Szöveges feladatok

Q: Hogyan oldjunk meg szöveges feladatot az emelt érettségin?

Szöveges feladat megoldásának lépései: 1. Jelöld az ismeretlent (x). 2. Írd fel az összefüggéseket egyenletként. 3. Oldd meg az egyenletet. 4. Ellenőrizd, hogy a megoldás illeszkedik-e az eredeti szöveges feltételekhez (pl. pozitív szám, egész szám stb.).

Q: Milyen típusú szöveges feladatok jellemzőek az emelt szinten?

Emelt szinten jellemzőek az optimalizálási feladatok (maximális terület, minimális költség), exponenciális növekedés/csökkenés (populáció, radioaktív bomlás), pénzügyi matematika (kamatos kamat, törlesztés), és mozgásos feladatok (sebesség, idő, út).

Q: Mi a különbség a közép- és emelt szintű szöveges feladatok között?

Az emelt szintű szöveges feladatok bonyolultabb modellezést igényelnek: több ismeretlen, egyenletrendszerek, függvényanalízis (szélsőérték-keresés deriválással), és a megoldás értelmezése is összetettebb. Gyakran kell igazolni az optimum jellegét is.

1🟡 Közepes

6 pont

Egy téglalap alakú kert kerülete 40 m. Mekkora oldalak esetén lesz a kert területe a lehető legnagyobb?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Jelölje a és b a téglalap oldalait. Kerület: 2a + 2b = 40, tehát b = 20 - a

2. lépés

Terület az a függvényeként:

T(a) = a \cdot b = a(20 - a) = 20a - a^2

3. lépés

Ez egy lefelé nyíló parabola (a^2 együtthatója negatív). Maximuma a csúcsban:

4. lépés

Deriválás: T'(a) = 20 - 2a = 0

a = 10

5. lépés

Ekkor b = 20 - 10 = 10, tehát a téglalap négyzet.

→ T_{\max} = 10 \cdot 10 = 100 m^2

📌 Végeredmény: a = b = 10 m, T_{\max} = 100 m^2

✓ Ellenőrzés: 2 \cdot 10 + 2 \cdot 10 = 40 ✓; AM-GM: T = ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = 10^2 = 100 ✓

2🟡 Közepes

7 pont

Egy baktériumtenyészet kezdeti tömege 2 g. A tenyészet tömege óránként megduplázódik. Hány óra múlva éri el a tenyészet az 1 kg tömeget?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A tömeg exponenciális modellje:

m(t) = 2 \cdot 2^t \quad \text{(g)}

2. lépés

Feltétel: m(t) = 1000 g

2 \cdot 2^t = 1000

3. lépés

Rendezés:

2^t = 500

4. lépés

Logaritmálás:

t = \log_2 500 = \frac{\ln 500}{\ln 2} = \frac{6{,}2146}{0{,}6931} \approx 8{,}965

5. lépés

Tehát körülbelül 8 óra és 58 perc (0{,}965 \cdot 60 \approx 58).

→ t \approx 8{,}97 óra

📌 Végeredmény: Körülbelül 8 óra 58 perc, azaz kb. 8{,}97 óra.

✓ Ellenőrzés: 2 \cdot 2^9 = 2 \cdot 512 = 1024 g > 1000 g, tehát 9 óra elég, de kicsivel kevesebb is elég ✓

3🟡 Közepes

7 pont

Egy bank évi 5\%-os kamatos kamatot fizet. Mekkora összeget kell elhelyeznünk a bankban ahhoz, hogy 10 év múlva 1\,000\,000 Ft-unk legyen?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A kamatos kamat képlete:

K_n = K_0 \cdot (1 + r)^n

2. lépés

Adottak: K_n = 1\,000\,000, r = 0{,}05, n = 10

3. lépés

Kifejezzük K_0-t:

K_0 = \frac{K_n}{(1+r)^n} = \frac{1\,000\,000}{1{,}05^{10}}

4. lépés

1{,}05^{10} kiszámítása:

1{,}05^{10} \approx 1{,}6289

5. lépés

Behelyettesítés:

K_0 = \frac{1\,000\,000}{1{,}6289} \approx 613\,913

→ K_0 \approx 613\,913 Ft

📌 Végeredmény: Körülbelül 613\,913 Ft

✓ Ellenőrzés: 613\,913 \cdot 1{,}05^{10} \approx 613\,913 \cdot 1{,}6289 \approx 1\,000\,010 ✓ (kerekítési eltérés)

4🔴 Nehéz

10 pont

Egy vegyész 30\%-os és 70\%-os sósavoldatból 50\%-os oldatot akar készíteni. Az elkészített oldat mennyisége 8 liter. Hány liter 30\%-os és hány liter 70\%-os oldatot kell összekeverni?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Jelölje x a 30\%-os, y a 70\%-os oldat mennyiségét (literben).

2. lépés

I. egyenlet (össztérfogat):

x + y = 8

3. lépés

II. egyenlet (sósav mennyisége):

0{,}3x + 0{,}7y = 0{,}5 \cdot 8 = 4

4. lépés

Az I.-ből: x = 8 - y. Behelyettesítés a II.-ba:

0{,}3(8-y) + 0{,}7y = 4

5. lépés

Kifejtés:

2{,}4 - 0{,}3y + 0{,}7y = 4 \;\Rightarrow\; 0{,}4y = 1{,}6 \;\Rightarrow\; y = 4

6. lépés

Tehát x = 8 - 4 = 4.

→ x = 4 liter (30\%), y = 4 liter (70\%)

📌 Végeredmény: 4 liter 30\%-os és 4 liter 70\%-os oldat

✓ Ellenőrzés: 0{,}3 \cdot 4 + 0{,}7 \cdot 4 = 1{,}2 + 2{,}8 = 4 liter sósav; \frac{4}{8} = 50\% ✓

5🔴 Nehéz

10 pont

Péter és János együtt 12 nap alatt fejeznek be egy munkát. Péter egyedül 20 nap alatt végezne vele. Ha először 4 napig együtt dolgoznak, majd Péter egyedül folytatja, összesen hány nap alatt készülnek el?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Péter teljesítménye: \frac{1}{20} munka/nap

2. lépés

Együtt: \frac{1}{12} munka/nap, tehát János teljesítménye:

\frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5-3}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30} \;\text{munka/nap}

3. lépés

Első 4 nap (együtt): elvégzett munka = 4 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{3}

4. lépés

Hátralévő munka: 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

5. lépés

Péter egyedül fejezi be, szükséges napok száma:

\frac{2/3}{1/20} = \frac{2}{3} \cdot 20 = \frac{40}{3} \approx 13{,}33 \;\text{nap}

6. lépés

Összesen:

4 + \frac{40}{3} = \frac{12 + 40}{3} = \frac{52}{3} \approx 17{,}33 \;\text{nap}

→ Összesen \frac{52}{3} \approx 17{,}33 nap

📌 Végeredmény: Összesen \frac{52}{3} \approx 17{,}33 nap, azaz 17 nap és 8 óra.

✓ Ellenőrzés: 4 \cdot \frac{1}{12} + \frac{40}{3} \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 ✓

6🔴 Nehéz

12 pont

Két város között a távolság 120 km. Az A városból elindul egy autó 80 km/h sebességgel, egyidejűleg a B városból elindul egy kerékpáros 20 km/h sebességgel egymás felé. Az autó A városból egy macskát is visz, amelyik 30 km/h-val szalad. Ahányszor az autó utoléri a kerékpárost (vagy a macska odaér), a macska azonnal visszafordul és a másik felé szalad. Mekkora utat tesz meg összesen a macska, mire az autó és a kerékpáros találkozik?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Kulcsgondolat: Nem kell a macska útját szakaszonként kiszámolni! Elég azt tudni, mennyi ideig szalad.

2. lépés

Az autó és a kerékpáros egymás felé haladnak, közeledési sebességük:

v_{\text{köz}} = 80 + 20 = 100 \;\text{km/h}

3. lépés

A találkozásig eltelt idő:

t = \frac{120}{100} = 1{,}2 \;\text{óra}

4. lépés

A macska t = 1{,}2 óráig szalad 30 km/h sebességgel:

s_{\text{macska}} = 30 \cdot 1{,}2 = 36 \;\text{km}

→ A macska 36 km-t tesz meg.

📌 Végeredmény: A macska összesen 36 km-t tesz meg.

✓ Ellenőrzés: Autó: 80 \cdot 1{,}2 = 96 km; kerékpáros: 20 \cdot 1{,}2 = 24 km; 96 + 24 = 120 km ✓

Info
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok az Oktatási Hivatal által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak. A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatói alapján ellenőrizve.

Elméleti összefoglaló

Szöveges feladatok megoldásának lépései

Ismeretlen kijelölése: Jelöld a keresett mennyiséget ( $x$ , $t$ , stb.)
Modell felírása: A szövegből egyenlet, egyenlőtlenség vagy függvény
Megoldás: Algebrai módszerrel (egyenlet, deriválás, stb.)
Értelmezés: A megoldás visszaillesztése a szöveges kontextusba
Ellenőrzés: Visszahelyettesítés az eredeti feltételekbe

Optimalizálási feladatok

Az emelt szinten gyakran kell maximumot vagy minimumot keresni:

f^{'} (x) = 0 \to stacion \overset{a}{ˊ} rius pont \to sz \overset{e}{ˊ} ls \overset{o}{˝} \overset{e}{ˊ} rt \overset{e}{ˊ} k vizsg \overset{a}{ˊ} lat

Exponenciális modellek

Növekedés/csökkenés: $N (t) = N_{0} \cdot a^{t}$ , ahol $a > 1$ növekedés, $0 < a < 1$ csökkenés.

Tip
Emelt szinten a szöveges feladatnál a modellalkotás és az értelmezés is pontot ér — ne csak a számolást írd le!

Feladatok

Tipikus buktatók

1. Értelmezési tartomány elfelejtése A szöveges feladatban az $x$ nem lehet bármilyen szám: hossz nem negatív, létszám egész szám, stb. Mindig írd le a feltételeket!

2. Optimalizálásnál a szélsőérték jellegének igazolása Nem elég megtalálni $f^{'} (x) = 0$ -t — igazolni kell, hogy az maximum (vagy minimum). Használd a második deriváltat vagy a monotonitás-vizsgálatot.

3. Mértékegységek keverése Ha a feladat km/h-t és percet ad meg, ne felejtsd el az átváltást (perc → óra). Ez a leggyakoribb pontlevonás oka.

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Hogyan oldjunk meg szöveges feladatot az emelt érettségin?

Szöveges feladat megoldásának lépései: 1. Jelöld az ismeretlent (x). 2. Írd fel az összefüggéseket egyenletként. 3. Oldd meg az egyenletet. 4. Ellenőrizd, hogy a megoldás illeszkedik-e az eredeti szöveges feltételekhez (pl. pozitív szám, egész szám stb.).

Milyen típusú szöveges feladatok jellemzőek az emelt szinten?

Emelt szinten jellemzőek az optimalizálási feladatok (maximális terület, minimális költség), exponenciális növekedés/csökkenés (populáció, radioaktív bomlás), pénzügyi matematika (kamatos kamat, törlesztés), és mozgásos feladatok (sebesség, idő, út).

Mi a különbség a közép- és emelt szintű szöveges feladatok között?

Az emelt szintű szöveges feladatok bonyolultabb modellezést igényelnek: több ismeretlen, egyenletrendszerek, függvényanalízis (szélsőérték-keresés deriválással), és a megoldás értelmezése is összetettebb. Gyakran kell igazolni az optimum jellegét is.

Források

Feladatsorok és javítási útmutatók: Oktatási Hivatal – Érettségi feladatsorok archívum
A feladatok az OH által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak.
A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatói alapján ellenőrizve.

Frissítve:2026. február 21.

Előző oldalBizonyítások Következő oldalKomplex geometria