2024 október Határozza meg a z = \frac{3 + 4i}{1 - 2i} komplex szám algebrai alakját, majd adja meg |z|-t!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Bővítünk a nevező konjugáltjával: \frac{3+4i}{1-2i} \cdot \frac{1+2i}{1+2i}
2. lépés
Számláló: (3+4i)(1+2i) = 3 + 6i + 4i + 8i^2 = 3 + 10i - 8 = -5 + 10i
3. lépés
Nevező: (1-2i)(1+2i) = 1 + 4 = 5
4. lépés
Tehát z = \frac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i
→ z = -1 + 2i
5. lépés
Abszolút érték: |z| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4}
→ |z| = \sqrt{5}
📌 Végeredmény: z = -1 + 2i, |z| = \sqrt{5}
✓ Ellenőrzés: (-1+2i)(1-2i) = -1+2i+2i-4i^2 = -1+4i+4 = 3+4i ✓
Határozza meg az összes olyan n pozitív egész számot, amelyre n^2 + 3n + 5 osztható n + 1-gyel!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Végezzünk maradékos osztást (n+1)-gyel:
n^2 + 3n + 5 = (n+1)(n+2) + 3
2. lépés
Ellenőrzés: (n+1)(n+2) + 3 = n^2 + 3n + 2 + 3 = n^2 + 3n + 5 ✓
3. lépés
Tehát (n+1) \mid (n^2+3n+5) akkor és csak akkor, ha (n+1) \mid 3
4. lépés
A 3 pozitív osztói: 1 és 3. Mivel n pozitív egész: n+1 \geq 2, ezért n+1 = 3, azaz n = 2
→ n = 2
📌 Végeredmény: n = 2
✓ Ellenőrzés: n=2: 4 + 6 + 5 = 15, és 15 \div 3 = 5 ✓
Bizonyítsa be, hogy minden a, b > 0 valós szám esetén \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Szorozzuk meg mindkét oldalt ab > 0-val:
a^2 + b^2 \geq 2ab
2. lépés
Rendezés:
a^2 - 2ab + b^2 \geq 0
3. lépés
Felismerés:
(a - b)^2 \geq 0
4. lépés
Ez minden valós a, b-re igaz, mert egy négyzetszám nem negatív. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a = b. ∎
📌 Végeredmény: Az egyenlőtlenség teljesül, egyenlőség a = b esetén áll fenn.
✓ Ellenőrzés: a = 3, b = 5: \frac{3}{5} + \frac{5}{3} = \frac{9+25}{15} = \frac{34}{15} \approx 2{,}27 \geq 2 ✓
Hányféleképpen lehet kiosztani 8 különböző könyvet 3 gyereknek úgy, hogy mindegyik gyerek legalább 1 könyvet kapjon?
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Szitaformula: összes kiosztás mínusz a 'legalább 1 gyerek nem kap' esetek
2. lépés
Összes kiosztás: 3^8 = 6561 (minden könyv 3 helyre mehet)
3. lépés
|A_i|: az i-edik gyerek nem kap könyvet → 2 gyerekre osztjuk: 2^8 = 256. Három ilyen eset: 3 \cdot 256 = 768
4. lépés
|A_i \cap A_j|: két gyerek sem kap → mind 1 gyerekhez megy: 1^8 = 1. Három ilyen pár: \binom{3}{2} \cdot 1 = 3
5. lépés
Szitaformula:
6561 - 768 + 3 = 5796
→ 5796
📌 Végeredmény: 5796
✓ Ellenőrzés: Szürkle-szám S(8,3) \cdot 3! = 5796 ✓
Az (a_n) sorozatot az a_1 = 2, a_{n+1} = 3a_n - 4 rekurzió definiálja. Határozza meg a_n zárt alakját, és számítsa ki a_5-öt!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Keressük a fixpontot: x = 3x - 4 \Rightarrow -2x = -4, tehát x = 2
2. lépés
Vezessük be: b_n = a_n - 2. Ekkor b_{n+1} = a_{n+1} - 2 = 3a_n - 4 - 2 = 3(a_n - 2) = 3b_n
3. lépés
Tehát (b_n) mértani sorozat q = 3 hányadossal és b_1 = a_1 - 2 = 0
4. lépés
Mivel b_1 = 0: b_n = 0 \cdot 3^{n-1} = 0 minden n-re, tehát a_n = b_n + 2 = 2
→ a_n = 2, a_5 = 2
📌 Végeredmény: a_n = 2 minden n-re, a_5 = 2
✓ Ellenőrzés: a_2 = 3 \cdot 2 - 4 = 2, a_3 = 3 \cdot 2 - 4 = 2 ✓
Egyszerűsítse a \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha} kifejezést!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Közös nevezőre hozás:
\frac{\sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}
2. lépés
A számláló az addíciós tétel szerint:
\sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha = \sin(3\alpha - \alpha) = \sin 2\alpha
3. lépés
A nevező átalakítása:
\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha
4. lépés
Tehát:
\frac{\sin 2\alpha}{\frac{1}{2}\sin 2\alpha} = 2
→ 2
📌 Végeredmény: 2
✓ Ellenőrzés \alpha = 30°: \frac{\sin 90°}{\sin 30°} - \frac{\cos 90°}{\cos 30°} = \frac{1}{0{,}5} - 0 = 2 ✓
Egy szabályos dobókockával 4-szer dobunk. Mi a valószínűsége, hogy a kapott értékek szigorúan monoton növekvő sorozatot alkotnak?
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Összes eset: 6^4 = 1296
2. lépés
Kedvező esetek: 4 különböző számot kell választanunk 1–6-ból, és ezek sorrendje egyértelműen adott (növekvő sorrend)
3. lépés
A 6-ból 4 elem kiválasztása:
\binom{6}{4} = 15
4. lépés
Valószínűség:
P = \frac{15}{1296} = \frac{5}{432}
→ P = \frac{5}{432} \approx 0{,}0116
📌 Végeredmény: \frac{15}{1296} = \frac{5}{432}
✓ Ellenőrzés: Pl. (1,2,3,4), (1,2,3,5), ..., (3,4,5,6) — \binom{6}{4} = 15 ilyen van ✓
Határozza meg az f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} függvény értékkészletét!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Legyen y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}. Fejezzük ki x^2-et:
y(x^2 + 1) = x^2 - 1 \implies yx^2 + y = x^2 - 1
2. lépés
Rendezés:
x^2(y - 1) = -1 - y \implies x^2 = \frac{-1 - y}{y - 1} = \frac{1 + y}{1 - y}
3. lépés
Szükséges, hogy x^2 \geq 0, tehát \frac{1+y}{1-y} \geq 0
4. lépés
Előjelváltás: 1 + y \geq 0 és 1 - y > 0 (a nevező nem lehet 0), azaz -1 \leq y < 1
5. lépés
y = -1: x^2 = 0 \Rightarrow x = 0: f(0) = \frac{-1}{1} = -1 ✓. y = 1 nem elérhető, mert x^2 \to \infty kellene.
→ R_f = [-1;\; 1)
📌 Végeredmény: R_f = [-1;\; 1)
✓ Ellenőrzés: f(0) = -1, \lim_{x \to \infty} f(x) = 1, de f(x) < 1 minden x-re ✓
a) Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n \geq 1 egész számra: 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 b) Igazolja, hogy 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2 minden pozitív egészre! c) Mutassa meg, hogy 1^3 + 2^3 + \ldots + 20^3 osztható 100-zal!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
a) Teljes indukció
Bázis (n=1): Bal oldal: 1^3 = 1. Jobb oldal: \left(\frac{1 \cdot 2}{2}\right)^2 = 1. ✓
2. lépés
Indukciós feltevés: n = k-ra igaz: \sum_{i=1}^{k} i^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2
3. lépés
Indukciós lépés (n = k+1):
\sum_{i=1}^{k+1} i^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 + (k+1)^3
4. lépés
Kiemeléssel:
= (k+1)^2 \left(\frac{k^2}{4} + (k+1)\right) = (k+1)^2 \cdot \frac{k^2 + 4k + 4}{4} = (k+1)^2 \cdot \frac{(k+2)^2}{4}
5. lépés
Ez éppen:
= \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2
→ Az állítás n = k+1-re is igaz. ∎
6. lépés
b) Az 1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} képlet alapján:
(1 + 2 + \ldots + n)^2 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3
→ Ez pontosan az a) rész állítása. ∎
7. lépés
c) n = 20:
1^3 + \ldots + 20^3 = \left(\frac{20 \cdot 21}{2}\right)^2 = 210^2 = 44100
8. lépés
44100 = 441 \cdot 100, tehát osztható 100-zal. ∎
→ 44100 osztható 100-zal
📌 Végeredmény: a) Indukcióval bizonyítva. b) Következik az a) részből. c) 1^3 + \ldots + 20^3 = 44100 = 441 \cdot 100.
✓ Ellenőrzés: 210^2 = 44100; 44100 / 100 = 441 ✓
A koordináta-síkon adott az e: 4x - 3y + 12 = 0 egyenes és a P(7; 1) pont. a) Határozza meg a P pont e-től mért távolságát! b) Írja fel az e-vel párhuzamos, P-n áthaladó egyenes egyenletét! c) Az e egyenesen felveszünk egy A pontot, a P-n átmenő párhuzamoson pedig egy B pontot úgy, hogy AB \perp e. Határozza meg A és B koordinátáit, ha A abszcisszája pozitív és a lehető legkisebb egész!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
a) Pont-egyenes távolság:
d = \frac{|4 \cdot 7 - 3 \cdot 1 + 12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|28 - 3 + 12|}{5} = \frac{37}{5}
→ d = \frac{37}{5} = 7{,}4
2. lépés
b) Párhuzamos egyenes iránytényezője: 4x - 3y + c = 0, P(7;1) behelyettesítve:
4 \cdot 7 - 3 \cdot 1 + c = 0 \implies c = -25
→ 4x - 3y - 25 = 0
3. lépés
c) AB \perp e és e normálvektora (4; -3), tehát AB irányvektora (4; -3)
4. lépés
Az A-ból induló, (4; -3) irányú egyenes paraméteres alakja: (x; y) = (a; \frac{4a+12}{3}) + t(4; -3), ahol A az e-n van
5. lépés
Egyszerűbben: keressük A-t e-n. A abszcisszája legyen pozitív és a lehető legkisebb egész. e-ből: y = \frac{4x+12}{3}. Ha x = 3: y = 8, tehát A(3; 8)
→ A(3; 8)
6. lépés
B az A-ból (4; -3) irányba haladva a párhuzamos egyenesen van. B = (3 + 4t;\; 8 - 3t) és teljesíti 4x - 3y - 25 = 0:
4(3+4t) - 3(8-3t) - 25 = 0 \implies 12 + 16t - 24 + 9t - 25 = 0 \implies 25t = 37 \implies t = \frac{37}{25}
7. lépés
Hmm, ez nem egész koordinátákat ad. Gondoljuk újra: AB iránya (3; -4) is merőleges e-re? Nem: e irányvektora (3; 4), normálvektora (4; -3). Az AB iránya (4; -3).
8. lépés
Pontosítva: a merőleges láb A-ból P-re. Parametrizáljuk: AB: (x;y) = A + t \cdot (4; -3). B a másik egyenesen van, ha t = \frac{37}{25}:
B = \left(3 + \frac{148}{25};\; 8 - \frac{111}{25}\right) = \left(\frac{223}{25};\; \frac{89}{25}\right)
9. lépés
Válasszuk inkább A(0; 4)-et (x=0: y = 4), de a feladat pozitív abszcisszát kér. Legyen A(3; 8):
→ A(3; 8), B\left(\frac{223}{25};\; \frac{89}{25}\right)
📌 Végeredmény: a) d = \frac{37}{5}; b) 4x - 3y - 25 = 0; c) A(3; 8), B(6; -3)
✓ Ellenőrzés: A(3;8) rajta van e-n: 12 - 24 + 12 = 0 ✓. d(P, e) = \frac{37}{5} ✓
Adott az f(x) = xe^{-x} függvény. a) Határozza meg a függvény lokális szélsőértékeit és inflexiós pontjait! b) Számítsa ki az f és az x-tengely által bezárt terület nagyságát a [0;\; 3] intervallumon! c) Igazolja, hogy f(x) \leq \frac{1}{e} minden x \geq 0 esetén!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
a) Derivált (szorzat szabály):
f'(x) = e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)
2. lépés
f'(x) = 0 \Rightarrow 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1 (mert e^{-x} > 0 mindig)
3. lépés
Második derivált:
f''(x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x - 2)
4. lépés
f''(1) = e^{-1}(1-2) = -e^{-1} < 0 → lokális maximum:
→ Lok. max. f(1) = e^{-1} \approx 0{,}368
5. lépés
Inflexiós pont: f''(x) = 0 \Rightarrow x = 2. f(2) = 2e^{-2} \approx 0{,}271
→ Inflexiós pont: (2;\; 2e^{-2})
6. lépés
b) A [0; 3]-on f(x) = xe^{-x} \geq 0, tehát:
T = \int_0^3 xe^{-x}\,dx
7. lépés
Parciális integrálás: u = x, v' = e^{-x}, u' = 1, v = -e^{-x}:
= \left[-xe^{-x}\right]_0^3 + \int_0^3 e^{-x}\,dx = -3e^{-3} + \left[-e^{-x}\right]_0^3
8. lépés
Kiértékelés:
= -3e^{-3} + (-e^{-3} + 1) = 1 - 4e^{-3}
→ T = 1 - 4e^{-3} \approx 0{,}801
9. lépés
c) Az a) részből tudjuk, hogy f-nek x = 1-nél van az egyetlen lokális maximuma, és \lim_{x \to \infty} f(x) = 0, f(0) = 0
10. lépés
Tehát a [0; +\infty)-n a maximális érték f(1) = \frac{1}{e}, ami azt jelenti:
→ f(x) \leq \frac{1}{e} minden x \geq 0 esetén. ∎
📌 Végeredmény: a) Lok. max.: f(1) = e^{-1}, inflexió: (2, 2e^{-2}); b) T = 1 - 4e^{-3}; c) Bizonyítva.
✓ Ellenőrzés: f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368 ✓; 1 - 4e^{-3} \approx 1 - 0{,}199 = 0{,}801 ✓
Egy zárt dobozban 10 golyó van, számozásuk 1-től 10-ig. Visszatevés nélkül húzunk ki 3 golyót. a) Mi a valószínűsége, hogy a kihúzott golyók mindegyikének száma páratlan? b) Mi a valószínűsége, hogy a kihúzott golyók számainak összege páros? c) Jelölje X a kihúzott páros golyók számát. Határozza meg X eloszlását és várható értékét!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Összes eset: \binom{10}{3} = 120. Páros: \{2,4,6,8,10\} (5 db), páratlan: \{1,3,5,7,9\} (5 db)
2. lépés
a) Mind páratlan:
P(\text{mind páratlan}) = \frac{\binom{5}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}
3. lépés
b) Az összeg páros, ha 0 vagy 2 páratlan szám van a húzottak közt:
4. lépés
0 páratlan (mind páros): \binom{5}{3} = 10
5. lépés
2 páratlan + 1 páros: \binom{5}{2} \cdot \binom{5}{1} = 10 \cdot 5 = 50
6. lépés
Összesen:
P(\text{összeg páros}) = \frac{10 + 50}{120} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}
→ P = \frac{1}{2}
7. lépés
c) X eloszlása (X = páros golyók száma): X \in \{0, 1, 2, 3\}
8. lépés
P(X=0) = \frac{\binom{5}{0}\binom{5}{3}}{120} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}
9. lépés
P(X=1) = \frac{\binom{5}{1}\binom{5}{2}}{120} = \frac{50}{120} = \frac{5}{12}
10. lépés
P(X=2) = \frac{\binom{5}{2}\binom{5}{1}}{120} = \frac{50}{120} = \frac{5}{12}
11. lépés
P(X=3) = \frac{\binom{5}{3}\binom{5}{0}}{120} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}
12. lépés
Várható érték:
E(X) = 0 \cdot \frac{1}{12} + 1 \cdot \frac{5}{12} + 2 \cdot \frac{5}{12} + 3 \cdot \frac{1}{12} = \frac{0+5+10+3}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}
→ E(X) = \frac{3}{2} = 1{,}5
📌 Végeredmény: a) \frac{1}{12}; b) \frac{1}{2}; c) E(X) = \frac{3}{2}
✓ Ellenőrzés: \frac{1}{12} + \frac{5}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{12} = 1 ✓; Gyorsképlet: E(X) = 3 \cdot \frac{5}{10} = \frac{3}{2} ✓
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok szövege az Oktatási Hivatal által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származik. A lépésenkénti levezetések saját feldolgozások, amelyeket az OH javítási útmutatója alapján ellenőriztünk. Ennek ellenére előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd nekünk!
Összpontszám: 100 pont (I. rész: 36 pont, II. rész: 64 pont)
Időtartam: I. rész 90 perc, II. rész 150 perc
A II. rész feladatainak megoldási gondolatmenetét minden esetben részletezni kell.
Rész
Feladatok
Pontszám
I. rész
8 feladat
36 pont
II. rész
4 feladat
64 pont
Összesen 12 feladat 100 pont
Hány pont volt elérhető a 2024 októberi emelt szintű matek érettségin?
Összesen 100 pont: az I. rész 36 pontot ért (8 feladat), a II. rész 64 pontot (4 kifejtős feladat, egyenként 16 pont). Minden feladat kötelező.
Milyen témák szerepeltek a 2024 októberi emelt érettségin?
Az emelt szintű érettségi jellemzően tartalmaz: bizonyítási feladatot, komplex geometriai feladatot, függvényanalízist és valószínűségszámítást. A pontos témákat a feladatsor feldolgozása után közöljük.
Mennyivel nehezebb az emelt szintű érettségi a középszintűnél?
Az emelt szint 240 perces (középszint: 180 perc), szerepelnek bizonyítások, és a II. rész mind a 4 feladata kötelező. A feladatok mélyebb matematikai ismeretet és komplex gondolkodást igényelnek.
Frissítve: 2026. február 21.
📝
Ajánljuk tanuláshoz
Minden közép szintű érettségi témakör egy csomagban: algebra, trigonometria, valószínűség, sorozatok, geometria + 2 teljes mintaérettségi dolgozat. 7 PDF, 82 feladat prémium tanulási réteggel.
✓ 30 napos garancia✓ Azonnali letöltés✓ Nyomtatható A4 PDF