2023 október

1🟡 Közepes

4 pont

Határozza meg az összes olyan z komplex számot, amelyre z^2 = -5 + 12i!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Legyen z = a + bi. Ekkor z^2 = a^2 - b^2 + 2abi = -5 + 12i

2. lépés

Valós rész: a^2 - b^2 = -5. Képzetes rész: 2ab = 12, tehát ab = 6, azaz b = \frac{6}{a}

3. lépés

Behelyettesítés: a^2 - \frac{36}{a^2} = -5. Legyen t = a^2:

t - \frac{36}{t} = -5 \implies t^2 + 5t - 36 = 0

4. lépés

Megoldás:

t = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2} = \frac{-5 \pm 13}{2}

5. lépés

t = 4 (a t = -9 nem lehetséges, mert t = a^2 \geq 0), tehát a = \pm 2, b = \frac{6}{a}

→ z = 2 + 3i vagy z = -2 - 3i

📌 Végeredmény: z = 2 + 3i vagy z = -2 - 3i

✓ Ellenőrzés: (2+3i)^2 = 4 + 12i + 9i^2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i ✓

2🟡 Közepes

4 pont

Határozza meg a \gcd(2024, 756) értékét az euklideszi algoritmussal, majd adja meg az \operatorname{lcm}(2024, 756) értékét!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Euklideszi algoritmus:

2024 = 2 \cdot 756 + 512

2. lépés

756 = 1 \cdot 512 + 244

3. lépés

512 = 2 \cdot 244 + 24

4. lépés

244 = 10 \cdot 24 + 4

5. lépés

24 = 6 \cdot 4 + 0

→ \gcd(2024, 756) = 4

6. lépés

Legkisebb közös többszörös:

\operatorname{lcm}(2024, 756) = \frac{2024 \cdot 756}{4} = \frac{1530144}{4} = 382536

→ \operatorname{lcm} = 382536

📌 Végeredmény: \gcd = 4, \operatorname{lcm} = 382536

✓ Ellenőrzés: 2024 = 4 \cdot 506, 756 = 4 \cdot 189, \gcd(506, 189) = 1 ✓; 4 \cdot 382536 = 1530144 = 2024 \cdot 756 ✓

3🟡 Közepes

5 pont

Oldja meg az alábbi egyenlőtlenség-rendszert: \begin{cases} x^2 - 5x + 6 < 0 \\ 2x - 3 \geq 0 \end{cases}

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Első egyenlőtlenség: x^2 - 5x + 6 < 0. Gyökök: x = 2 és x = 3, tehát:

(x-2)(x-3) < 0 \iff 2 < x < 3

2. lépés

Második egyenlőtlenség: 2x - 3 \geq 0 \iff x \geq \frac{3}{2}

3. lépés

Metszet: 2 < x < 3 és x \geq \frac{3}{2}. Mivel 2 > \frac{3}{2}, a metszet:

→ x \in (2;\; 3)

📌 Végeredmény: x \in (2;\; 3)

✓ Ellenőrzés: x = 2{,}5: 6{,}25 - 12{,}5 + 6 = -0{,}25 < 0 ✓ és 5-3 = 2 \geq 0 ✓

4🟡 Közepes

5 pont

Hány olyan 5 jegyű szám van, amelyben a számjegyek összege 4?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Az első számjegy d_1 \geq 1, a többi d_2, d_3, d_4, d_5 \geq 0, és d_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 = 4

2. lépés

Legyen e_1 = d_1 - 1 \geq 0. Akkor e_1 + d_2 + d_3 + d_4 + d_5 = 3

3. lépés

5 nemnegatív egész szám összege 3: ez csillag-vonal (stars and bars):

\binom{3 + 5 - 1}{5 - 1} = \binom{7}{4} = 35

4. lépés

Fontos: itt minden számjegy legfeljebb 9, és mivel az összeg 4, ez automatikusan teljesül

→ 35

📌 Végeredmény: 35

✓ Ellenőrzés: pl. 10003, 10012, 10021, 10030, 10102, ... rendszeresen felsorolva 35 db ✓

5🟡 Közepes

5 pont

Egy mértani sorozatban a_2 = 6 és a_5 = 162. Határozza meg az összes tagot a_1-től a_6-ig, és számítsa ki az első 6 tag összegét!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

a_2 = a_1 q = 6 és a_5 = a_1 q^4 = 162

2. lépés

Osztás: \frac{a_5}{a_2} = q^3 = \frac{162}{6} = 27, tehát q = 3

→ q = 3

3. lépés

a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{6}{3} = 2

→ a_1 = 2

4. lépés

Tagok: 2,\; 6,\; 18,\; 54,\; 162,\; 486

5. lépés

Összeg:

S_6 = 2 \cdot \frac{3^6 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{729 - 1}{2} = 728

→ S_6 = 728

📌 Végeredmény: a_1 = 2, q = 3, S_6 = 728

✓ Ellenőrzés: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + 486 = 728 ✓

6🔴 Nehéz

5 pont

Igazolja a következő azonosságot: \frac{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} = \cos 2\alpha

Megoldás megtekintése

1. lépés

Írjuk át a bal oldalt \sin és \cos segítségével (\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}):

\frac{1 - \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{1 + \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}} = \frac{\frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}{\frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}

2. lépés

Egyszerűsítés (\cos^2\alpha-val):

= \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{1}

3. lépés

A dupla szög képlete: \cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha, tehát:

→ \frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha} = \cos 2\alpha ∎

📌 Végeredmény: Az azonosság igazolva.

✓ Ellenőrzés \alpha = 30°: \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{2} = \cos 60° ✓

7🔴 Nehéz

4 pont

Három szabályos dobókockával dobunk egyszerre. Mi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 10?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Összes eset: 6^3 = 216. Keressük az (a, b, c) rendezett hármasokat, ahol a+b+c = 10 és 1 \leq a, b, c \leq 6

2. lépés

Rendezetlen partíciók: \{1,3,6\}, \{1,4,5\}, \{2,2,6\}, \{2,3,5\}, \{2,4,4\}, \{3,3,4\}

3. lépés

Három különböző: \{1,3,6\}, \{1,4,5\}, \{2,3,5\} → egyenként 3! = 6 sorrend: 3 \cdot 6 = 18

4. lépés

Kettő egyforma: \{2,2,6\}, \{2,4,4\}, \{3,3,4\} → egyenként \frac{3!}{2!} = 3 sorrend: 3 \cdot 3 = 9

5. lépés

Összesen: 18 + 9 = 27

P = \frac{27}{216} = \frac{1}{8}

→ P = \frac{1}{8} = 0{,}125

📌 Végeredmény: \frac{27}{216} = \frac{1}{8}

✓ Ellenőrzés szimmetriával: P(\text{összeg} = 10) = P(\text{összeg} = 11) (a 10+11 = 21 = 3 \cdot 7 szimmetria miatt). Valóban: P(11) = \frac{27}{216} ✓

8🔴 Nehéz

4 pont

Adja meg az f(x) = 2^{|x-1|} - 1 függvény zérushelyét, és jellemezze a függvény menetét (legkisebb érték, monotonitás, szimmetria)!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Zérushelyek: 2^{|x-1|} - 1 = 0 \iff 2^{|x-1|} = 1 \iff |x-1| = 0

→ x = 1

2. lépés

Mivel 2^{|x-1|} = 2^0 és az exponenciális függvény kölcsönösen egyértelmű, |x-1| = 0, azaz x = 1. Más zérushely nincs, mert |x-1| > 0 esetén 2^{|x-1|} > 1, tehát f(x) > 0

→ x = 1

3. lépés

A függvény jellemzői: f(x) \geq 0 (mert 2^{|x-1|} \geq 2^0 = 1), minimum f(1) = 0, szimmetrikus x = 1-re, x < 1-re csökkenő, x > 1-re növekvő

📌 Végeredmény: x = 1 (az egyetlen zérushely)

✓ Ellenőrzés: f(-1) = 2^2 - 1 = 3; f(3) = 2^2 - 1 = 3 (szimmetria) ✓

9🔴 Nehéz

16 pont

a) Bizonyítsa be, hogy minden n \geq 1 egész számra 9 \mid (4^n + 6n - 1)! b) Igazolja teljes indukcióval, hogy n \geq 1 esetén: \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1} c) Az előző eredmény felhasználásával határozza meg a \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} végtelen sor összegét!

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Teljes indukció Bázis (n=1): 4^1 + 6 \cdot 1 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9, és 9 \mid 9 ✓

2. lépés

Indukciós feltevés: n = k-ra: 9 \mid (4^k + 6k - 1), azaz 4^k + 6k - 1 = 9m valamely m egészre

3. lépés

Indukciós lépés (n = k+1):

4^{k+1} + 6(k+1) - 1 = 4 \cdot 4^k + 6k + 5

4. lépés

Az indukciós feltevésből: 4^k = 9m - 6k + 1. Behelyettesítés:

= 4(9m - 6k + 1) + 6k + 5 = 36m - 24k + 4 + 6k + 5 = 36m - 18k + 9 = 9(4m - 2k + 1)

5. lépés

Ez osztható 9-cel. ∎

6. lépés

b) Teljes indukció Bázis (n=1): \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2} = \frac{1}{1+1} ✓

7. lépés

Indukciós feltevés: n = k-ra: \sum_{i=1}^{k} \frac{1}{i(i+1)} = \frac{k}{k+1}

8. lépés

Indukciós lépés (n = k+1):

\sum_{i=1}^{k+1} \frac{1}{i(i+1)} = \frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k(k+2) + 1}{(k+1)(k+2)}

9. lépés

A számláló:

k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2

10. lépés

Tehát:

\frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{k+2}

→ Ez az állítás n = k+1-re. ∎

11. lépés

c) A végtelen sor:

\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{n}} = 1

→ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} = 1

📌 Végeredmény: a) Indukcióval bizonyítva. b) Indukcióval bizonyítva. c) 1.

✓ Ellenőrzés a) részhez: n=2: 16+12-1=27=9 \cdot 3 ✓; n=3: 64+18-1=81=9 \cdot 9 ✓

10🔴 Nehéz

16 pont

A koordináta-rendszerben adott az A(-2; 5), B(6; 1) és C(2; -3) pontokkal meghatározott háromszög. a) Határozza meg az AB oldal felezőmerőlegesének egyenletét! b) Határozza meg a háromszög köré írt kör középpontját és sugarát! c) Számítsa ki a háromszög területét és a belé írt kör sugarát!

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) AB felezőpontja: F_{AB} = \left(\frac{-2+6}{2};\; \frac{5+1}{2}\right) = (2; 3)

2. lépés

A felezőmerőleges normálvektora az AB irányvektora: \overrightarrow{AB} = (8; -4), egyszerűbben (2; -1)

3. lépés

A felezőmerőleges egyenlete (átmegy F_{AB}(2; 3)-on):

2(x - 2) - (y - 3) = 0 \implies 2x - y - 1 = 0

→ 2x - y - 1 = 0

4. lépés

b) A BC oldal felezőpontja F_{BC} = (4; -1), \overrightarrow{BC} = (-4; -4), így a felezőmerőleges normálvektora (1; 1)

5. lépés

A BC felezőmerőlegesének egyenlete:

1(x - 4) + 1(y + 1) = 0 \implies x + y - 3 = 0

6. lépés

A körülírt kör középpontja a két felezőmerőleges metszéspontja: 2x - y - 1 = 0 és x + y - 3 = 0. Összeadva 3x - 4 = 0, tehát x = \frac{4}{3}, és y = 3 - \frac{4}{3} = \frac{5}{3}

7. lépés

A sugár: |OA|^2 = \left(-2 - \frac{4}{3}\right)^2 + \left(5 - \frac{5}{3}\right)^2 = \left(\frac{10}{3}\right)^2 + \left(\frac{10}{3}\right)^2 = \frac{200}{9}

→ O\left(\frac{4}{3};\; \frac{5}{3}\right), r = \frac{10\sqrt{2}}{3} \approx 4{,}71

8. lépés

c) Terület (koordinátás képlet):

T = \frac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|

9. lépés

Behelyettesítés:

T = \frac{1}{2}|(-2)(1-(-3)) + 6((-3)-5) + 2(5-1)| = \frac{1}{2}|-8 - 48 + 8| = 24

→ T = 24

10. lépés

Beírt kör sugara: \rho = \frac{2T}{a+b+c}. Az oldalak: |AB| = \sqrt{64+16} = 4\sqrt{5}, |BC| = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}, |AC| = \sqrt{16+64} = 4\sqrt{5}

11. lépés

A kerület: 8\sqrt{5} + 4\sqrt{2}

\rho = \frac{2 \cdot 24}{8\sqrt{5} + 4\sqrt{2}} = \frac{12}{2\sqrt{5} + \sqrt{2}} \approx 2{,}04

→ \rho \approx 2{,}04

📌 Végeredmény: a) 2x - y - 1 = 0; b) O\left(\frac{4}{3};\; \frac{5}{3}\right), r = \frac{10\sqrt{2}}{3} \approx 4{,}71; c) T = 24, \rho = \frac{12}{2\sqrt{5} + \sqrt{2}} \approx 2{,}04

✓ Ellenőrzés: |OC|^2 = (2-\frac{4}{3})^2 + (-3-\frac{5}{3})^2 = (\frac{2}{3})^2 + (-\frac{14}{3})^2 = \frac{4+196}{9} = \frac{200}{9} ✓

11🔴 Nehéz

16 pont

Adott az f(x) = x^2 e^{-x} függvény (x \in \mathbb{R}). a) Határozza meg a függvény lokális szélsőértékeit! b) Vizsgálja meg a konvexitást és határozza meg az inflexiós pontokat! c) Igazolja, hogy \int_0^{+\infty} x^2 e^{-x}\,dx = 2!

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Derivált:

f'(x) = 2xe^{-x} + x^2(-e^{-x}) = xe^{-x}(2 - x)

2. lépés

f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0 vagy x = 2 (mert e^{-x} > 0 mindig)

3. lépés

Előjelek: x < 0: (-)(+)(+) = (-); 0 < x < 2: (+)(+)(+) = (+); x > 2: (+)(+)(-) = (-)

4. lépés

x = 0: lok. minimum, f(0) = 0; x = 2: lok. maximum, f(2) = 4e^{-2} \approx 0{,}541

→ Lok. min. (0; 0), lok. max. (2; 4e^{-2})

5. lépés

b) Második derivált (f'(x) = (2x - x^2)e^{-x}, szorzatszabály):

f''(x) = (2 - 2x)e^{-x} + (2x - x^2)(-e^{-x}) = e^{-x}(x^2 - 4x + 2)

6. lépés

f''(x) = 0 \iff x^2 - 4x + 2 = 0 \iff x = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}

→ Inflexiós pontok: x_1 = 2 - \sqrt{2} \approx 0{,}586 és x_2 = 2 + \sqrt{2} \approx 3{,}414

7. lépés

c) Kétszeri parciális integrálás:

8. lépés

\int_0^{\infty} x^2 e^{-x}dx: u = x^2, v' = e^{-x}:

= \left[-x^2 e^{-x}\right]_0^{\infty} + 2\int_0^{\infty} xe^{-x}dx = 0 + 2\int_0^{\infty} xe^{-x}dx

9. lépés

Másodszor is parciálisan integrálunk: u = x, v' = e^{-x}:

2\left(\left[-xe^{-x}\right]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} e^{-x}dx\right) = 2\left(0 + \left[-e^{-x}\right]_0^{\infty}\right) = 2(0 - (-1)) = 2

→ \int_0^{\infty} x^2 e^{-x}dx = 2 ∎

📌 Végeredmény: a) Lok. min. f(0) = 0, lok. max. f(2) = 4e^{-2}; b) Inflexiós pontok: x = 2 \pm \sqrt{2}; c) \Gamma(3) = 2! = 2.

✓ Ellenőrzés: ez a \Gamma(3) = 2! = 2 Gamma-függvény értéke ✓

12🔴 Nehéz

16 pont

Egy gyárban két gép (A és B) gyárt alkatrészeket. Az A gép a teljes termelés 60\%-át adja, a B gép a 40\%-át. Az A gép 2\% selejtet termel, a B gép 5\%-ot. a) Mekkora a selejt aránya az össztermelésben? b) Egy véletlenül kiválasztott alkatrészről kiderül, hogy selejtes. Mi a valószínűsége, hogy az A gép gyártotta? (Bayes-tétel) c) 10 alkatrészt választunk véletlenszerűen az össztermelésből. Mi a valószínűsége, hogy pontosan 1 selejtes van köztük?

Megoldás megtekintése

1. lépés

Jelölések: P(A) = 0{,}6, P(B) = 0{,}4, P(S|A) = 0{,}02, P(S|B) = 0{,}05

2. lépés

a) Teljes valószínűség tétele:

P(S) = P(A) \cdot P(S|A) + P(B) \cdot P(S|B) = 0{,}6 \cdot 0{,}02 + 0{,}4 \cdot 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032

→ P(S) = 3{,}2\%

3. lépés

b) Bayes-tétel:

P(A|S) = \frac{P(A) \cdot P(S|A)}{P(S)} = \frac{0{,}012}{0{,}032} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}

→ P(A|S) = \frac{3}{8} = 37{,}5\%

4. lépés

c) Binomiális eloszlás: n = 10, p = 0{,}032

P(X = 1) = \binom{10}{1} \cdot 0{,}032^1 \cdot 0{,}968^9

5. lépés

Kiszámítás: 0{,}968^2 = 0{,}937024; 0{,}968^4 \approx 0{,}878014; 0{,}968^8 \approx 0{,}770909; 0{,}968^9 \approx 0{,}746239

6. lépés

Tehát:

P(X=1) = 10 \cdot 0{,}032 \cdot 0{,}746239 \approx 0{,}2388

→ P(X=1) \approx 0{,}239

📌 Végeredmény: a) 3{,}2\%; b) \frac{3}{8} = 0{,}375; c) \approx 0{,}239

✓ Ellenőrzés: P(A|S) + P(B|S) = \frac{3}{8} + \frac{5}{8} = 1 ✓; Az érték reális: kis selejt, nagy minta → kevés selejtes ✓

Info
⚠️ Forrás és pontosság: Ez a feladatsor nem az Oktatási Hivatal eredeti feladatsora, hanem az OH emelt szintű feladatsorainak mintájára készült gyakorló feladatsor: a szerkezetet és a témaköröket követi, de a feladatok saját szerkesztésűek. A levezetéseket saját számítással ellenőriztük, ennek ellenére előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd nekünk! Az eredeti feladatsorokat és javítási útmutatókat az Oktatási Hivatal oldalán találod.

2023. október — Emelt szintű matematika gyakorló feladatsor

Összpontszám: 100 pont (I. rész: 36 pont, II. rész: 64 pont) — a gyakorló feladatsor egyszerűsített pontozása; a valódi emelt szintű írásbeli 115 pontos

Időtartam: a valódi emelt szintű írásbeli vizsga 240 perces

I. rész — Feladatok (36 pont)

II. rész — Kifejtős feladatok (64 pont)

A II. rész feladatainak megoldási gondolatmenetét minden esetben részletezni kell.

Összegzés

Rész	Feladatok	Pontszám
I. rész	8 feladat	36 pont
II. rész	4 feladat	64 pont
Összesen	12 feladat	100 pont

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Hány pontos a 2023 októberi emelt szintű gyakorló feladatsor, és mennyi a valódi emelt szintű írásbeli?

A gyakorló feladatsor 100 pontos: az I. rész 36 pont (8 feladat), a II. rész 64 pont (4 kifejtős feladat, egyenként 16 pont). A valódi emelt szintű írásbeli 240 perces és 115 pontos: az I. rész 51 pont (4 feladat), a II. rész 5 darab 16 pontos feladatból áll, amelyek közül 4-et kell megoldani (64 pont).

Milyen témák szerepeltek a 2023 októberi emelt érettségin?

Az emelt szintű érettségi jellemzően tartalmaz: bizonyítási feladatot, komplex geometriai feladatot, függvényanalízist és valószínűségszámítást. Ez a gyakorló feladatsor is ezekből a témakörökből válogat.

Mennyivel nehezebb az emelt szintű érettségi a középszintűnél?

Az emelt szint 240 perces (középszint: 180 perc), szerepelnek bizonyítások, és a II. rész 5 feladatából 4-et kell megoldani. A feladatok mélyebb matematikai ismeretet és komplex gondolkodást igényelnek.

Források

Az eredeti feladatsorok és javítási útmutatók: Oktatási Hivatal – Érettségi feladatsorok
Ez a feladatsor saját szerkesztésű gyakorló feladatsor, nem az OH eredeti feladatsora.
A levezetéseket saját számítással ellenőriztük.

Frissítve:2026. február 21.

📝

Érettségi Emelt Szint — Teljes csomag

Hat emelt szintű témacsomag (70 feladat), egy emelt mintaérettségi (9 kitűzött feladat, 115 pont, 240 perc) és az emelt képletgyűjtemény. Összesen 8 PDF, 79 feladat.

✓ 30 napos garancia✓ Azonnali letöltés✓ Nyomtatható A4 PDF

ettől

6990 Ft

Megnézem →

Előző oldal2024 május Következő oldal2023 május

2023 október

2023. október — Emelt szintű matematika gyakorló feladatsor#

I. rész — Feladatok (36 pont)#

II. rész — Kifejtős feladatok (64 pont)#

Összegzés#

Kapcsolódó tartalmak#

Gyakran ismételt kérdések#

Források#

Érettségi Emelt Szint — Teljes csomag

2023. október — Emelt szintű matematika gyakorló feladatsor

I. rész — Feladatok (36 pont)

II. rész — Kifejtős feladatok (64 pont)

Összegzés

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Források