Koordináta-geometria

Q: Hogyan számoljuk ki két pont távolságát?

Két pont távolságát a távolságképlettel számoljuk: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). Ez a Pitagorasz-tétel alkalmazása a koordináta-rendszerben.

Q: Mi az egyenes egyenlete és milyen alakjai vannak?

Az egyenes egyenletének három fő alakja: iránytényezős alak (y = mx + b), általános alak (ax + by + c = 0), és normálvektoros alak. Az érettségin legtöbbször az iránytényezős alakot használjuk.

Q: Milyen koordináta-geometria feladatok szoktak jönni érettségin?

Középszintű érettségin jellemzően két pont távolsága, felezőpont, egyenes egyenlete, két egyenes metszéspontja, pont és egyenes távolsága, valamint kör egyenlete fordulnak elő.

1🟢 Könnyű

3 pont

Számítsd ki az A(2, 3) és B(8, 11) pontok távolságát!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A távolságképlet

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

2. lépés

Behelyettesítés

d = \sqrt{(8-2)^2 + (11-3)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100}

→ d = 10

📌 Végeredmény: d = 10

✓ 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 ✓ (Pitagoraszi számhármas: 6, 8, 10)

2🟢 Könnyű

3 pont

Add meg az A(1, 5) és B(7, -3) pontok felezőpontját!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Felezőpont képlete

F = \left(\frac{x_1 + x_2}{2};\; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

2. lépés

Behelyettesítés

F = \left(\frac{1+7}{2};\; \frac{5+(-3)}{2}\right) = (4;\; 1)

📌 Végeredmény: F(4; 1)

✓ F távolsága A-tól és B-től: \sqrt{9+16} = 5 mindkettő → valóban felezőpont ✓

3🟡 Közepes

5 pont

Írd fel az A(1, 2) és B(5, 6) pontokon átmenő egyenes egyenletét iránytényezős alakban!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Iránytényező

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6-2}{5-1} = \frac{4}{4} = 1

2. lépés

Pont-meredekség alak az A(1, 2) ponttal

y - 2 = 1 \cdot (x - 1)

→ y = x + 1

📌 Végeredmény: y = x + 1

✓ B(5, 6) rajta van-e? 5 + 1 = 6 ✓

4🟡 Közepes

7 pont

Hol metszi egymást az y = 2x - 1 és az y = -x + 8 egyenes?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A metszéspont: 2x - 1 = -x + 8

3x = 9

→ x = 3

2. lépés

Visszahelyettesítés

y = 2 \cdot 3 - 1 = 5

→ Metszéspont: M(3; 5)

📌 Végeredmény: M(3; 5)

✓ Ellenőrzés a második egyenlettel: y = -3 + 8 = 5 ✓

5🔴 Nehéz

10 pont

A P(4, 7) pont távolsága a 3x - 4y + c = 0 egyenestől 3 egység. Határozd meg c lehetséges értékeit!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Pont–egyenes távolság képlete

d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}

2. lépés

Behelyettesítés: a = 3, b = -4, (x_0, y_0) = (4, 7)

3 = \frac{|3 \cdot 4 + (-4) \cdot 7 + c|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|12 - 28 + c|}{5}

3. lépés

Szorzás 5-tel

15 = |c - 16|

4. lépés

Abszolútérték feloldása: c - 16 = 15 → c = 31 vagy c - 16 = -15 → c = 1

→ c = 31 vagy c = 1

📌 Végeredmény: c = -1 vagy c = 31

✓ c = 31: \frac{|12-28+31|}{5} = \frac{15}{5} = 3 ✓; c = 1: \frac{|12-28+1|}{5} = \frac{15}{5} = 3 ✓

6🔴 Nehéz

10 pont

Írd fel annak a körnek az egyenletét, amelynek középpontja K(3, -2) és átmegy az A(7, 1) ponton!

Megoldás megtekintése

1. lépés

A sugár = K és A távolsága

r = \sqrt{(7-3)^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{16 + 9} = 5

2. lépés

A kör egyenlete középpontos alakban

(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 25

→ (x-3)^2 + (y+2)^2 = 25

📌 Végeredmény: (x-3)^2 + (y+2)^2 = 25

✓ A(7, 1) rajta van-e? (7-3)^2 + (1+2)^2 = 16 + 9 = 25 ✓

Info
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok az Oktatási Hivatal által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak. A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatói alapján ellenőrizve.

Elméleti összefoglaló

Két pont távolsága

d (A, B) = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

Felezőpont

Az $A (x_{1}, y_{1})$ és $B (x_{2}, y_{2})$ pontok felezőpontja:

F = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}; \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

Egyenes egyenlete

Iránytényezős alak: $y = m x + b$ , ahol $m$ az iránytényező (meredekség), $b$ az $y$ -tengellyel való metszéspont.

Két ponton átmenő egyenes: Ha ismerjük $A (x_{1}, y_{1})$ -et és az iránytényezőt $m$ -et:

y - y_{1} = m \cdot (x - x_{1})

Iránytényező két pontból:

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Pont és egyenes távolsága

Az $P (x_{0}, y_{0})$ pont és az $a x + b y + c = 0$ egyenes távolsága:

d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

Kör egyenlete

Középpontos alak: $(x - u)^{2} + (y - v)^{2} = r^{2}$ , ahol $(u, v)$ a középpont, $r$ a sugár.

Tip
Ha két egyenes merőleges egymásra, iránytényezőik szorzata $- 1$ : $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ . Ha párhuzamosak, iránytényezőik egyenlők: $m_{1} = m_{2}$ .

Tipikus buktatók

1. Iránytényező előjelének hibás leolvasása Az iránytényező $m = \frac{Δ y}{Δ x}$ : figyelj, hogy melyik pontot vonod ki melyikből — mindkét koordinátánál ugyanabban a sorrendben!

2. Pont–egyenes távolság: általános alak szükséges A távolságképlet $a x + b y + c = 0$ alakú egyenlethez működik. Ha $y = m x + b$ alakod van, először írd át: $m x - y + b = 0$ .

3. Kör egyenletének felismerése Az $x^{2} + y^{2} + D x + E y + F = 0$ alakból a középpont: $(- \frac{D}{2}; - \frac{E}{2})$ , és $r^{2} = \frac{D ^{2}}{4} + \frac{E ^{2}}{4} - F$ . Ha $r^{2} < 0$ , nem létezik a kör!

4. Párhuzamos egyenesek metszéspontja Ha két egyenes iránytényezője egyenlő ( $m_{1} = m_{2}$ ) és $b_{1} \neq = b_{2}$ , a két egyenes párhuzamos → nincs metszéspont. Ne feledd ezt ellenőrizni!

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Hogyan számoljuk ki két pont távolságát?

Két pont távolságát a távolságképlettel számoljuk: d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²). Ez a Pitagorasz-tétel alkalmazása a koordináta-rendszerben.

Mi az egyenes egyenlete és milyen alakjai vannak?

Az egyenes egyenletének három fő alakja: iránytényezős alak (y = mx + b), általános alak (ax + by + c = 0), és normálvektoros alak. Az érettségin legtöbbször az iránytényezős alakot használjuk.

Milyen koordináta-geometria feladatok szoktak jönni érettségin?

Középszintű érettségin jellemzően két pont távolsága, felezőpont, egyenes egyenlete, két egyenes metszéspontja, pont és egyenes távolsága, valamint kör egyenlete fordulnak elő.

Források

Feladatsorok és javítási útmutatók: Oktatási Hivatal – Érettségi feladatsorok archívum
A feladatok az OH által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak.
A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatói alapján ellenőrizve.

Frissítve:2026. február 21.

Hirdetés

Előző oldalTrigonometria Következő oldalKombinatorika