Kombinatorika feladatok

Info

⚠️ Pontosság: A feladatok és megoldások tájékoztató jellegűek, gondosan ellenőriztük őket. Előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd!

Mit fogsz tanulni?#

Ezen az oldalon a kombinatorika alapjait gyakorolhatod: hányféleképpen lehet elemeket sorba rendezni, kiválasztani, csoportosítani. Ezek a feladatok az érettségin is rendszeresen előfordulnak!

Elméleti összefoglaló#

Faktoriális#

Az $n$ faktoriális ($n!$) az 1-től $n$-ig terjedő egész számok szorzata:

Megállapodás: $0!=1$.

$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
10	3 628 800

Permutáció — az összes elem rendezése#

$n$ különböző elem összes lehetséges sorrendje:

Példa: Hányféleképpen ülhet le 4 ember egy sorba? $P_4=4!=24$ féleképpen.

Ismétléses permutáció#

Ha az elemek között vannak ismétlődők ($k_1$ db azonos, $k_2$ db azonos, …):

Példa: Az „ALMA“ szó betűiből hányféle sorrend képezhető? 4 betű, de az „A” kétszer szerepel: $\frac{4!}{2!}=\frac{24}{2}=12$.

Variáció — kiválasztás sorrenddel#

$n$ elemből $k$ elem kiválasztása, ahol a sorrend számít:

Példa: 10 versenyző közül hányféleképpen lehet 1., 2., 3. helyezettet választani? $V_{10}^3=\frac{10!}{7!}=10\cdot 9\cdot 8=720$.

Kombináció — kiválasztás sorrend nélkül#

$n$ elemből $k$ elem kiválasztása, ahol a sorrend NEM számít:

Példa: 10 tanulóból hányféleképpen lehet 3 fős csapatot választani? $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3}\right)=\frac{10!}{3!\cdot 7!}=\frac{720}{6}=120$.

Tip

Melyiket használjam? Tedd fel magadnak: „Számít-e a sorrend?" Ha igen → variáció. Ha nem → kombináció. Ha az összes elemet rendezed → permutáció.

Döntési fa — összefoglaló#

Kérdés	Válasz	Képlet
Minden elemet sorba rendezek?	Igen	Permutáció: $n!$
Néhányat választok, sorrend számít?	Igen	Variáció: $\frac{n!}{(n-k)!}$
Néhányat választok, sorrend nem számít?	Igen	Kombináció: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$

Feladatok#

Összegzés#

A kombinatorika három alappillére: permutáció (mindet rendezem), variáció (néhányat választok, sorrend számít) és kombináció (néhányat választok, sorrend nem számít). A kulcs mindig az, hogy felismerd: „Számít-e a sorrend?" Ha erre tudsz válaszolni, a megfelelő képletet csak be kell helyettesítened.

Kapcsolódó tartalmak#

• Valószínűség feladatok — 11. osztály
• Sorozatok feladatok — 11. osztály
• Kombinatorika típusfeladatok — Érettségi
• 11. osztály — összes témakör

Gyakran ismételt kérdések#

Mi a különbség a permutáció, variáció és kombináció között?

Permutáció: az összes elem sorba rendezése (n!). Variáció: n elemből k kiválasztása, ahol a sorrend számít. Kombináció: n elemből k kiválasztása, ahol a sorrend NEM számít. Példa: 3 fős csapatból elnök-alelnök választása variáció (AB ≠ BA), de 2 fős bizottság választása kombináció (AB = BA).

Mi az a faktoriális (n!)?

Az n faktoriális (n!) az 1-től n-ig terjedő természetes számok szorzata. Például: 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120. Megállapodás szerint 0! = 1. A faktoriális a kombinatorika alapművelete — a permutációk, variációk és kombinációk mind faktoriálisokkal számolhatók.

Hogyan döntöm el, melyik képletet használjam?

Tedd fel két kérdést: 1) Az összes elemet rendezem, vagy csak néhányat választok ki? Ha mindet rendezem: permutáció (n!). 2) Ha néhányat választok: számít-e a sorrend? Ha igen: variáció. Ha nem: kombináció. Emlékeztető: 'Variáció = Van sorrend, Kombináció = Csak a Kiválasztás számít'.