Függvény érettségi feladatok megoldással

Q: Milyen függvénytípusok fordulnak elő az érettségin?

A középszintű érettségin leggyakrabban lineáris (elsőfokú), másodfokú (parabola), abszolútérték-függvények és egyszerűbb exponenciális/logaritmikus függvények fordulnak elő. A legfontosabb, hogy tudd leolvasni és ábrázolni a grafikont.

Q: Mi a zérushely és hogyan számoljuk ki?

A zérushely az a hely, ahol a függvény értéke nulla, vagyis ahol a grafikon metszi az x-tengelyt. Kiszámításához az f(x) = 0 egyenletet kell megoldani. Például f(x) = 2x - 6 esetén: 2x - 6 = 0, tehát x = 3.

Q: Hogyan rajzoljunk függvénygrafikont az érettségin?

1. Számítsuk ki néhány pont koordinátáját (x-értékek behelyettesítése). 2. Jelöljük be a pontokat a koordináta-rendszerben. 3. Kössük össze a pontokat a függvény típusának megfelelően (egyenes, parabola stb.). A zérushelyek és a szélsőértékek kiemelt fontosságúak.

Függvények

1🟢 Könnyű

5 pont

Adott az f(x) = 3x - 6 függvény. Add meg a zérushelyét és az y-tengelymetszetét!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Zérushely: f(x) = 0

3x - 6 = 0 \;\Rightarrow\; x = 2

2. lépés

y-tengelymetszet: f(0) = 3 \cdot 0 - 6 = -6

📌 Végeredmény: Zérushely: x = 2, y-metszet: -6

2🟡 Közepes

7 pont

Adott: f(x) = x^2 - 4x + 3. Határozd meg a csúcspontot, zérushelyeket és az értékkészletet!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Csúcspont: x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2, f(2) = 4 - 8 + 3 = -1

2. lépés

Zérushelyek: x^2 - 4x + 3 = 0 → (x-1)(x-3) = 0

→ x_1 = 1, x_2 = 3

3. lépés

Értékkészlet: a = 1 > 0 → felfelé nyílik → minimum a csúcsban

→ \text{Ék} = [-1, +\infty)

📌 Végeredmény: Csúcs: (2, -1), zérushelyek: x = 1 és x = 3, Ék: [-1, +\infty)

3🟡 Közepes

8 pont

Az f(x) = |2x - 4| függvényt ábrázold a [-1, 5] intervallumon! Hol metszi az x-tengelyt?

Megoldás megtekintése

1. lépés

Az abszolútérték 'V' alakot ad. |2x-4| = 0 ha 2x-4 = 0, vagyis x = 2

2. lépés

Kulcspontok: f(-1) = |-6| = 6, f(2) = 0, f(5) = |6| = 6

3. lépés

A grafikon V-alakú, csúcsa (2, 0)-ban van

📌 Végeredmény: Zérushely: x = 2, V-alakú grafikon

4🔴 Nehéz

10 pont

Adott f(x) = -2x^2 + 8x - 6. Határozd meg, hol pozitív a függvény (f(x) > 0)!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Zérushelyek: -2x^2 + 8x - 6 = 0 → x^2 - 4x + 3 = 0 → (x-1)(x-3) = 0

2. lépés

Zérushelyek: x = 1 és x = 3

3. lépés

a = -2 < 0 → lefelé nyíló parabola → a zérushelyek **között** pozitív

4. lépés

Tehát f(x) > 0 ha x \in (1, 3)

📌 Végeredmény: f(x) > 0 ha x \in (1, 3)

Info
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok az Oktatási Hivatal által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak. A levezetések saját feldolgozások — előfordulhatnak hibák.

Elméleti összefoglaló

Függvény alapfogalmak

Egy $f$ függvény minden $x$ értékhez pontosan egy $f (x)$ értéket rendel. Az érettségin a leggyakoribb kérdések:

Fogalom	Mit jelent?	Hogyan számolom?
Értékkészlet	A függvény által felvett értékek halmaza	Grafikonról leolvasom, vagy kiszámolom
Zérushely	Ahol $f (x) = 0$ (metszi az $x$ -tengelyt)	Az $f (x) = 0$ egyenletet megoldom
Szélsőérték	Legnagyobb vagy legkisebb érték	Parabolánál a csúcspont, lineárisnál nincs
Monotonitás	Hol nő, hol csökken	A grafikon meredekségéből olvasom le

Lineáris függvény (egyenes)

f (x) = m x + b

$m$ = meredekség (ha $m > 0$ , nő; ha $m < 0$ , csökken)
$b$ = tengelymetszet (ahol az $y$ -tengelyt metszi)
Zérushely: $x = - \frac{b}{m}$

Másodfokú függvény (parabola)

f (x) = a x^{2} + b x + c

Ha $a > 0$ : a parabola felfelé nyílik (van minimuma)
Ha $a < 0$ : a parabola lefelé nyílik (van maximuma)
Csúcspont: $x_{cs} = - \frac{b}{2 a}$
Zérushelyek: a $a x^{2} + b x + c = 0$ megoldásai

Abszolútérték-függvény

f (x) = ∣ x ∣ = {x - x ha x \geq 0 ha x < 0

Tip
Az érettségin a függvényeknél az a legfontosabb, hogy grafikonról le tudd olvasni a zérushelyet, szélsőértéket, értékkészletet. Ez a rész szinte minden évben szerepel!

Feladatok

Tipikus buktatók

1. Értelmezési tartomány elfelejtése Ha a feladat megadja, hogy $f$ az $[a, b]$ intervallumon van értelmezve, akkor a zérushelyet, szélsőértéket stb. csak ezen a tartományon belül keressük!

2. Zérushely és gyökhely keverése A zérushely mindig $x$ -koordináta (ahol $f (x) = 0$ ), nem $y$ -koordináta. Sokan írják hibásan, hogy „a zérushely $(3, 0)$ " — helyesen: „a zérushely $x = 3$ ".

3. Parabola csúcspontjának hibás számolása A csúcspont $x$ -koordinátáját a $- \frac{b}{2 a}$ képlettel kapjuk, de a $y$ -koordinátáját vissza kell helyettesíteni az eredeti függvénybe!

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Milyen függvénytípusok fordulnak elő az érettségin?

A középszintű érettségin leggyakrabban lineáris (elsőfokú), másodfokú (parabola), abszolútérték-függvények és egyszerűbb exponenciális/logaritmikus függvények fordulnak elő. A legfontosabb, hogy tudd leolvasni és ábrázolni a grafikont.

Mi a zérushely és hogyan számoljuk ki?

A zérushely az a hely, ahol a függvény értéke nulla, vagyis ahol a grafikon metszi az x-tengelyt. Kiszámításához az f(x) = 0 egyenletet kell megoldani. Például f(x) = 2x - 6 esetén: 2x - 6 = 0, tehát x = 3.

Hogyan rajzoljunk függvénygrafikont az érettségin?

1. Számítsuk ki néhány pont koordinátáját (x-értékek behelyettesítése). 2. Jelöljük be a pontokat a koordináta-rendszerben. 3. Kössük össze a pontokat a függvény típusának megfelelően (egyenes, parabola stb.). A zérushelyek és a szélsőértékek kiemelt fontosságúak.

Források

Feladatsorok és javítási útmutatók: Oktatási Hivatal – Érettségi feladatsorok archívum
A feladatok az OH által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak.
A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatói alapján ellenőrizve.

Frissítve:2026. február 18.