő között: ez az igazi kérdés

A Kelly képlet pont erre a “valami a kettő között”-re ad választ.

Várható érték (EV) felelevenítése

Mielőtt belépünk a képletbe, gyors EV-emlékeztető. A százalékszámítás cikkben már láttuk a valószínűségi alapot — most ezt alkalmazzuk fogadásokra.

A várható érték egyetlen fogadás várható nyereménye (vagy vesztesége), átlagolva minden lehetséges kimenetelen, a valószínűségükkel súlyozva. Bináris (két kimenetelű) fogadásnál:

E V = p \cdot b - q \cdot 1

Ahol:

$p$ = a győzelem valószínűsége
$b$ = payout odds (mennyit kapsz vissza egységnyi tét után, a tét felett — tisztán nyereség)
$q = 1 - p$ = a vesztés valószínűsége
Az 1 az elveszített tét (mert a tét magát is elbukod)

Példa: pozitív EV

60% nyerési esély, 1:1 odds:

E V = 0, 6 \cdot 1 - 0, 4 \cdot 1 = + 0, 2

Vagyis minden 1 Ft tét után átlagosan 0,20 Ft nyereséget vársz. Ez egy pozitív EV-jű fogadás — érdemes feltenni rá valamennyit. A “valamennyi” konkrét értékét adja meg a Kelly.

Tip
Pozitív EV önmagában még nem jelent gazdagodást, ha túl agresszíven méretezel. Pozitív EV-jű fogadások SOROZATA + helyes tét-méretezés = hosszú távú gyarapodás.

A Kelly-képlet

A Kelly-képlet bináris (két kimenetelű) fogadásra:

f^{*} = \frac{p \cdot b - q}{b}

Ahol:

$f^{*}$ = a tőke optimális hányada, amit feltegyél (0 és 1 között)
$p$ = a győzelem valószínűsége
$b$ = payout odds (1:1 fogadásnál $b = 1$ , 2:1-nél $b = 2$ )
$q = 1 - p$ = a vesztés valószínűsége

Figyelt rá: ha a számláló negatív ( $p \cdot b < q$ ), akkor a fogadás NEGATÍV EV-jű, és a Kelly 0-t (vagy negatív értéket) ad — ne fogadj rá. Ezt általában \max(0, ...)-tal szoktuk biztosítani a kódban:

f^{*} = max (0, \frac{p \cdot b - q}{b})

A 60%-os érme példa végigvitele

Vissza az érménkre. $p = 0, 6$ , $b = 1$ , $q = 0, 4$ .

f^{*} = \frac{0 , 6 \cdot 1 - 0 , 4}{1} = \frac{0 , 2}{1} = 0, 2

Vagyis a Kelly azt mondja: a tőkéd 20%-át tedd fel.

Ha 1 000 000 Ft a tőkéd, 200 000 Ft a Kelly-tét egyetlen dobásra. Ezt minden új dobás előtt újra kell számolnod a friss tőkével: ha nyertél, az új tőkéd 1 200 000 Ft, és a következő tét 240 000 Ft (20% az új tőkéből). Ha buktál, 800 000 Ft a tőkéd, és a tét 160 000 Ft.

Ezt a számítást ki is próbálhatod a következő cikkben: Kelly-kritérium kalkulátor.

Mit jelent a $b$ — odds vs. payout

A $b$ a fogadási világban kétféleképpen szerepelhet, és érdemes figyelni a különbséget.

Európai vagy “decimális” odds

Ha egy fogadás “2,00-os oddssal” van jegyezve (decimális), akkor a teljes visszatérítés 2× a tét — vagyis a tiszta nyereség $b = 1$ .

Decimális odds	$b$ (Kelly-képlet)
1,50	0,50
2,00	1,00
2,50	1,50
3,00	2,00
4,00	3,00

Prediction market ár → odds

A prediction market világban (Polymarket, Kalshi) a piaci ár közvetlenül a valószínűségi jelölés. Ha egy YES kontraktus 40 centbe (0,40) kerül, és nyer (1 dollárt fizet), akkor:

b = \frac{1}{0 , 40} - 1 = 1, 5

Vagyis 1 dollár tét után 1,50 dollár tiszta nyereséget vársz, plusz a tét visszajön. Ez egy 0,40-es ár → $b = 1, 5$ .

Info
Általánosan: ha a piaci ár (vagy "implied probability") $m$ , akkor $b = \frac{1}{m} - 1$ . A Kelly-képlet ezzel a $b$ -vel működik a kvant pénzügyekben.

Példa: 60% × 1:1 odds = Kelly 20%

Foglaljuk össze a számítást egy közös példával, hogy átláthatóvá tegyük.

Bemenet	Érték
Nyerési valószínűség ( $p$ )	0,60 (60%)
Vesztés valószínűsége ( $q$ )	0,40 (40%)
Payout odds ( $b$ )	1,00 (1:1)
Várható érték ( $E V$ )	+0,20
*Kelly hányad ( $f^{}$ )**	0,20 (20%)
¼-Kelly	0,05 (5%)

Vagyis 1 000 000 Ft tőkénél a teljes Kelly 200 000 Ft-ot tenne fel, a ¼-Kelly csak 50 000 Ft-ot. A különbség a következő szekció témája.

Miért nem teszünk fel teljes Kellyt? — A drawdown

A Kelly matematikailag optimális abban az értelemben, hogy a hosszú távú logaritmikus tőke-növekedési rátát maximalizálja. De a gyakorlatban szinte senki nem teszi fel a teljes Kellyt. Miért?

1. A $p$ -t SOHA nem ismered pontosan

A képlet feltételezi, hogy a $p$ pontosan ismert. A gyakorlatban ez sosem igaz — $p$ -t becsüljük, és minden becslés hibázik. Ha pl. úgy gondolod, $p = 0{,}60$ , de valójában csak $p = 0{,}55$ , akkor a teljes Kelly már túl-fogadás.

2. A drawdown brutális

Egy egyszerű szimuláció megmutatja: ha a teljes Kellyt fogadod, akkor nagyon gyakran lehet 50%-ot vagy többet veszítened, mielőtt visszatérnél. Az emberi pszichológia ezt nem viseli — a legtöbben megijednek és csökkentik a tétet a legrosszabb pillanatban.

3. A teljes Kelly nem fogadás-tűrő

Ha véletlenül egy érmét amiről úgy gondoltad 60%-os, valójában csak 51% nyerési esélyű, és teljes Kellyt fogadsz, akkor a várható log-növekedési rátád negatívvá válik. Vagyis hosszú távon SZEGÉNYEDSZ, hiába pozitív minden egyes fogadás EV-je.

E [ln (1 + f \cdot r)] = p \cdot ln (1 + f \cdot b) + q \cdot ln (1 - f)

Ahol:

$r$ a nettó hozam (nyerés esetén $+ b$ , vesztés esetén $- 1$ )
$f$ a tét-arány

Ez az úgynevezett várható logaritmikus utility. A Kelly pontosan ezt maximalizálja $f$ szerint — és ha a $p$ -t rosszul becsülted, máris túl vagy a maximumon, és a függvény ZUHAN.

Warning
A teljes Kelly statisztikailag optimális, gyakorlatilag túl agresszív. Soha ne fogadj a teljes Kelly fölött — az matematikai biztos pusztulás hosszú távon.

¼-Kelly — az intézményi standard

A legtöbb intézményi quant kereskedőcsapat ¼-Kellyt (negyed-Kellyt) használ:

f_{¼ K} = \frac{f ^{*}}{4}

Miért pont negyed? Mert a logaritmikus utility függvény közelítőleg parabolikus a Kelly-pont körül — vagyis ha a tényleges optimumtól csak negyedet távolodsz a biztonságos irányba, akkor:

A drawdown drasztikusan csökken (durván fele)
A várható növekedési ráta csak ~6%-kal csökken (vagyis a Kelly-előny ~94%-át megőrződ)

Ez egy nagyon kedvező csere: harmadát-felét csökkented a kockázatot, és majdnem az egész hozamot megőrzöd.

Numerikus példa

60% × 1:1 odds esetén ( $f^{*} = 0, 20$ ):

Stratégia	Tét-arány	Várható log-növekedés/dobás	Drawdown (tipikus)
Full Kelly	20%	~2,04%	~50%
½-Kelly	10%	~1,55%	~28%
¼-Kelly	5%	~0,95%	~14%
1/10-Kelly	2%	~0,40%	~6%

A ¼-Kelly a “szakmai konszenzus” pont — elég agresszív ahhoz, hogy a tőkéd valóban gyarapodjon, de elég konzervatív ahhoz, hogy ne pusztítson el egy rossz széria. A saját kvantitatív projektünkben (auto-trader) mi is ¼-Kellyt használunk, plusz egy 8%-os hard cap-pel a bankrollra — ez utóbbi a "soha ne tegyél fel többet, mint a tőkéd 8%-a, akármit mond is a Kelly" biztonsági háló.

Gyakori hibák a Kelly alkalmazásakor

1. A $p$ túlbecslése

A leggyakoribb hiba. A “60%-osnak érzem” intuíció szinte mindig optimistább a valóságnál. Mindig konzervatívabban becsülj, mint amit a hasadbéli érzésed súg.

2. Korreláló fogadások

A Kelly képlet független fogadásokat feltételez. Ha 5 különböző részvényre teszel fel pozíciót, és mind az 5 ugyanaz a piaci esemény mozgatja (pl. egy Fed-döntés), akkor ez nem 5 független fogadás, hanem egy. A teljes tét nem lehet 5× egyéni Kelly — portfólió-szinten kell méretezni (lásd a Sharpe és Information Ratio cikkben hamarosan).

3. A drawdown alulbecslése

A Kelly egy átlagos növekedést maximalizál. A drawdownok (tőke-zuhanások) sokkal mélyebbek lehetnek, mint amire egy első érzésre számítanál — és a pszichológiai nyomás alatt a legtöbben hibázni kezdenek. Egy 30%-os drawdown például a teljes Kelly mellett RUTINSZERŰ.

4. Tét nem újra-számítása minden fogadás előtt

A Kelly egy folyamatos újra-méretezés. Ha a tőkéd most 1 200 000 Ft, és a Kelly 20%, akkor a tét 240 000 Ft, nem a régi 200 000 Ft. A fix összegű tét fogadásonként eltér a Kelly-optimumtól és veszít a hosszú távú hozamból.

5. A “fele Kelly is megöl” csapda

Ha a $p$ becslésed kétszer akkora hibával rendelkezik, mint amennyit megengedhetnél, akkor a ½-Kelly is túl-fogadás. Az általános ökölszabály: ha bizonytalan vagy a $p$ -ben, használj $\frac{1}{8}$ -Kellyt vagy még kevesebbet.

Kapcsolat a kamatos kamat-tal

Érdekes párhuzam: a Kelly-kritérium pontosan a geometriai (kamatos kamat-szerű) növekedést maximalizálja. Míg a kamatos kamat kalkulátor egy fix kamatlábbal nézi a tőke-növekedést, a Kelly egy bizonytalan hozamú fogadásnál ugyanezt az exponenciális görbét próbálja optimalizálni a tét-arány állításával.

Mindkettő ugyanazt a logaritmikus utility-t maximalizálja:

U (W) = ln (W)

Ahol $W$ a tőke. A logaritmus aszimmetrikus: a tőke felére zuhanása ( $ln (0, 5) \approx - 0, 69$ ) sokkal nagyobb negatív hatású, mint a duplázódása ( $ln (2) \approx + 0, 69$ ) pozitív. Ez fizikailag tükrözi, hogy egy nullára való zuhanás visszafordíthatatlan — a Kelly épp ezt a “csőd-elkerülő” tulajdonságot tanítja a tét-méretezésnek.

Hol használják a Kelly-kritériumot?

Terület	Hogyan
Sportfogadás	Bankroll-management, profi tipsterek méretezése
Blackjack lapszámolás	Edward Thorp eredeti alkalmazása, 1960-as évek
Részvény-portfólió	Mean-variance helyett log-utility alapú méretezés
Quant hedge fundok	¼-Kelly tét-méretezés, korrelációs korrekcióval
Prediction markets	Polymarket, Kalshi — bináris fogadási piacok
Kripto funding-rate	Delta-neutral pozíciók méretezése (lásd funding-rate-strategia)

Honnan jött a Kelly-kritérium?

A képletet John L. Kelly Jr. publikálta 1956-ban a Bell System Technical Journal-ban, “A New Interpretation of Information Rate” címmel. Az eredeti cikk valójában kommunikációs csatornák információ-átviteli sebességéről szól (Shannon-csatorna kapacitás), és a fogadási analógia csak illusztráció volt. A Wall Street csak évtizedekkel később fedezte fel.

A Kelly-formulát Edward Thorp vitte be a gyakorlatba: először a blackjack lapszámoláshoz (1960-as évek), majd a Princeton-Newport hedge fundnál a részvénypozíciók méretezéséhez. A teljes történetet William Poundstone Fortune’s Formula című könyve írja le — ez kötelező olvasmány, ha a kvant-pénzügy története érdekel.

GYIK — Gyakran Ismételt Kérdések

Mi a Kelly-kritérium egy mondatban?

A Kelly-kritérium egy képlet, amely megmondja, hogy a tőkéd hány százalékát érdemes feltenned egy adott fogadásra ahhoz, hogy hosszú távon a leggyorsabban gyarapodjon. A képlet a nyerési valószínűségből (p) és a fogadás kifizetési arányából (b) számolja ki a javasolt tét-arányt.

Mit jelent a Kelly-képletben a p és a b?

A p a győzelem becsült valószínűsége (0 és 1 közötti szám, pl. 0,6 = 60%). A b az úgynevezett payout odds: ha 1 forintot teszel és nyersz, b forintot kapsz vissza (a tét felett, tisztán nyereség). Egy 1:1 fogadásnál b = 1, egy 2:1 fogadásnál b = 2.

Miért nem teszek fel teljes Kellyt?

Mert a Kelly-kritérium feltételezi, hogy pontosan ismered a p-t, ami a valóságban szinte sosem igaz. Ha a p becslésed felfelé torzít, máris túl-fogadsz, és a tőkéd nagyot zuhanhat (drawdown). A teljes Kelly statisztikailag optimális, de gyakorlatilag túl agresszív.

Mi a ¼-Kelly és miért ez az intézményi standard?

A ¼-Kelly = a Kelly által javasolt tét egynegyede. A legtöbb intézményi quant kereskedőcsapat ezt használja, mert védelmet ad a modell-hibák és a paraméter-bizonytalanság ellen, miközben a hosszú távú növekedés ~94%-át megőrzi a teljes Kellyhez képest. A drawdown viszont sokkal kisebb.

Mi történik, ha túl-fogadok (Kelly fölött)?

Geometriai romlás. Egy egyszerű példa: ha a Kelly 20%-ot javasol, és te 40%-ot teszel fel rendszeresen, akkor a várható log-növekedési rátád negatívvá válhat — vagyis hosszú távon a tőkéd zsugorodik, hiába pozitív EV-jű minden egyes fogadás. Az ok: a nagy drawdownok exponenciálisan büntetnek.

Milyen feltevések mellett érvényes a Kelly-képlet?

Független fogadásokat, ismert valószínűségeket, fix kifizetési arányt és a nyeremény azonnali újra-tétét feltételezi. Ha a fogadások korreláltak (pl. ugyanaz a piaci esemény több termékre is hat), egyszerre több fogadás esetén a teljes tét nem lehet egyenként Kelly, hanem portfólió-szinten kell optimalizálni.

Hogyan kapcsolódik a Kelly-kritérium a kamatos kamathoz?

A Kelly pontosan a hosszú távú geometriai (kamatos kamat-szerű) növekedési rátát maximalizálja. Míg a kamatos kamat fix kamatlábbal exponenciális tőke-növekedést ad, a Kelly egy bizonytalan kimenetelű fogadásnál ugyanezt az exponenciális növekedést próbálja optimalizálni a tét-arány szabályozásával. Mindkettő logaritmikus utility-t maximalizál.

Hol használják a Kelly-kritériumot a gyakorlatban?

Sportfogadási bankroll-kezelés, blackjack lapszámolás, részvénypiaci pozícióméretezés, kvantitatív hedge fundok (¼-Kelly tét-méretezéssel), prediction market arbitrázs (pl. Polymarket) és kriptovaluta funding-rate stratégiák. Bárhol, ahol egy pozitív EV-jű fogadás és egy ismert vagy becsült valószínűség találkozik.

Kapcsolódó cikkek

Kelly-kritérium kalkulátor — interaktív kalkulátor Monte Carlo drawdown-szimulációval
Százalékszámítás — várható érték / százalék alapok
Kamatos kamat kalkulátor — geometriai növekedés és logaritmikus utility párhuzam
Sharpe-ráta és Information Ratio — több jel kombinálása portfólió-szinten (hamarosan)
Funding rate stratégia — Kelly-méretezés egy konkrét delta-neutral stratégián

Források

Kelly Jr., J.L. (1956). A New Interpretation of Information Rate. Bell System Technical Journal, 35(4): 917–926. — Az eredeti cikk, ami a képletet bevezette.
Poundstone, W. (2005). Fortune’s Formula: The Untold Story of the Scientific Betting System That Beat the Casinos and Wall Street. Hill and Wang. ISBN: 978-0809046379. — A Kelly-történet népszerűsítő, könnyen olvasható összefoglalása.
Thorp, E.O. (1969). Optimal Gambling Systems for Favorable Games. Review of the International Statistical Institute, 37(3): 273–293. — Thorp gyakorlati alkalmazása blackjackre és pénzügyi piacokra.
Kelly criterion — Wikipedia
Bankroll management — Wikipedia

Warning
Ez a cikk oktatási célú. A Kelly-kritérium egy matematikai eszköz, nem pénzügyi tanácsadás. Valódi pozíció-méretezés előtt konzultálj képzett tanácsadóval, és tedd hozzá a saját kockázattűrésedet és élethelyzetedet.

Frissítve:2026. május 11.

Előző oldalBevezetés Következő oldalKelly-kalkulátor