Koordináta-geometria feladatok megoldással

Q: Hogyan számoljuk ki két pont távolságát?

Két pont távolsága a koordináta-rendszerben: d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²). Ez lényegében a Pitagorasz-tétel alkalmazása. Például A(1,2) és B(4,6) távolsága: √(9+16) = √25 = 5.

Q: Mi az egyenes egyenlete?

Az egyenes leggyakoribb alakja: y = mx + b, ahol m a meredekség és b az y-tengely metszéspont. Két pontból kiszámolható a meredekség: m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁), majd b-t az egyik pont behelyettesítésével kapjuk.

Q: Mi a felezőpont képlete?

Két pont felezőpontjának koordinátái: F = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). A felezőpont a két pont koordinátáinak számtani közepe — mindkét koordinátát átlagoljuk.

Koordináta-geometria feladatok

1🟢 Könnyű

Mekkora az A(1, 2) és B(4, 6) pontok távolsága?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Távolságképlet

d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

📌 Végeredmény: d = 5

2🟢 Könnyű

Mi az A(2, 3) és B(8, 7) felezőpontja?

Megoldás megtekintése

1. lépés

Felezőpont képlete

F = \left(\frac{2+8}{2},\; \frac{3+7}{2}\right) = (5,\; 5)

📌 Végeredmény: F(5, 5)

3🟡 Közepes

Írd fel az A(1, 2) és B(3, 8) pontokon átmenő egyenes egyenletét!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Meredekség

m = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3

2. lépés

Iránytényezős alak az A ponton át

y - 2 = 3(x - 1)

3. lépés

Rendezzük

y = 3x - 1

📌 Végeredmény: y = 3x - 1

✓ Ellenőrzés: A: 3 \cdot 1 - 1 = 2 ✓, B: 3 \cdot 3 - 1 = 8 ✓

4🔴 Nehéz

Az A(0, 0), B(6, 0), C(2, 4) csúcsú háromszög területe?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Koordinátás területképlet

T = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|

2. lépés

Behelyettesítünk

T = \frac{1}{2} |0(0-4) + 6(4-0) + 2(0-0)|

3. lépés

Számolunk

T = \frac{1}{2} |0 + 24 + 0| = 12

📌 Végeredmény: T = 12

Info
⚠️ Pontosság: A feladatok és megoldások tájékoztató jellegűek, gondosan ellenőriztük őket. Előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd!

Mit fogsz tanulni?

A koordináta-geometria összekapcsolja az algebrát és a geometriát: a geometriai alakzatokat számokkal (koordinátákkal) írjuk le, és képletekkel dolgozunk. Ez az érettséginek is kulcstémaköre!

Elméleti összefoglaló

Két pont távolsága

d (A, B) = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

Ez a Pitagorasz-tétel alkalmazása a koordináta-rendszerben!

Felezőpont

F = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})

Egyenes meredeksége

Két ponton ( $A (x_{1}, y_{1})$ és $B (x_{2}, y_{2})$ ) átmenő egyenes meredeksége:

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

Tip
A meredekség megmutatja, mennyit „emelkedik" az egyenes, ha az $x$ irányban 1 egységet haladunk. Ha $m > 0$ → emelkedő, ha $m < 0$ → süllyedő, ha $m = 0$ → vízszintes.

Egyenes egyenlete

Iránytényezős alak: $y = m x + b$

Egyenlet felírása egy pontból és meredekségből:

y - y_{1} = m (x - x_{1})

Két egyenes viszonya

Viszony	Feltétel
Párhuzamosak	$m_{1} = m_{2}$
Merőlegesek	$m_{1} \cdot m_{2} = - 1$

Feladatok

Összegzés

A koordináta-geometria három alapképlete: távolság, felezőpont, meredekség. Ezekből szinte minden feladat megoldható. Az egyenes egyenletéhez két pont vagy egy pont + meredekség kell. Ne feledd: párhuzamos egyenesek meredeksége azonos, merőlegeseknél a szorzat $- 1$ !

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Hogyan számoljuk ki két pont távolságát?

Két pont távolsága a koordináta-rendszerben: d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²). Ez lényegében a Pitagorasz-tétel alkalmazása. Például A(1,2) és B(4,6) távolsága: √(9+16) = √25 = 5.

Mi az egyenes egyenlete?

Az egyenes leggyakoribb alakja: y = mx + b, ahol m a meredekség és b az y-tengely metszéspont. Két pontból kiszámolható a meredekség: m = (y₂-y₁)/(x₂-x₁), majd b-t az egyik pont behelyettesítésével kapjuk.

Mi a felezőpont képlete?

Két pont felezőpontjának koordinátái: F = ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2). A felezőpont a két pont koordinátáinak számtani közepe — mindkét koordinátát átlagoljuk.

Frissítve:2026. február 18.