Kombinatorika érettségi feladatok megoldással

Kombinatorika

1🟢 Könnyű

3 pont

Hányféleképpen ülhet le 5 tanuló 5 székre egy sorba?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

5 különböző elem összes sorba rendezése: permutáció

P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

→ 120

📌 Végeredmény: 120

✓ 5! = 120 ✓

2🟢 Könnyű

4 pont

Egy 4 jegyű PIN kódban minden számjegy 0-tól 9-ig terjedhet, és ismétlődhet. Hányféle PIN kód lehetséges?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Szorzási szabály: minden helyre 10 lehetőség, és a helyek egymástól függetlenek

10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4

→ 10\,000

📌 Végeredmény: 10\,000

✓ 10^4 = 10000 ✓

3🟡 Közepes

5 pont

Egy osztályból 28 tanulóból hányféleképpen választhatunk ki 3 fős csapatot (ahol a sorrend nem számít)?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Sorrend nem számít → kombináció

\binom{28}{3} = \frac{28!}{3! \cdot 25!} = \frac{28 \cdot 27 \cdot 26}{3 \cdot 2 \cdot 1}

2. lépés

Számolás

\frac{28 \cdot 27 \cdot 26}{6} = \frac{19656}{6}

→ 3276

📌 Végeredmény: 3276

✓ 28 \cdot 27 = 756, 756 \cdot 26 = 19656, 19656 / 6 = 3276 ✓

4🟡 Közepes

6 pont

Hányféleképpen rendezhetjük sorba a PAPAPA szó betűit?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A szóban: P háromszor, A háromszor fordul elő → ismétléses permutáció

\frac{6!}{3! \cdot 3!}

2. lépés

Számolás

\frac{720}{6 \cdot 6} = \frac{720}{36}

→ 20

📌 Végeredmény: 20

✓ 6! = 720, 3! = 6, 720 / 36 = 20 ✓

5🔴 Nehéz

8 pont

Anna ruhaszekrényében 4 különböző felső, 3 különböző nadrág és 2 különböző cipő van. Hányféle öltözéket tud összeállítani, ha egyet-egyet választ mindegyikből?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Szorzási szabály: a három döntés független

4 \cdot 3 \cdot 2

→ 24

📌 Végeredmény: 24

✓ 4 \cdot 3 = 12, 12 \cdot 2 = 24 ✓

6🔴 Nehéz

10 pont

Egy 52 lapos francia kártyapakliból húzunk 5 lapot egyszerre. Hányféleképpen kaphatunk pontosan 2 ászt?

Megoldás megtekintése

1. lépés

4 ász közül 2-t választunk: \binom{4}{2}

\binom{4}{2} = 6

2. lépés

A maradék 48 lapból 3-at választunk: \binom{48}{3}

\binom{48}{3} = \frac{48 \cdot 47 \cdot 46}{6} = 17296

3. lépés

Szorzási szabály

6 \cdot 17296

→ 103\,776

📌 Végeredmény: \binom{4}{2} \cdot \binom{48}{3} = 103\,776

✓ 48 \cdot 47 = 2256, 2256 \cdot 46 = 103776, 103776 / 6 = 17296; 6 \cdot 17296 = 103776 ✓

Info
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok az Oktatási Hivatal által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak. A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatói alapján ellenőrizve.

Elméleti összefoglaló

Szorzási szabály

Ha egy első esemény $m$ -féleképpen, egy második esemény $n$ -féleképpen történhet, akkor a kettő együtt $m \cdot n$ -féleképpen valósulhat meg.

Permutáció (sorba rendezés)

$n$ különböző elem összes sorba rendezése:

P_{n} = n!

Ismétléses permutáció (ha vannak azonos elemek):

P_{n}^{(k_{1}, k_{2}, \dots)} = \frac{n !}{k _{1} ! \cdot k _{2} ! \cdot \dots}

Variáció (kiválasztás, sorrend számít)

$k$ elem kiválasztása $n$ -ből úgy, hogy a sorrend számít:

V_{n}^{k} = \frac{n !}{( n - k )!}

Kombináció (kiválasztás, sorrend nem számít)

$k$ elem kiválasztása $n$ -ből úgy, hogy a sorrend nem számít:

C_{n}^{k} = (k n) = \frac{n !}{k ! \cdot ( n - k )!}

Tip
A legfontosabb kérdés: „Számít-e a sorrend?" Ha igen → variáció/permutáció. Ha nem → kombináció.

Tipikus buktatók

1. Sorrend számít-e? „Hányféleképpen választhatunk ki 3 embert?" → sorrend NEM számít → kombináció. „Hányféle sorrendben állhatnak sorba?" → sorrend SZÁMÍT → variáció/permutáció.

2. Ismétléses permutáció elfelejtése Az „AABBC" szó betűinek sorba rendezése NEM $5!$ , hanem $\frac{5 !}{2 ! \cdot 2 !} = 30$ , mert A és B is kétszer szerepel.

3. Visszatevéses vs. visszatevés nélküli minta PIN kód (ismétlődhet szám) → szorzási szabály: $1 0^{4} = 10000$ . Lottó (nem ismétlődhet) → kombináció: $(5 90)$ .

4. Túlszámlálás Ha „legalább egy“-et kérdeznek, használd az elleneseményt: „legalább 1” = „összes“ − „egy sem”.

Gyakran ismételt kérdések

Mi a különbség a permutáció, variáció és kombináció között?

Permutáció: az összes elem sorba rendezése (n!). Variáció: k elem kiválasztása n-ből, sorrend számít (n!/(n-k)!). Kombináció: k elem kiválasztása n-ből, sorrend nem számít (n!/(k!(n-k)!)). A legfontosabb kérdés: számít-e a sorrend?

Mikor használjuk az ismétléses kombinatorikát?

Ismétléses kombinatorikát akkor használunk, ha az elemek között vannak azonosak. Pl. az 'ALMA' szó betűinek sorba rendezése: 4!/2! = 12 (mert az A betű kétszer szerepel).

Milyen kombinatorika feladatok szoktak jönni érettségin?

Középszintű érettségin jellemzően sorba rendezés (permutáció), kiválasztás (kombináció), szóalkotás betűkből, és a szorzási szabály alkalmazása (pl. hányféle öltözék, PIN kód) fordulnak elő.

Források

Feladatsorok és javítási útmutatók: Oktatási Hivatal – Érettségi feladatsorok archívum
A feladatok az OH által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak.
A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatói alapján ellenőrizve.

Frissítve:2026. február 21.

Kombinatorika

Elméleti összefoglaló

Szorzási szabály

Permutáció (sorba rendezés)

Variáció (kiválasztás, sorrend számít)

Kombináció (kiválasztás, sorrend nem számít)

Feladatok

Tipikus buktatók

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Források