Statisztika érettségi feladatok megoldással

Statisztika

1🟢 Könnyű

3 pont

Egy osztály 7 tanulójának jegyei: 3, 5, 4, 3, 2, 5, 4. Számítsd ki az átlagot, a mediánt és a móduszt!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Átlag: az értékek összege osztva a darabszámmal

\bar{x} = \frac{3+5+4+3+2+5+4}{7} = \frac{26}{7}

→ \approx 3{,}71

2. lépés

Rendezett sor: 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5 → a középső (4.) elem

→ Medián: 4

3. lépés

Módusz: a leggyakoribb értékek: 3, 4 és 5 (mindegyik 2-szer)

→ Három módusz: 3, 4, 5

📌 Végeredmény: Átlag: \approx 3{,}71, medián: 4, módusz: 3 és 4 és 5

✓ \frac{26}{7} \approx 3{,}714 ✓

2🟢 Könnyű

4 pont

Egy hét napi hőmérsékleti adatai (°C): 18, 20, 22, 19, 25, 21, 23. Mekkora a terjedelem?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Terjedelem = legnagyobb − legkisebb

R = 25 - 18

→ R = 7 °C

📌 Végeredmény: 7 °C

✓ Rendezett: 18, 19, 20, 21, 22, 23, 25 → 25 - 18 = 7 ✓

3🟡 Közepes

6 pont

Öt szám: 2, 4, 6, 8, 10. Számítsd ki a szórásukat!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Átlag

\bar{x} = \frac{2+4+6+8+10}{5} = 6

2. lépés

Eltérés-négyzetek: (2-6)^2 = 16, (4-6)^2 = 4, (6-6)^2 = 0, (8-6)^2 = 4, (10-6)^2 = 16

3. lépés

Szórásnégyzet (variancia)

\sigma^2 = \frac{16+4+0+4+16}{5} = \frac{40}{5} = 8

4. lépés

Szórás

\sigma = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

→ \sigma \approx 2{,}83

📌 Végeredmény: \sigma \approx 2{,}83

✓ \sqrt{8} = 2{,}828... ✓

4🟡 Közepes

7 pont

Egy A csoport (15 fő) átlaga 3{,}8, egy B csoport (25 fő) átlaga 4{,}4. Mekkora a két csoport együttes átlaga?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Súlyozott átlag

\bar{x} = \frac{n_1 \cdot \bar{x}_1 + n_2 \cdot \bar{x}_2}{n_1 + n_2}

2. lépés

Behelyettesítés

\bar{x} = \frac{15 \cdot 3{,}8 + 25 \cdot 4{,}4}{15 + 25} = \frac{57 + 110}{40} = \frac{167}{40}

→ 4{,}175

📌 Végeredmény: 4{,}175

✓ 15 \cdot 3{,}8 = 57, 25 \cdot 4{,}4 = 110, (57+110)/40 = 4{,}175 ✓

5🔴 Nehéz

10 pont

10 tanuló teszt-eredményei: 45, 55, 60, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90. Készíts szárdiagramot (doboz-diagramot): add meg a minimumot, Q_1-et, a mediánt, Q_3-at és a maximumot!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Minimum: 45, maximum: 90

2. lépés

Medián (10 elem → 5. és 6. átlaga)

\text{Me} = \frac{65 + 70}{2} = 67{,}5

3. lépés

Alsó kvartilis: az alsó 5 elem (45, 55, 60, 60, 65) mediánja → 3. elem

→ Q_1 = 60

4. lépés

Felső kvartilis: a felső 5 elem (70, 75, 80, 85, 90) mediánja → 3. elem

→ Q_3 = 80

5. lépés

Interkvartilis terjedelem: Q_3 - Q_1 = 80 - 60 = 20

📌 Végeredmény: Min: 45, Q_1: 60, Me: 67{,}5, Q_3: 80, Max: 90

✓ Az 5 jellemző szám: 45, 60, 67{,}5, 80, 90 ✓

6🔴 Nehéz

10 pont

Egy dobás kísérletben 120-szor dobtunk kockával. Az eredmények: 1-es: 18-szor, 2-es: 22-szer, 3-as: 20-szor, 4-es: 25-ször, 5-ös: 15-ször, 6-os: 20-szor. Számítsd ki a relatív gyakoriságokat és a dobások átlagát!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Relatív gyakoriságok: f_i = \frac{k_i}{120}

2. lépés

f_1 = \frac{18}{120} = 0{,}15, f_2 = \frac{22}{120} \approx 0{,}183, f_3 = \frac{20}{120} \approx 0{,}167

3. lépés

f_4 = \frac{25}{120} \approx 0{,}208, f_5 = \frac{15}{120} = 0{,}125, f_6 = \frac{20}{120} \approx 0{,}167

4. lépés

Átlag: \bar{x} = \frac{1 \cdot 18 + 2 \cdot 22 + 3 \cdot 20 + 4 \cdot 25 + 5 \cdot 15 + 6 \cdot 20}{120}

\bar{x} = \frac{18+44+60+100+75+120}{120} = \frac{417}{120}

→ \approx 3{,}475

📌 Végeredmény: Átlag: 3{,}5

✓ Összeg: 18+22+20+25+15+20 = 120 ✓, \frac{417}{120} = 3{,}475 ✓

Info
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok az Oktatási Hivatal által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak. A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatói alapján ellenőrizve.

Elméleti összefoglaló

Középértékek

Számtani közép (átlag):

\overset{x}{ˉ} = \frac{x _{1} + x _{2} + \dots + x _{n}}{n} = \frac{\sum _{i = 1}^{n} x _{i}}{n}

Medián: A nagyság szerint rendezett adatsor középső eleme. Ha $n$ páros, a két középső elem átlaga.

Módusz: A leggyakrabban előforduló érték. Lehet, hogy nincs, vagy több is van.

Terjedelem és szórás

Terjedelem: A legnagyobb és legkisebb érték különbsége: $R = x_{m a x} - x_{m i n}$

Szórás (az adatok átlagtól való átlagos eltérése):

σ = \frac{\sum _{i = 1}^{n} ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}

Szórásnégyzet (variancia): $σ^{2} = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}{n}$

Relatív gyakoriság

f_{i} = \frac{k _{i}}{n}

ahol $k_{i}$ az $i$ -edik érték előfordulásainak száma, $n$ az összes adat száma.

Tip
Érettségin a szórás kiszámítása a leginkább pontot érő feladat — érdemes táblázatot készíteni az $(x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$ értékekkel!

Feladatok

Tipikus buktatók

1. Medián páros elemszámnál Ha $n$ páros (pl. 6 adat), a medián a 3. és 4. elem átlaga, nem az egyikük!

2. Súlyozott átlag vs. egyszerű átlag Ha a feladat különböző létszámú csoportokról szól (pl. A csoport 20 fő, átlag 3,5; B csoport 30 fő, átlag 4,2), a közös átlag NEM $(3, 5 + 4, 2) /2$ , hanem súlyozott átlag: $\frac{20 \cdot 3 , 5 + 30 \cdot 4 , 2}{50}$ .

3. Szórás kiszámításánál a lépések sorrendje Gyakori hiba: elfelejtik a négyzetgyökvonást (és a varianciát adják meg szórásként), vagy fordítva: kétszer vonnak gyököt.

4. Diagram-leolvasás Oszlopdiagramnál figyeld a tengely skáláját — nem mindig 0-tól indul! Kördiagramnál a szöget $\frac{k _{i}}{n} \cdot 360°$ képlettel számold.

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Mi a különbség az átlag, a medián és a módusz között?

Az átlag (számtani közép) az összes adat összege osztva az adatok számával. A medián a nagyság szerint rendezett adatsor középső eleme. A módusz a leggyakrabban előforduló érték. Az érettségin mind a hármat kérdezhetik!

Hogyan számoljuk ki a szórást?

A szórás kiszámítása: 1. Számold ki az átlagot. 2. Vond ki az átlagot minden adatból és emeld négyzetre. 3. Számold ki ezek átlagát (ez a variancia/szórásnégyzet). 4. Vonj négyzetgyököt. Képlet: σ = √(Σ(xᵢ−x̄)²/n).

Milyen statisztika feladatok szoktak jönni érettségin?

Középszintű érettségin jellemzően átlag, medián, módusz számítása, szórás számítása, diagramok (oszlop, kör, doboz) leolvasása/készítése, és relatív gyakoriság fordulnak elő.

Források

Feladatsorok és javítási útmutatók: Oktatási Hivatal – Érettségi feladatsorok archívum
A feladatok az OH által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak.
A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatói alapján ellenőrizve.

Frissítve:2026. február 21.