A = {1; 2; 3; 5; 7}, B = {1; 3; 5; 7; 9}, C = {1; 4; 9}. Adja meg az A ∪ B és az (A ∩ B) ∖ C halmazt!

A ∪ B = {1; 2; 3; 5; 7; 9}, (A ∩ B) ∖ C = {3; 5; 7}

Egy osztály 14 lányának magassága (cm, növekvő sorrendben): 153, 156, 160, 162, 162, 164, 167, 169, 169, 172, 174, 174, 175, 177.na) Adja meg a minimumot, az alsó kvartilist, a mediánt, a felső kvartilist és a maximumot, és ábrázolja dobozdiagramon! (5 pont)nb) Véletlenszerűen kiválasztunk két lányt. Mennyi a valószínűsége, hogy az egyik 170 cm-nél magasabb, a másik alacsonyabb? (4 pont)nc) Az osztály 28 tanulójának átlagmagassága 172,75 cm. Érkezik egy 180 cm magas új tanuló. Mennyi lesz az átlagmagasság? (4 pont)

a) 153; 162; 168; 174; 177 cm · b) 45/91 ≈ 0,495 · c) 173 cm

Anna a globális napelem-kapacitás 2008–2023 közötti éves adataira (GW-ban; ezek közül 2016: 77, 2020: 146) egy táblázatkezelővel exponenciális trendvonalat illesztett: y = 7,67 · 1,27^x, ahol x a 2007 óta eltelt évek száma, y a kapacitás GW-ban.na) Mennyivel tér el a görbéből számított 2020-as érték a 2020-as adattól? (3 pont)nb) A görbe szerint évente hány százalékkal nőtt a kapacitás? (2 pont)nc) A görbe szerint melyik évben érné el a kapacitás a 3000 GW-ot? (4 pont)nA 2008–2016 közötti adatokra illesztett lineáris trendvonal: y = 7,7x - 5 (ugyanazzal az x-szel).nd) Hány százalékkal kevesebb a lineáris összefüggésből számított 2016-os érték a 2016-os adatnál? (4 pont)≠) Írja fel az (1; 7) és (9; 77) pontokra illeszkedő egyenes egyenletét! (4 pont)

a) ≈ 25,5 GW · b) 27% · c) 2032-ben · d) ≈ 16,5%-kal · e) y = 8,75x - 1,75

2025 október

1🟢 Könnyű

2 pont

Oldja meg a valós számok halmazán: x^2 - 5x + 6 = 0

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Megoldóképlettel (a = 1, b = -5, c = 6):

x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}

2. lépés

A két gyök (2 pont):

→ x_1 = 2,\; x_2 = 3

📌 Végeredmény: x_1 = 2, x_2 = 3

✓ Szorzattá alakítva: (x-2)(x-3) = x^2 - 5x + 6 ✓

2🟢 Könnyű

2 pont

Az a = b + c \cdot t összefüggésben a = 11, b = 5 és c = 2. Mennyi t?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

t-t kifejezve (2 pont):

t = \frac{a - b}{c} = \frac{11 - 5}{2}

→ t = 3

📌 Végeredmény: t = 3

✓ 5 + 2 \cdot 3 = 11 ✓

3🟢 Könnyű

2 pont

Igaz vagy hamis? I. Ha két rombusz területe egyenlő, a két rombusz egybevágó. II. Ha egy paralelogramma átlói egyenlő hosszúak, akkor téglalap. III. Ha két vektor párhuzamos és egyenlő hosszú, akkor a két vektor egyenlő.

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

I. hamis: például a 2 és 8 egység átlójú, valamint a 4 és 4 egység átlójú rombusz területe egyaránt 8, de nem egybevágók.

2. lépés

II. igaz: az egyenlő átlójú paralelogramma téglalap.

3. lépés

III. hamis: két párhuzamos, egyenlő hosszú vektor lehet ellentétes irányú is (pl. \vec a és -\vec a).

4. lépés

Pontozás: 3 jó válasz 2 pont, 2 jó válasz 1 pont, 1 jó válasz 0 pont.

📌 Végeredmény: I. hamis, II. igaz, III. hamis

4🟢 Könnyű

2 pont

Hány éle van annak a 7 pontú gráfnak, amelyben minden pont fokszáma 4?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A fokszámok összege az élek számának kétszerese, mert minden él két végpontnál számít (2 pont):

\frac{7 \cdot 4}{2}

→ 14

📌 Végeredmény: 14 él

5🟢 Könnyű

2 pont

Melyik kifejezés egyenlő minden pozitív b esetén b^{\frac{2}{3}}-nal? A: \frac{2}{3}b B: b^{-\frac{3}{2}} C: \sqrt[3]{b^2} D: \frac{b^2}{b^3}

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A törtkitevő definíciója szerint b^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{b^p}:

b^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{b^2}

2. lépés

A többi nem jó: \frac{b^2}{b^3} = b^{-1}, b^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{b^3}}, \frac{2}{3}b pedig szorzat, nem hatvány. A válasz nem bontható (2 pont).

📌 Végeredmény: C

6🟢 Könnyű

2 pont

Az osztályfőnök és három diákja egymás után lép be a terembe. Hány sorrend lehetséges, ha az osztályfőnök elsőként vagy utolsóként lép be?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Az osztályfőnök helye 2-féle (első vagy utolsó), a három diák a maradék helyeken 3!-féleképpen állhat (2 pont):

2 \cdot 3! = 2 \cdot 6

→ 12

📌 Végeredmény: 12

7🟢 Könnyű

3 pont

A = \{1; 2; 3; 5; 7\}, B = \{1; 3; 5; 7; 9\}, C = \{1; 4; 9\}. Adja meg az A \cup B és az (A \cap B) \setminus C halmazt!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Unió: ami legalább az egyikben benne van (1 pont).

→ A \cup B = \{1; 2; 3; 5; 7; 9\}

2. lépés

Metszet: A \cap B = \{1; 3; 5; 7\}; ebből elhagyjuk a C-beli 1-et (2 pont).

→ (A \cap B) \setminus C = \{3; 5; 7\}

📌 Végeredmény: A \cup B = \{1; 2; 3; 5; 7; 9\}, (A \cap B) \setminus C = \{3; 5; 7\}

8🟡 Közepes

3 pont

Egy derékszögű háromszög befogói 5 cm és 12 cm. Mekkorák a hegyesszögei? (Az \alpha szög a 12 cm-es befogón fekszik, vele szemben az 5 cm-es befogó van.) Megoldását részletezze!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Az \alpha-val szemközti befogó 5, a mellette lévő 12 (1 pont):

\operatorname{tg}\alpha = \frac{5}{12}

2. lépés

Ebből (1 pont):

→ \alpha \approx 22{,}6°

3. lépés

A hegyesszögek összege 90° (1 pont):

\beta = 90° - 22{,}6°

→ \beta \approx 67{,}4°

📌 Végeredmény: \alpha \approx 22{,}6°, \beta \approx 67{,}4°

9🟢 Könnyű

2 pont

Egy függvény minden valós számhoz a szám kétszeresénél 3-mal nagyobb számot rendeli. Mit rendel a 7-hez?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A hozzárendelés f(x) = 2x + 3, így (2 pont):

f(7) = 2 \cdot 7 + 3

→ 17

📌 Végeredmény: 17

10🟡 Közepes

3 pont

Egy forgáskúp alapkörének sugara 3 cm, magassága 4 cm. Mekkora a felszíne? Megoldását részletezze!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Az alkotó Pitagorasz-tétellel (1 pont):

a = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ cm}

2. lépés

Felszín = alaplap + palást (1 pont):

A = r^2\pi + r a \pi = 9\pi + 15\pi

3. lépés

(1 pont)

→ A = 24\pi \approx 75{,}4 \text{ cm}^2

📌 Végeredmény: A = 24\pi \approx 75{,}4\ \text{cm}^2

11🟡 Közepes

3 pont

Számítsa ki a 0, 1, 1, 2, 3, 5 számok átlagát és szórását!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Átlag (1 pont):

\bar x = \frac{0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2

2. lépés

Szórás: az átlagtól vett eltérések négyzeteinek átlaga, majd gyökvonás (2 pont):

\sigma = \sqrt{\frac{4 + 1 + 1 + 0 + 1 + 9}{6}} = \sqrt{\frac{8}{3}}

→ \sigma \approx 1{,}63

📌 Végeredmény: átlag = 2, szórás = \sqrt{\tfrac{8}{3}} \approx 1{,}63

12🟡 Közepes

4 pont

Két szabályos dobókockával dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege osztható 6-tal? Megoldását részletezze!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Összes eset: 6 \cdot 6 = 36 egyenlően valószínű dobáspár (1 pont).

2. lépés

Az összeg 2 és 12 közé esik, így 6-tal osztható összeg csak 6 vagy 12 lehet: 1–5, 2–4, 3–3, 4–2, 5–1, 6–6 — tehát 6 kedvező eset (2 pont).

3. lépés

Klasszikus valószínűség (1 pont):

P = \frac{6}{36}

→ P = \frac{1}{6} \approx 0{,}167

4. lépés

Másik út (útmutató 2. megoldás): bármit dobunk az egyik kockával, a másikon pontosan egy szám egészíti ki 6-ra vagy 12-re, ezért P = 1 \cdot \frac{1}{6}.

📌 Végeredmény: \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167

13🟡 Közepes

12 pont

a) Egy számtani sorozat 2. tagja 7, 4. tagja 13. Mennyi a 10. tag és az első 10 tag összege? (6 pont) b) Egy mértani sorozat 2. tagja 6, 5. tagja −162. Mennyi a 10. tag és az első 10 tag összege? (6 pont)

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) A 2. és a 4. tag között két lépés van (1+1 pont):

a_4 - a_2 = 2d = 6 \;\Rightarrow\; d = 3

2. lépés

Az első tag (1 pont):

a_1 = 7 - 3 = 4

3. lépés

A 10. tag (1 pont):

a_{10} = a_1 + 9d = 4 + 27 = 31

4. lépés

Az első 10 tag összege (1+1 pont):

S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{4 + 31}{2} \cdot 10

→ S_{10} = 175

5. lépés

b) Az 5. tag a 2.-ból három szorzással kapható (1 pont):

q^3 = \frac{b_5}{b_2} = \frac{-162}{6} = -27

6. lépés

Tehát (1 pont):

q = -3

7. lépés

Az első tag (1 pont):

b_1 = \frac{6}{-3} = -2

8. lépés

A 10. tag (1 pont):

b_{10} = b_1 \cdot q^9 = (-2) \cdot (-3)^9 = 39\,366

9. lépés

Az első 10 tag összege (1+1 pont):

S_{10} = b_1 \cdot \frac{q^{10} - 1}{q - 1} = (-2) \cdot \frac{59\,049 - 1}{-4}

→ S_{10} = 29\,524

📌 Végeredmény: a) a_{10} = 31, S_{10} = 175 · b) b_{10} = 39\,366, S_{10} = 29\,524

✓ b) A sorozat: −2, 6, −18, 54, −162 — az 5. tag valóban −162 ✓

14🟡 Közepes

11 pont

Egy O középpontú, 5 cm sugarú körben az AB húrhoz tartozó középponti szög 100°. a) Milyen hosszú az AB húr? (2 pont) b) Mekkora az OAB háromszög területe? (2 pont) c) Milyen hosszú a 100°-os középponti szöghöz tartozó AB körív? (2 pont) d) Az ábrán a körlapot a két sugár (OA, OB) és az AB húr három tartományra osztja: az OAB háromszög, az AB húr alatti körszelet és a körlap többi része. A tartományokat piros, sárga és zöld színnel színezzük úgy, hogy két vagy három színt használunk (szomszédos tartományok lehetnek azonos színűek). Hányféle színezés van? (5 pont)

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Koszinusztétel az OAB háromszögben (1 pont):

h^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos 100° \approx 58{,}68

2. lépés

(1 pont) — Másik út: a szögfelezővel két derékszögű háromszögre bontva \frac{h}{2} = 5 \sin 50°.

→ h \approx 7{,}66 \text{ cm}

3. lépés

b) Két oldal és a közbezárt szög (1+1 pont):

T = \frac{5 \cdot 5 \cdot \sin 100°}{2}

→ T \approx 12{,}3 \text{ cm}^2

4. lépés

c) A körív a teljes kerület \frac{100}{360} része (1+1 pont):

i = \frac{100°}{360°} \cdot 2 \cdot 5 \cdot \pi

→ i \approx 8{,}73 \text{ cm}

5. lépés

Mértékegység nélküli válasz(ok) esetén a feladatban összesen 1 pont levonás jár.

6. lépés

d) Három színnel: 3! = 6 színezés (1 pont).

7. lépés

Két színnel: a színpár \binom{3}{2} = 3-féle (1 pont); egy színpárral a 3 tartomány 2^3 = 8-féleképpen színezhető, ebből 2 egyszínű, tehát 8 - 2 = 6 jó (1 pont). Így 3 \cdot 6 = 18 (1 pont).

8. lépés

Összesen (1 pont):

6 + 18

→ 24

9. lépés

Másik út (komplementer): 3^3 = 27 színezésből a 3 egyszínű nem megfelelő, 27 - 3 = 24.

📌 Végeredmény: a) \approx 7{,}66 cm · b) \approx 12{,}3\ \text{cm}^2 · c) \approx 8{,}73 cm · d) 24

15🟡 Közepes

13 pont

Egy osztály 14 lányának magassága (cm, növekvő sorrendben): 153, 156, 160, 162, 162, 164, 167, 169, 169, 172, 174, 174, 175, 177. a) Adja meg a minimumot, az alsó kvartilist, a mediánt, a felső kvartilist és a maximumot, és ábrázolja dobozdiagramon! (5 pont) b) Véletlenszerűen kiválasztunk két lányt. Mennyi a valószínűsége, hogy az egyik 170 cm-nél magasabb, a másik alacsonyabb? (4 pont) c) Az osztály 28 tanulójának átlagmagassága 172,75 cm. Érkezik egy 180 cm magas új tanuló. Mennyi lesz az átlagmagasság? (4 pont)

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) 14 adat esetén a medián a 7. és 8. adat átlaga; az alsó kvartilis az alsó 7 adat középsője (4. adat), a felső kvartilis a felső 7 adaté (11. adat):

\min = 153,\; Q_1 = 162,\; \text{medián} = \frac{167 + 169}{2} = 168,\; Q_3 = 174,\; \max = 177

2. lépés

Pontozás: 5 jó érték 3 pont (3–4 jó: 2 pont, 1–2 jó: 1 pont); a helyes dobozdiagram 2 pont.

3. lépés

b) 170 cm-nél magasabb 5 lány (172, 174, 174, 175, 177), alacsonyabb 9 (1 pont). Kedvező esetek (1 pont):

5 \cdot 9 = 45

4. lépés

Összes eset (1 pont):

\binom{14}{2} = 91

5. lépés

(1 pont) — Másik út: \frac{5}{14} \cdot \frac{9}{13} + \frac{9}{14} \cdot \frac{5}{13}.

P = \frac{45}{91}

→ P \approx 0{,}495

6. lépés

c) A 28 tanuló magasságának összege (2 pont):

28 \cdot 172{,}75 = 4837 \text{ cm}

7. lépés

Az új tanulóval (1 pont):

4837 + 180 = 5017 \text{ cm}

8. lépés

Az új átlag (1 pont):

\frac{5017}{29}

→ 173 \text{ cm}

9. lépés

Másik út: az új tanuló 7,25 cm-rel magasabb az átlagnál; ez a többlet 29 felé oszlik: 7{,}25 : 29 = 0{,}25, az új átlag 172{,}75 + 0{,}25 = 173 cm.

📌 Végeredmény: a) 153; 162; 168; 174; 177 cm · b) \frac{45}{91} \approx 0{,}495 · c) 173 cm

16🟡 Közepes

17 pont

Évente kb. 56 milliárd kávékapszula fogy. Egy honlap szerint ezeket egymás mellé sorba állítva a lánc 57-szer olyan hosszú lenne, mint az Egyenlítő. a) Egy kapszula 40 mm széles, az Egyenlítő egy 6370 km sugarú kör. Igazolja, hogy az állítás jó közelítéssel igaz (a hányados 55 és 59 közé esik)! (4 pont) b) Egy kapszula belseje csonkakúp: alapkörének átmérője 28 mm, fedőkörének átmérője 24 mm, alkotója 28 mm. Hány cm³ kávé fér bele (egészre kerekítve)? (6 pont) c) Egy másik kapszula belseje félgömb, űrtartalma 10 ml. Mekkora a sugara? (4 pont) d) A kapszulák ezredrésze selejtes (egy kapszula 0,001 valószínűséggel selejtes). Mennyi a valószínűsége, hogy 100 véletlenszerűen kiválasztott kapszula között nincs selejtes? (3 pont)

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) A lánc hossza (1+1 pont):

56 \cdot 10^9 \cdot 40 \text{ mm} = 2{,}24 \cdot 10^{12} \text{ mm} = 2\,240\,000 \text{ km}

2. lépés

Az Egyenlítő hossza (1 pont):

K = 2 \cdot 6370 \cdot \pi \approx 40\,024 \text{ km}

3. lépés

A hányados 55 és 59 közé esik, az állítás jó közelítéssel igaz (1 pont):

2\,240\,000 : 40\,024 \approx 56

4. lépés

b) A sugarak: R = 14 mm, r = 12 mm (1 pont). A tengelymetszetben a magasság egy derékszögű háromszög befogója, amelynek másik befogója 14 - 12 = 2 mm, átfogója az alkotó, 28 mm (1 pont). Pitagorasz-tétellel (1 pont):

m = \sqrt{28^2 - 2^2} \approx 27{,}9 \text{ mm}

5. lépés

A csonkakúp térfogata (1+1 pont):

V = \frac{m\pi}{3}\left(R^2 + Rr + r^2\right) = \frac{27{,}9\,\pi}{3}\left(196 + 168 + 144\right) \approx 14\,842 \text{ mm}^3

6. lépés

Az útmutató a kerekített m \approx 27{,}9 mm-rel 14 842 mm³-t kap; kerekítés nélkül (m = \sqrt{780}) 14 857 mm³ adódik — mindkettő ugyanarra a válaszra vezet. Kerekítve (1 pont; nem jár, ha a vizsgázó nem vagy rosszul kerekít):

→ V \approx 15 \text{ cm}^3

7. lépés

c) 10 \text{ ml} = 10 \text{ cm}^3 (1 pont). A félgömb térfogata (1 pont):

\frac{1}{2} \cdot \frac{4 r^3 \pi}{3} = 10

8. lépés

Ebből (1+1 pont):

r^3 = \frac{15}{\pi} \approx 4{,}775

→ r \approx 1{,}7 \text{ cm}

9. lépés

d) Egy kapszula 1 - 0{,}001 = 0{,}999 valószínűséggel nem selejtes (1 pont); a 100 kapszula egymástól függetlenül (2 pont):

P = 0{,}999^{100}

→ P \approx 0{,}905

📌 Végeredmény: a) \approx 56 (igaz) · b) 15\ \text{cm}^3 · c) r \approx 1{,}7 cm · d) \approx 0{,}905

17🟡 Közepes

17 pont

Egy optika akciójában a vásárló annyi százalék kedvezményt kap a szemüvegkeret árából, ahány éves. a) Mennyit fizet egy 30 000 Ft-os keretért egy 37 éves vásárló? (2 pont) b) Hány éves, aki egy 30 000 Ft-os keretért 16 500 Ft-ot fizet? (3 pont) c) Péter nagymamája háromszor annyi idős, mint Péter. Ha mindketten 30 000 Ft-os keretet vennének, Péter háromszor annyit fizetne, mint a nagymamája. Hány évesek? (7 pont) d) Egy 32 fős osztályban a fiúk és lányok aránya 5 : 3. 11 tanuló szemüveges, köztük 7 fiú. Az érettségi napján 3 tanuló nem töltötte be a 18. évét: mindhárman lányok, egyikük szemüveges. Hány olyan lány jár az osztályba, aki nem szemüveges és betöltötte a 18. évét? (5 pont)

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) 37% kedvezmény mellett az ár 63%-át kell fizetni (1+1 pont):

30\,000 \cdot 0{,}63

→ 18\,900 \text{ Ft}

2. lépés

b) A fizetett rész aránya (1+1 pont):

\frac{16\,500}{30\,000} = 0{,}55 = 55\%

3. lépés

A kedvezmény tehát 45%, a vásárló (1 pont):

→ 45 \text{ éves}

4. lépés

c) Péter életkora legyen p, a nagymamáé 3p. A fizetett árak (2+2 pont):

30\,000 \cdot \left(1 - \frac{p}{100}\right) = 3 \cdot 30\,000 \cdot \left(1 - \frac{3p}{100}\right)

5. lépés

100-zal szorozva és 30 000-rel osztva (1 pont):

100 - p = 300 - 9p

6. lépés

Ebből (1 pont):

8p = 200 \;\Rightarrow\; p = 25

7. lépés

A nagymama (1 pont):

3 \cdot 25 = 75 \text{ éves}

8. lépés

Ellenőrzés: Péter 30\,000 \cdot 0{,}75 = 22\,500 Ft-ot, a nagymama 30\,000 \cdot 0{,}25 = 7500 Ft-ot fizet; 22\,500 = 3 \cdot 7500 ✓

9. lépés

d) Egy „arányrész” 32 : (5 + 3) = 4 fő (1 pont), tehát 12 lány és 20 fiú jár az osztályba (1 pont).

10. lépés

A szemüveges lányok száma 11 - 7 = 4 (1 pont). A 3 kiskorú lány közül 3 - 1 = 2 nem szemüveges (1 pont).

11. lépés

A keresett lányok (1 pont):

12 - 4 - 2

→ 6

📌 Végeredmény: a) 18 900 Ft · b) 45 éves · c) Péter 25, nagymamája 75 éves · d) 6

18🟡 Közepes

17 pont

Anna a globális napelem-kapacitás 2008–2023 közötti éves adataira (GW-ban; ezek közül 2016: 77, 2020: 146) egy táblázatkezelővel exponenciális trendvonalat illesztett: y = 7{,}67 \cdot 1{,}27^x, ahol x a 2007 óta eltelt évek száma, y a kapacitás GW-ban. a) Mennyivel tér el a görbéből számított 2020-as érték a 2020-as adattól? (3 pont) b) A görbe szerint évente hány százalékkal nőtt a kapacitás? (2 pont) c) A görbe szerint melyik évben érné el a kapacitás a 3000 GW-ot? (4 pont) A 2008–2016 közötti adatokra illesztett lineáris trendvonal: y = 7{,}7x - 5 (ugyanazzal az x-szel). d) Hány százalékkal kevesebb a lineáris összefüggésből számított 2016-os érték a 2016-os adatnál? (4 pont) e) Írja fel az (1; 7) és (9; 77) pontokra illeszkedő egyenes egyenletét! (4 pont)

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) 2020-ban x = 13 (1+1 pont):

y = 7{,}67 \cdot 1{,}27^{13} \approx 171{,}5 \text{ GW}

2. lépés

Az eltérés (1 pont):

171{,}5 - 146

→ \approx 25{,}5 \text{ GW}

3. lépés

b) Évről évre 1,27-szeresére nő, azaz évente (2 pont):

→ 27\%\text{-kal}

4. lépés

c) Megoldandó (1 pont):

3000 = 7{,}67 \cdot 1{,}27^x

5. lépés

Logaritmussal (1+1 pont):

x = \log_{1{,}27}\frac{3000}{7{,}67} = \frac{\lg\frac{3000}{7{,}67}}{\lg 1{,}27} \approx 24{,}97

6. lépés

2007 + 25 = 2032, tehát a modell szerint (1 pont):

→ 2032\text{-ben}

7. lépés

d) 2016-ban x = 9 (1+1 pont):

y = 7{,}7 \cdot 9 - 5 = 64{,}3 \text{ GW}

8. lépés

Az arány (1 pont):

\frac{64{,}3}{77} \approx 0{,}835

9. lépés

Tehát a lineáris érték kb. (1 pont):

→ 16{,}5\%\text{-kal kevesebb}

10. lépés

e) A meredekség (1+1 pont):

m = \frac{77 - 7}{9 - 1} = \frac{70}{8} = 8{,}75

11. lépés

Az (1; 7) pontot behelyettesítve 7 = 8{,}75 + b (1 pont), b = -1{,}75 (1 pont):

→ y = 8{,}75x - 1{,}75

12. lépés

Másik út: irányvektor (8; 70), normálvektor (70; -8), így 70x - 8y = 14 — ez ugyanaz az egyenes.

📌 Végeredmény: a) \approx 25{,}5 GW · b) 27% · c) 2032-ben · d) \approx 16{,}5\%-kal · e) y = 8{,}75x - 1{,}75

✓ e) 8{,}75 \cdot 9 - 1{,}75 = 77 ✓

Info
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok az Oktatási Hivatal által közzétett feladatsor (K2512, 2025. október 14.) alapján készültek, rövidített és részben átfogalmazott formában (az ábrák helyett szöveges leírással). A lépésenkénti levezetések saját feldolgozások, amelyeket az OH javítási-értékelési útmutatója alapján, részpontonként ellenőriztünk. Előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd nekünk!

2025. október 14. — Középszintű matematika érettségi

Vizsga dátuma: 2025. október 14., 8:00

Összpontszám: 100 pont (I. rész: 30 pont, II/A rész: 36 pont, II/B rész: 34 pont)

Időtartam: I. rész 45 perc, II. rész 135 perc

I. rész — Rövid feladatok (30 pont, 45 perc)

II/A rész — Kötelező feladatok (36 pont)

A II. rész feladatainak megoldási gondolatmenetét minden esetben részletezni kell. A 13. feladat 12, a 14. feladat 11, a 15. feladat 13 pontot ért.

II/B rész — Választható feladatok (3-ból 2, összesen 34 pont)

A 16–18. feladatok közül kettőt kell megoldani, egyenként 17 pont.

Összegzés

A 2025 októberi középszintű érettségi I. része rutinfeladatokból állt (másodfokú egyenlet, halmazok, gráf, hatványok, kúp felszíne, szórás, dobókocka). A II/A részben a számtani és mértani sorozat (13.), a kör húrja, íve és egy színezési leszámlálás (14.), valamint a dobozdiagram, két lány kiválasztásának valószínűsége és az átlag változása (15.) szerepelt. A II/B rész három életszerű modellt hozott: kávékapszula csonkakúp- és félgömb-térfogattal (16.), életkor szerinti akciós kedvezmény egyenlettel (17.), és a globális napelem-kapacitás exponenciális és lineáris trendvonala (18.).

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Hány pont volt elérhető a 2025 októberi középszintű matek érettségin?

Összesen 100 pont: az I. rész 30 pontot ért (12 rövid feladat), a II/A rész 36 pontot (3 kötelező feladat: 12+11+13 pont), a II/B rész pedig 34 pontot (3-ból 2 választott feladat, egyenként 17 pont).

Milyen témák szerepeltek a 2025 októberi érettségin?

I. rész: másodfokú egyenlet, képlet átrendezése, logikai állítások (rombusz, paralelogramma, vektorok), gráf élszáma, törtkitevős hatvány, sorbarendezés, halmazműveletek, derékszögű háromszög szögei, lineáris függvény, kúp felszíne, átlag és szórás, dobókockás valószínűség. II. rész: számtani és mértani sorozat, kör húrja és íve + színezési feladat, dobozdiagram + valószínűség + átlag, kávékapszula (csonkakúp, félgömb, valószínűség), százalékos akció + szöveges egyenlet, napelem-kapacitás (exponenciális és lineáris trend).

Mikor volt a 2025 októberi középszintű matek érettségi?

2025. október 14-én, 8:00-kor kezdődött. Az I. részre 45 perc, a II. részre 135 perc állt rendelkezésre; a feladatlap kódja K2512.

Források

Feladatsor: Oktatási Hivatal – Középszintű írásbeli, 2025 ősz
Javítási-értékelési útmutató: k_mat_25okt_ut.pdf (oktatas.hu)
A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási-értékelési útmutatója alapján ellenőrizve.

Frissítve:2026. november 12.

📝

Érettségi Közép Szint — Teljes csomag (PDF, megoldókulccsal)

Hét közép szintű témacsomag (83 feladat) és három mintaérettségi a valódi vizsga szerkezetében (180 perc, 100 pont, egyenként 18 kitűzött feladat). Összesen 10 PDF, 137 feladat.

✓ 30 napos garancia✓ Azonnali letöltés✓ Nyomtatható A4 PDF

ettől

4990 Ft

Megnézem →

Előző oldal2026 május Következő oldal2025 május