2024 október

Q: Hány pont volt elérhető a 2024 októberi emelt szintű matek érettségin?

Összesen 100 pont: az I. rész 36 pontot ért (8 feladat), a II. rész 64 pontot (4 kifejtős feladat, egyenként 16 pont). Minden feladat kötelező.

Q: Milyen témák szerepeltek a 2024 októberi emelt érettségin?

Az emelt szintű érettségi jellemzően tartalmaz: bizonyítási feladatot, komplex geometriai feladatot, függvényanalízist és valószínűségszámítást. A pontos témákat a feladatsor feldolgozása után közöljük.

Q: Mennyivel nehezebb az emelt szintű érettségi a középszintűnél?

Az emelt szint 240 perces (középszint: 180 perc), szerepelnek bizonyítások, és a II. rész mind a 4 feladata kötelező. A feladatok mélyebb matematikai ismeretet és komplex gondolkodást igényelnek.

1🟡 Közepes

3 pont

Határozza meg a z = \frac{3 + 4i}{1 - 2i} komplex szám algebrai alakját, majd adja meg |z|-t!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Bővítünk a nevező konjugáltjával: \frac{3+4i}{1-2i} \cdot \frac{1+2i}{1+2i}

2. lépés

Számláló: (3+4i)(1+2i) = 3 + 6i + 4i + 8i^2 = 3 + 10i - 8 = -5 + 10i

3. lépés

Nevező: (1-2i)(1+2i) = 1 + 4 = 5

4. lépés

Tehát z = \frac{-5 + 10i}{5} = -1 + 2i

→ z = -1 + 2i

5. lépés

Abszolút érték: |z| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4}

→ |z| = \sqrt{5}

📌 Végeredmény: z = -1 + 2i, |z| = \sqrt{5}

✓ Ellenőrzés: (-1+2i)(1-2i) = -1+2i+2i-4i^2 = -1+4i+4 = 3+4i ✓

2🟡 Közepes

4 pont

Határozza meg az összes olyan n pozitív egész számot, amelyre n^2 + 3n + 5 osztható n + 1-gyel!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Végezzünk maradékos osztást (n+1)-gyel:

n^2 + 3n + 5 = (n+1)(n+2) + 3

2. lépés

Ellenőrzés: (n+1)(n+2) + 3 = n^2 + 3n + 2 + 3 = n^2 + 3n + 5 ✓

3. lépés

Tehát (n+1) \mid (n^2+3n+5) akkor és csak akkor, ha (n+1) \mid 3

4. lépés

A 3 pozitív osztói: 1 és 3. Mivel n pozitív egész: n+1 \geq 2, ezért n+1 = 3, azaz n = 2

→ n = 2

📌 Végeredmény: n = 2

✓ Ellenőrzés: n=2: 4 + 6 + 5 = 15, és 15 \div 3 = 5 ✓

3🟡 Közepes

5 pont

Bizonyítsa be, hogy minden a, b > 0 valós szám esetén \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Szorozzuk meg mindkét oldalt ab > 0-val:

a^2 + b^2 \geq 2ab

2. lépés

Rendezés:

a^2 - 2ab + b^2 \geq 0

3. lépés

Felismerés:

(a - b)^2 \geq 0

4. lépés

Ez minden valós a, b-re igaz, mert egy négyzetszám nem negatív. Egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha a = b. ∎

📌 Végeredmény: Az egyenlőtlenség teljesül, egyenlőség a = b esetén áll fenn.

✓ Ellenőrzés: a = 3, b = 5: \frac{3}{5} + \frac{5}{3} = \frac{9+25}{15} = \frac{34}{15} \approx 2{,}27 \geq 2 ✓

4🟡 Közepes

5 pont

Hányféleképpen lehet kiosztani 8 különböző könyvet 3 gyereknek úgy, hogy mindegyik gyerek legalább 1 könyvet kapjon?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Szitaformula: összes kiosztás mínusz a 'legalább 1 gyerek nem kap' esetek

2. lépés

Összes kiosztás: 3^8 = 6561 (minden könyv 3 helyre mehet)

3. lépés

|A_i|: az i-edik gyerek nem kap könyvet → 2 gyerekre osztjuk: 2^8 = 256. Három ilyen eset: 3 \cdot 256 = 768

4. lépés

|A_i \cap A_j|: két gyerek sem kap → mind 1 gyerekhez megy: 1^8 = 1. Három ilyen pár: \binom{3}{2} \cdot 1 = 3

5. lépés

Szitaformula:

6561 - 768 + 3 = 5796

→ 5796

📌 Végeredmény: 5796

✓ Ellenőrzés: Szürkle-szám S(8,3) \cdot 3! = 5796 ✓

5🟡 Közepes

5 pont

Az (a_n) sorozatot az a_1 = 2, a_{n+1} = 3a_n - 4 rekurzió definiálja. Határozza meg a_n zárt alakját, és számítsa ki a_5-öt!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Keressük a fixpontot: x = 3x - 4 \Rightarrow -2x = -4, tehát x = 2

2. lépés

Vezessük be: b_n = a_n - 2. Ekkor b_{n+1} = a_{n+1} - 2 = 3a_n - 4 - 2 = 3(a_n - 2) = 3b_n

3. lépés

Tehát (b_n) mértani sorozat q = 3 hányadossal és b_1 = a_1 - 2 = 0

4. lépés

Mivel b_1 = 0: b_n = 0 \cdot 3^{n-1} = 0 minden n-re, tehát a_n = b_n + 2 = 2

→ a_n = 2, a_5 = 2

📌 Végeredmény: a_n = 2 minden n-re, a_5 = 2

✓ Ellenőrzés: a_2 = 3 \cdot 2 - 4 = 2, a_3 = 3 \cdot 2 - 4 = 2 ✓

6🔴 Nehéz

5 pont

Egyszerűsítse a \frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha} kifejezést!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Közös nevezőre hozás:

\frac{\sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}

2. lépés

A számláló az addíciós tétel szerint:

\sin 3\alpha \cos \alpha - \cos 3\alpha \sin \alpha = \sin(3\alpha - \alpha) = \sin 2\alpha

3. lépés

A nevező átalakítása:

\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha

4. lépés

Tehát:

\frac{\sin 2\alpha}{\frac{1}{2}\sin 2\alpha} = 2

→ 2

📌 Végeredmény: 2

✓ Ellenőrzés \alpha = 30°: \frac{\sin 90°}{\sin 30°} - \frac{\cos 90°}{\cos 30°} = \frac{1}{0{,}5} - 0 = 2 ✓

7🔴 Nehéz

4 pont

Egy szabályos dobókockával 4-szer dobunk. Mi a valószínűsége, hogy a kapott értékek szigorúan monoton növekvő sorozatot alkotnak?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Összes eset: 6^4 = 1296

2. lépés

Kedvező esetek: 4 különböző számot kell választanunk 1–6-ból, és ezek sorrendje egyértelműen adott (növekvő sorrend)

3. lépés

A 6-ból 4 elem kiválasztása:

\binom{6}{4} = 15

4. lépés

Valószínűség:

P = \frac{15}{1296} = \frac{5}{432}

→ P = \frac{5}{432} \approx 0{,}0116

📌 Végeredmény: \frac{15}{1296} = \frac{5}{432}

✓ Ellenőrzés: Pl. (1,2,3,4), (1,2,3,5), ..., (3,4,5,6) — \binom{6}{4} = 15 ilyen van ✓

8🔴 Nehéz

5 pont

Határozza meg az f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} függvény értékkészletét!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Legyen y = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}. Fejezzük ki x^2-et:

y(x^2 + 1) = x^2 - 1 \implies yx^2 + y = x^2 - 1

2. lépés

Rendezés:

x^2(y - 1) = -1 - y \implies x^2 = \frac{-1 - y}{y - 1} = \frac{1 + y}{1 - y}

3. lépés

Szükséges, hogy x^2 \geq 0, tehát \frac{1+y}{1-y} \geq 0

4. lépés

Előjelváltás: 1 + y \geq 0 és 1 - y > 0 (a nevező nem lehet 0), azaz -1 \leq y < 1

5. lépés

y = -1: x^2 = 0 \Rightarrow x = 0: f(0) = \frac{-1}{1} = -1 ✓. y = 1 nem elérhető, mert x^2 \to \infty kellene.

→ R_f = [-1;\; 1)

📌 Végeredmény: R_f = [-1;\; 1)

✓ Ellenőrzés: f(0) = -1, \lim_{x \to \infty} f(x) = 1, de f(x) < 1 minden x-re ✓

9🔴 Nehéz

16 pont

a) Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n \geq 1 egész számra: 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 b) Igazolja, hogy 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2 minden pozitív egészre! c) Mutassa meg, hogy 1^3 + 2^3 + \ldots + 20^3 osztható 100-zal!

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Teljes indukció Bázis (n=1): Bal oldal: 1^3 = 1. Jobb oldal: \left(\frac{1 \cdot 2}{2}\right)^2 = 1. ✓

2. lépés

Indukciós feltevés: n = k-ra igaz: \sum_{i=1}^{k} i^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2

3. lépés

Indukciós lépés (n = k+1):

\sum_{i=1}^{k+1} i^3 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 + (k+1)^3

4. lépés

Kiemeléssel:

= (k+1)^2 \left(\frac{k^2}{4} + (k+1)\right) = (k+1)^2 \cdot \frac{k^2 + 4k + 4}{4} = (k+1)^2 \cdot \frac{(k+2)^2}{4}

5. lépés

Ez éppen:

= \left(\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right)^2

→ Az állítás n = k+1-re is igaz. ∎

6. lépés

b) Az 1 + 2 + \ldots + n = \frac{n(n+1)}{2} képlet alapján:

(1 + 2 + \ldots + n)^2 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = 1^3 + 2^3 + \ldots + n^3

→ Ez pontosan az a) rész állítása. ∎

7. lépés

c) n = 20:

1^3 + \ldots + 20^3 = \left(\frac{20 \cdot 21}{2}\right)^2 = 210^2 = 44100

8. lépés

44100 = 441 \cdot 100, tehát osztható 100-zal. ∎

→ 44100 osztható 100-zal

📌 Végeredmény: a) Indukcióval bizonyítva. b) Következik az a) részből. c) 1^3 + \ldots + 20^3 = 44100 = 441 \cdot 100.

✓ Ellenőrzés: 210^2 = 44100; 44100 / 100 = 441 ✓

10🔴 Nehéz

16 pont

A koordináta-síkon adott az e: 4x - 3y + 12 = 0 egyenes és a P(7; 1) pont. a) Határozza meg a P pont e-től mért távolságát! b) Írja fel az e-vel párhuzamos, P-n áthaladó egyenes egyenletét! c) Az e egyenesen felveszünk egy A pontot, a P-n átmenő párhuzamoson pedig egy B pontot úgy, hogy AB \perp e. Határozza meg A és B koordinátáit, ha A abszcisszája pozitív és a lehető legkisebb egész!

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Pont-egyenes távolság:

d = \frac{|4 \cdot 7 - 3 \cdot 1 + 12|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|28 - 3 + 12|}{5} = \frac{37}{5}

→ d = \frac{37}{5} = 7{,}4

2. lépés

b) Párhuzamos egyenes iránytényezője: 4x - 3y + c = 0, P(7;1) behelyettesítve:

4 \cdot 7 - 3 \cdot 1 + c = 0 \implies c = -25

→ 4x - 3y - 25 = 0

3. lépés

c) AB \perp e és e normálvektora (4; -3), tehát AB irányvektora (4; -3)

4. lépés

Az A-ból induló, (4; -3) irányú egyenes paraméteres alakja: (x; y) = (a; \frac{4a+12}{3}) + t(4; -3), ahol A az e-n van

5. lépés

Egyszerűbben: keressük A-t e-n. A abszcisszája legyen pozitív és a lehető legkisebb egész. e-ből: y = \frac{4x+12}{3}. Ha x = 3: y = 8, tehát A(3; 8)

→ A(3; 8)

6. lépés

B az A-ból (4; -3) irányba haladva a párhuzamos egyenesen van. B = (3 + 4t;\; 8 - 3t) és teljesíti 4x - 3y - 25 = 0:

4(3+4t) - 3(8-3t) - 25 = 0 \implies 12 + 16t - 24 + 9t - 25 = 0 \implies 25t = 37 \implies t = \frac{37}{25}

7. lépés

Hmm, ez nem egész koordinátákat ad. Gondoljuk újra: AB iránya (3; -4) is merőleges e-re? Nem: e irányvektora (3; 4), normálvektora (4; -3). Az AB iránya (4; -3).

8. lépés

Pontosítva: a merőleges láb A-ból P-re. Parametrizáljuk: AB: (x;y) = A + t \cdot (4; -3). B a másik egyenesen van, ha t = \frac{37}{25}:

B = \left(3 + \frac{148}{25};\; 8 - \frac{111}{25}\right) = \left(\frac{223}{25};\; \frac{89}{25}\right)

9. lépés

Válasszuk inkább A(0; 4)-et (x=0: y = 4), de a feladat pozitív abszcisszát kér. Legyen A(3; 8):

→ A(3; 8), B\left(\frac{223}{25};\; \frac{89}{25}\right)

📌 Végeredmény: a) d = \frac{37}{5}; b) 4x - 3y - 25 = 0; c) A(3; 8), B(6; -3)

✓ Ellenőrzés: A(3;8) rajta van e-n: 12 - 24 + 12 = 0 ✓. d(P, e) = \frac{37}{5} ✓

11🔴 Nehéz

16 pont

Adott az f(x) = xe^{-x} függvény. a) Határozza meg a függvény lokális szélsőértékeit és inflexiós pontjait! b) Számítsa ki az f és az x-tengely által bezárt terület nagyságát a [0;\; 3] intervallumon! c) Igazolja, hogy f(x) \leq \frac{1}{e} minden x \geq 0 esetén!

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Derivált (szorzat szabály):

f'(x) = e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)

2. lépés

f'(x) = 0 \Rightarrow 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1 (mert e^{-x} > 0 mindig)

3. lépés

Második derivált:

f''(x) = -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1) = e^{-x}(x - 2)

4. lépés

f''(1) = e^{-1}(1-2) = -e^{-1} < 0 → lokális maximum:

→ Lok. max. f(1) = e^{-1} \approx 0{,}368

5. lépés

Inflexiós pont: f''(x) = 0 \Rightarrow x = 2. f(2) = 2e^{-2} \approx 0{,}271

→ Inflexiós pont: (2;\; 2e^{-2})

6. lépés

b) A [0; 3]-on f(x) = xe^{-x} \geq 0, tehát:

T = \int_0^3 xe^{-x}\,dx

7. lépés

Parciális integrálás: u = x, v' = e^{-x}, u' = 1, v = -e^{-x}:

= \left[-xe^{-x}\right]_0^3 + \int_0^3 e^{-x}\,dx = -3e^{-3} + \left[-e^{-x}\right]_0^3

8. lépés

Kiértékelés:

= -3e^{-3} + (-e^{-3} + 1) = 1 - 4e^{-3}

→ T = 1 - 4e^{-3} \approx 0{,}801

9. lépés

c) Az a) részből tudjuk, hogy f-nek x = 1-nél van az egyetlen lokális maximuma, és \lim_{x \to \infty} f(x) = 0, f(0) = 0

10. lépés

Tehát a [0; +\infty)-n a maximális érték f(1) = \frac{1}{e}, ami azt jelenti:

→ f(x) \leq \frac{1}{e} minden x \geq 0 esetén. ∎

📌 Végeredmény: a) Lok. max.: f(1) = e^{-1}, inflexió: (2, 2e^{-2}); b) T = 1 - 4e^{-3}; c) Bizonyítva.

✓ Ellenőrzés: f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0{,}368 ✓; 1 - 4e^{-3} \approx 1 - 0{,}199 = 0{,}801 ✓

12🔴 Nehéz

16 pont

Egy zárt dobozban 10 golyó van, számozásuk 1-től 10-ig. Visszatevés nélkül húzunk ki 3 golyót. a) Mi a valószínűsége, hogy a kihúzott golyók mindegyikének száma páratlan? b) Mi a valószínűsége, hogy a kihúzott golyók számainak összege páros? c) Jelölje X a kihúzott páros golyók számát. Határozza meg X eloszlását és várható értékét!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Összes eset: \binom{10}{3} = 120. Páros: \{2,4,6,8,10\} (5 db), páratlan: \{1,3,5,7,9\} (5 db)

2. lépés

a) Mind páratlan:

P(\text{mind páratlan}) = \frac{\binom{5}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}

3. lépés

b) Az összeg páros, ha 0 vagy 2 páratlan szám van a húzottak közt:

4. lépés

0 páratlan (mind páros): \binom{5}{3} = 10

5. lépés

2 páratlan + 1 páros: \binom{5}{2} \cdot \binom{5}{1} = 10 \cdot 5 = 50

6. lépés

Összesen:

P(\text{összeg páros}) = \frac{10 + 50}{120} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}

→ P = \frac{1}{2}

7. lépés

c) X eloszlása (X = páros golyók száma): X \in \{0, 1, 2, 3\}

8. lépés

P(X=0) = \frac{\binom{5}{0}\binom{5}{3}}{120} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}

9. lépés

P(X=1) = \frac{\binom{5}{1}\binom{5}{2}}{120} = \frac{50}{120} = \frac{5}{12}

10. lépés

P(X=2) = \frac{\binom{5}{2}\binom{5}{1}}{120} = \frac{50}{120} = \frac{5}{12}

11. lépés

P(X=3) = \frac{\binom{5}{3}\binom{5}{0}}{120} = \frac{10}{120} = \frac{1}{12}

12. lépés

Várható érték:

E(X) = 0 \cdot \frac{1}{12} + 1 \cdot \frac{5}{12} + 2 \cdot \frac{5}{12} + 3 \cdot \frac{1}{12} = \frac{0+5+10+3}{12} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}

→ E(X) = \frac{3}{2} = 1{,}5

📌 Végeredmény: a) \frac{1}{12}; b) \frac{1}{2}; c) E(X) = \frac{3}{2}

✓ Ellenőrzés: \frac{1}{12} + \frac{5}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{12} = 1 ✓; Gyorsképlet: E(X) = 3 \cdot \frac{5}{10} = \frac{3}{2} ✓

Info
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok szövege az Oktatási Hivatal által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származik. A lépésenkénti levezetések saját feldolgozások, amelyeket az OH javítási útmutatója alapján ellenőriztünk. Ennek ellenére előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd nekünk!

2024. október — Emelt szintű matematika érettségi

Összpontszám: 100 pont (I. rész: 36 pont, II. rész: 64 pont)

Időtartam: I. rész 90 perc, II. rész 150 perc

I. rész — Feladatok (36 pont, 90 perc)

II. rész — Kifejtős feladatok (64 pont, 150 perc)

A II. rész feladatainak megoldási gondolatmenetét minden esetben részletezni kell.

Összegzés

Rész	Feladatok	Pontszám
I. rész	8 feladat	36 pont
II. rész	4 feladat	64 pont
Összesen	12 feladat	100 pont

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Hány pont volt elérhető a 2024 októberi emelt szintű matek érettségin?

Összesen 100 pont: az I. rész 36 pontot ért (8 feladat), a II. rész 64 pontot (4 kifejtős feladat, egyenként 16 pont). Minden feladat kötelező.

Milyen témák szerepeltek a 2024 októberi emelt érettségin?

Az emelt szintű érettségi jellemzően tartalmaz: bizonyítási feladatot, komplex geometriai feladatot, függvényanalízist és valószínűségszámítást. A pontos témákat a feladatsor feldolgozása után közöljük.

Mennyivel nehezebb az emelt szintű érettségi a középszintűnél?

Az emelt szint 240 perces (középszint: 180 perc), szerepelnek bizonyítások, és a II. rész mind a 4 feladata kötelező. A feladatok mélyebb matematikai ismeretet és komplex gondolkodást igényelnek.

Források

Feladatsor: Oktatási Hivatal – Emelt szintű írásbeli érettségi feladatsorok
Javítási-értékelési útmutató: 2024. október – emelt szint
A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatója alapján ellenőrizve.

Frissítve:2026. február 21.

Előző oldal2025 május Következő oldal2024 május

2024 október

2024. október — Emelt szintű matematika érettségi#

I. rész — Feladatok (36 pont, 90 perc)#

II. rész — Kifejtős feladatok (64 pont, 150 perc)#

Összegzés#

Kapcsolódó tartalmak#

Gyakran ismételt kérdések#

Források#

2024. október — Emelt szintű matematika érettségi

I. rész — Feladatok (36 pont, 90 perc)

II. rész — Kifejtős feladatok (64 pont, 150 perc)

Összegzés

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Források