Sorozatok feladatok megoldással

Q: Mi a különbség a számtani és a mértani sorozat között?

Számtani sorozatnál minden szomszédos tag különbsége állandó (d), tehát az egymás utáni tagokhoz mindig ugyanannyit adunk hozzá. Mértani sorozatnál minden szomszédos tag hányadosa állandó (q), tehát mindig ugyanannyival szorzunk. Például: 2, 5, 8, 11 számtani (d=3), míg 2, 6, 18, 54 mértani (q=3).

Q: Hogyan számoljuk ki egy számtani sorozat összegét?

A számtani sorozat első n tagjának összege: S_n = n · (a₁ + aₙ) / 2. Ez lényegében az első és utolsó tag átlaga, szorozva a tagok számával. Gauss-féle összegzés: ha az első 100 természetes számot akarjuk összeadni: S = 100 · (1 + 100) / 2 = 5050.

Q: Mikor van végtelen mértani sor összege?

Végtelen mértani sornak csak akkor van véges összege, ha a hányados abszolút értéke kisebb mint 1 (|q| < 1). Ilyenkor az összeg: S = a₁ / (1 - q). Például ha a₁ = 1 és q = 1/2: S = 1 / (1 - 1/2) = 2. Ha |q| ≥ 1, a sor divergens (nincs véges összege).

Sorozatok feladatok

1🟢 Könnyű

Egy számtani sorozat első tagja a_1 = 3, differenciája d = 4. Mekkora a 10. tag?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

n-edik tag képlete

a_n = a_1 + (n-1) \cdot d

2. lépés

Behelyettesítés

a_{10} = 3 + 9 \cdot 4 = 3 + 36 = 39

📌 Végeredmény: a_{10} = 39

2🟡 Közepes

Számold ki az első 20 pozitív egész szám összegét!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Ez egy számtani sorozat: a_1 = 1, a_{20} = 20, n = 20

2. lépés

Összegképlet

S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{20 \cdot (1 + 20)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210

📌 Végeredmény: S_{20} = 210

3🟡 Közepes

Egy mértani sorozat: a_1 = 2, q = 3. Add meg az első 5 tag összegét!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Mértani sorozat összegképlete

S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}

2. lépés

Behelyettesítés

S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot \frac{242}{2} = 242

📌 Végeredmény: S_5 = 242

4🔴 Nehéz

Végtelen mértani sor: a_1 = 6, q = \frac{1}{3}. Mekkora az összeg?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Mivel |q| = \frac{1}{3} < 1, létezik véges összeg

2. lépés

Képlet

S = \frac{a_1}{1 - q} = \frac{6}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{6}{\frac{2}{3}} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9

📌 Végeredmény: S = 9

Info
⚠️ Pontosság: A feladatok és megoldások tájékoztató jellegűek, gondosan ellenőriztük őket. Előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd!

Mit fogsz tanulni?

Ezen az oldalon a számtani és mértani sorozatokkal ismerkedhetsz meg: hogyan ismerjük fel őket, hogyan számolunk n-edik tagot, és hogyan adjuk össze a tagjaikat.

Elméleti összefoglaló

Számtani sorozat

Egy sorozat számtani, ha minden szomszédos tag különbsége állandó. Ezt a különbséget $d$ -vel jelöljük.

a_{n + 1} - a_{n} = d (\overset{a}{ˊ} lland \overset{o}{ˊ})

n-edik tag képlete:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) \cdot d

Első n tag összege:

S_{n} = \frac{n \cdot ( a _{1} + a _{n} )}{2}

Tip
Gondolj Gauss trükkjére! Ha össze akarod adni az 1-től 100-ig a számokat, párosítsd az elsőt az utolsóval: $1 + 100 = 101$ , $2 + 99 = 101$ , ... Összesen 50 pár, tehát $S = 50 \cdot 101 = 5050$ .

Mértani sorozat

Egy sorozat mértani, ha minden szomszédos tag hányadosa állandó. Ezt a hányadost $q$ -val jelöljük.

\frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = q (\overset{a}{ˊ} lland \overset{o}{ˊ})

n-edik tag képlete:

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Első n tag összege ( $q \neq = 1$ ):

S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}

Végtelen mértani sor

Ha $∣ q ∣ < 1$ , akkor a végtelen mértani sornak van véges összege:

S = \frac{a _{1}}{1 - q}

Összefoglaló táblázat

Tulajdonság	Számtani sorozat	Mértani sorozat
Jellemző	Állandó különbség ( $d$ )	Állandó hányados ( $q$ )
n-edik tag	$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$	$a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$
Összeg	$S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$	$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$
Példa	3, 7, 11, 15, …	2, 6, 18, 54, …

Feladatok

Összegzés

A sorozatoknál a kulcs: felismerni, hogy számtani (állandó különbség) vagy mértani (állandó hányados) sorozatról van szó. Ha ezt tudod, az n-edik tag és az összeg képleteit csak be kell helyettesítened. A végtelen mértani sor összege pedig akkor létezik, ha $∣ q ∣ < 1$ .

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Mi a különbség a számtani és a mértani sorozat között?

Számtani sorozatnál minden szomszédos tag különbsége állandó (d), tehát az egymás utáni tagokhoz mindig ugyanannyit adunk hozzá. Mértani sorozatnál minden szomszédos tag hányadosa állandó (q), tehát mindig ugyanannyival szorzunk. Például: 2, 5, 8, 11 számtani (d=3), míg 2, 6, 18, 54 mértani (q=3).

Hogyan számoljuk ki egy számtani sorozat összegét?

A számtani sorozat első n tagjának összege: S_n = n · (a₁ + aₙ) / 2. Ez lényegében az első és utolsó tag átlaga, szorozva a tagok számával. Gauss-féle összegzés: ha az első 100 természetes számot akarjuk összeadni: S = 100 · (1 + 100) / 2 = 5050.

Mikor van végtelen mértani sor összege?

Végtelen mértani sornak csak akkor van véges összege, ha a hányados abszolút értéke kisebb mint 1 (|q| < 1). Ilyenkor az összeg: S = a₁ / (1 - q). Például ha a₁ = 1 és q = 1/2: S = 1 / (1 - 1/2) = 2. Ha |q| ≥ 1, a sor divergens (nincs véges összege).

Frissítve:2026. február 18.