Felezési idő kalkulátor ▶ radioaktív bomlás (N = N₀·(½)^(t/T))

Felezési idő kalkulátor

Bomlás bemenet

Kezdeti mennyiség (N₀)

Felezési idő (T)

Eltelt idő (t)

Eredmény

Megmaradó mennyiség (N)

a kezdeti 25%-a

Felezések száma

Elbomlott

75%

Levezetés

N = N₀ · (½)^(t/T) = 100 · (½)^2 = 25

Info
Gyors áttekintés – felezési idő röviden

Alapképlet: $N = N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{t / T}$ – a megmaradó mennyiség exponenciálisan csökken

Felezési idő ( $T$ ): az az idő, amely alatt az anyag fele elbomlik – az adott izotópra jellemző állandó

Felezések száma: $n = t / T$ ; minden felezés után a maradék feleződik (50% → 25% → 12,5% …)

Szén-14: $T = 5730$ év – ezen alapul a radiokarbon-kormeghatározás

Statisztikus törvény: sok atomra pontos, egyetlen atom bomlása véletlenszerű

💡 A bomlás nem lineáris, hanem exponenciális: két felezés után nem 0%, hanem a negyede – 25% – marad.

A felezési idő az az idő, amely alatt egy radioaktív anyag mennyisége a felére csökken. A bomlást a $N = N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{t / T}$ képlet írja le, és ez az alapja a szén-14 kormeghatározásnak is. Ez az oldal egy interaktív kalkulátort ad izotóp-presetekkel, majd végigvezet a képleten, a levezetésen, a valós izotópok adatain és a tipikus hibákon.

Felezési idő kalkulátor

Add meg a kezdeti mennyiséget, a felezési időt és az eltelt időt, és a kalkulátor kiszámolja, mennyi marad meg, hány felezés telt el, és mennyi bomlott el – lépésről lépésre.

Tipp: válaszd a „Szén-14 (5730 év)" presetet, és nézd meg, mennyi C-14 marad néhány ezer év után. A megmaradó mennyiség mellett a százalékos maradékot és a felezések számát is látod.

Mi a felezési idő?

A radioaktív bomlás véletlenszerű: egyetlen atomról nem lehet megmondani, mikor bomlik el. Nagy számú atomra viszont a folyamat statisztikailag szabályos, és jól jellemezhető egyetlen számmal – a felezési idővel. A felezési idő ( $T$ ) az az idő, amely alatt az atommagok fele elbomlik. Egy felezés után a fele, két felezés után a negyede, három után a nyolcada marad meg az eredeti mennyiségnek.

A jelenséget Henri Becquerel fedezte fel 1896-ban, majd Ernest Rutherford és Frederick Soddy mutatta ki 1902–1903 körül, hogy a bomlás exponenciális törvényt követ, és minden radioaktív izotópra jellemző egy állandó felezési idő. Maga a „felezési idő" fogalma is Rutherfordtól származik. A módszer leghíresebb alkalmazását, a radiokarbon-kormeghatározást, Willard Libby dolgozta ki 1949-ben (ezért 1960-ban kémiai Nobel-díjat kapott).

A felezési idő az adott izotóp „ujjlenyomata": az elemtől és az atommag felépítésétől függ, de nem függ a mennyiségtől, a hőmérséklettől, a nyomástól vagy attól, hogy vegyületben van-e az atom.

A radioaktív bomlás képlete

A megmaradó mennyiséget a bomlástörvény adja meg:

N = N_{0} \cdot (\frac{1}{2})^{t / T}

Ahol $N_{0}$ = kezdeti mennyiség (atomszám, tömeg vagy aktivitás), $N$ = a $t$ idő elteltével megmaradó mennyiség, $t$ = eltelt idő, $T$ = felezési idő (ugyanabban az időegységben, mint $t$ ). A $t / T$ hányados a felezések száma, amit gyakran $n$ -nel jelölünk.

Ha csak a felezések számára vagyunk kíváncsiak, a maradó hányad tisztán a kitevőtől függ:

\frac{N}{N _{0}} = (\frac{1}{2})^{n}, n = \frac{t}{T}

Ahol $n$ = felezések száma (dimenziótlan). A képlet mindhárom irányba átrendezhető – ez adja a kalkulátor négyféle működését:

Keresett mennyiség	Képlet	Amit ismerned kell
Megmaradó mennyiség ( $N$ )	$N = N_{0} (\frac{1}{2})^{t / T}$	$N_{0}$ , $t$ , $T$
Felezések száma ( $n$ )	$n = \frac{t}{T}$	$t$ , $T$
Eltelt idő / kor ( $t$ )	$t = T \cdot lo g_{1/2} (\frac{N}{N _{0}})$	$N / N_{0}$ , $T$
Felezési idő ( $T$ )	$T = \frac{t}{lo g _{1/2} ( N / N _{0} )}$	$t$ , $N / N_{0}$

A kor visszaszámolásához tehát a maradék arányából logaritmust kell venni – ezt teszi a kalkulátor is, amikor kormeghatározási feladatot oldasz meg vele.

Felezések száma és a megmaradó mennyiség

Mivel minden felezési idő a maradékot felezi, a mennyiség mértani sorozat szerint csökken. Az alábbi tábla mutatja, mennyi marad és mennyi bomlik el az egyes felezések után:

Felezések száma ( $n$ )	Megmaradó hányad $(\frac{1}{2})^{n}$	Megmaradó %	Elbomlott %
1	1/2	50%	50%
2	1/4	25%	75%
3	1/8	12,5%	87,5%
4	1/16	6,25%	93,75%
5	1/32	3,125%	96,875%
7	1/128	≈ 0,781%	≈ 99,219%
10	1/1024	≈ 0,098%	≈ 99,902%

Jól látszik, hogy a bomlás soha nem ér el pontosan nullát – elméletben mindig marad valamennyi. A gyakorlatban azonban 10 felezés után (kevesebb mint 0,1% marad) az anyagot már gyakorlatilag elbomlottnak tekintjük.

Időegységek: t és T mindig azonos egységben

A képletben csak a $t / T$ hányados szerepel, ez pedig dimenziótlan szám. Ebből következik a legfontosabb gyakorlati szabály: az eltelt időt ( $t$ ) és a felezési időt ( $T$ ) ugyanabban az időegységben kell megadni, különben a hányados hibás lesz. Az egységek „kiesnek", ha megegyeznek – nem kell másodpercre váltani, elég, ha mindkettő napban vagy mindkettő évben van.

Ha az idő egysége…	…akkor a felezési idő is	Példa
nap	nap legyen	I-131: $T = 8, 02$ nap, $t = 24$ nap
év	év legyen	C-14: $T = 5730$ év, $t = 11460$ év
óra / perc	óra / perc legyen	rövid életű orvosi izotópok

Tip
A kalkulátorban külön időegységet választhatsz a felezési időhöz és az eltelt időhöz (másodperc, perc, óra, nap, év), így nem neked kell fejben átváltanod – a program a közös egységre hozza a két értéket.

Lépésről lépésre példák

1. példa – Megmaradó mennyiség (előre számolás)

100 g radioaktív anyag, felezési idő $T = 5730$ év, eltelt idő $t = 11460$ év. Mennyi marad?

Először a felezések száma: $n = t / T = 11 460/5730 = 2$ .

N = 100 \cdot (\frac{1}{2})^{11460/5730} = 100 \cdot (\frac{1}{2})^{2} = 25 g

Tehát 100 g-ból 25 g marad meg, és 75 g bomlik el.

2. példa – Kor meghatározása (radiokarbon)

Egy régészeti faszénmintában a C-14-nek a 25%-a maradt meg ( $N / N_{0} = 0, 25$ ). Hány éves a lelet? A felezési idő $T = 5730$ év.

Mivel $0, 25 = (\frac{1}{2})^{2}$ , ez pontosan 2 felezés:

t = T \cdot lo g_{1/2} (0, 25) = 5730 \cdot 2 = 11460 \overset{e}{ˊ} v

A lelet tehát nagyjából 11 460 éves. Ez a radiokarbon-módszer lényege: a maradék C-14 arányából a kitevőt (a felezések számát) logaritmussal kapjuk meg.

3. példa – Orvosi izotóp lecsengése (I-131)

A jód-131 felezési ideje $T = 8, 02$ nap (közelítésben 8 nap). Egy pajzsmirigy-kezelés után 24 nap alatt hány felezés telik el, és mennyi marad?

Felezések száma: $n = 24/8 = 3$ .

\frac{N}{N _{0}} = (\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8} = 12, 5%

24 nap után tehát az eredeti I-131-nek csak a 12,5%-a marad – ezért ürül ki gyorsan a rövid felezési idejű orvosi izotóp a szervezetből.

4. példa – Atomszám és nem egész felezés

1000 atom, 4 felezés után:

N = 1000 \cdot (\frac{1}{2})^{4} = 1000 \cdot \frac{1}{16} = 62, 5 \approx 62 atom

A tört eredmény (62,5) azért jöhet ki, mert a törvény statisztikus – egyetlen atomra nem, sok atomra viszont pontos. A kitevő nem is muszáj egész szám: fél felezési idő ( $n = 0, 5$ ) után például $(\frac{1}{2})^{0, 5} \approx 0, 707$ , azaz még a mennyiség 70,7%-a megvan.

Ismert izotópok felezési ideje

A felezési idők óriási tartományt fognak át: a másodperc törtrészétől a több milliárd évig. Néhány gyakran előkerülő izotóp valós adata:

Izotóp	Felezési idő	Jellemző előfordulás / felhasználás
Jód-131 (I-131)	8,02 nap	orvosi (pajzsmirigy), reaktorbaleset
Kobalt-60 (Co-60)	5,27 év	sugárterápia, eszközsterilizálás
Cézium-137 (Cs-137)	30,2 év	reaktorbaleset (Csernobil, Fukusima)
Szén-14 (C-14)	5730 év	radiokarbon-kormeghatározás
Rádium-226 (Ra-226)	1600 év	urán bomlási sora, történelmi világítófesték
Plutónium-239 (Pu-239)	24 100 év	reaktor-üzemanyag, nukleáris hulladék
Urán-238 (U-238)	4,47 milliárd év	természetes urán, kőzetek kormeghatározása

Az izotóp felezési ideje dönti el, mire használható: a rövid felezési idejű izotópok (I-131) az orvoslásban hasznosak, mert gyorsan lecsengenek; a hosszú felezési idejűek (U-238) a Föld és a kőzetek több milliárd éves korának mérésére alkalmasak.

Szén-14 (radiokarbon) kormeghatározás

Az élőlényekben – amíg élnek – a szén-14 aránya közel állandó, mert a légkörből folyamatosan pótlódik. A halál pillanatában a pótlás megszűnik, és a C-14 bomlani kezd, felezési ideje 5730 év. A maradék C-14 arányából a bomlástörvény átrendezésével visszaszámolható, hány éve halt el a szervezet:

t = T \cdot lo g_{1/2} (\frac{N}{N _{0}})

Ahol $N / N_{0}$ = a mai és az eredeti (élő korabeli) C-14-arány hányadosa. Ez a módszer szerves anyagoknál (fa, csont, textil, faszén) működik, és nagyjából 50 000 évig ad megbízható eredményt – ennél idősebb minta már túl kevés C-14-et tartalmaz a méréshez.

A bomlási állandó és az e-alapú alak (emelt szint)

A „feles" alak mellett a bomlástörvény felírható az Euler-szám ( $e \approx 2, 718$ ) hatványaként is, ami a differenciálegyenletes tárgyalásban természetesebb:

N = N_{0} \cdot e^{- λ t}, λ = \frac{ln 2}{T} \approx \frac{0 , 693}{T}

Ahol $λ$ = bomlási állandó (mértékegysége 1/idő), amely megadja, hogy egységnyi idő alatt az atomok mekkora hányada bomlik el. A két alak matematikailag azonos: $(\frac{1}{2})^{t / T} = e^{- λ t}$ , ha $λ = ln 2/ T$ .

Ehhez kapcsolódik két további mennyiség: a közepes élettartam $τ = 1/ λ = T / ln 2 \approx 1, 44 T$ (az atom átlagos élettartama), és az aktivitás $A = λ N$ , amely a másodpercenkénti bomlások számát adja meg. Az aktivitás mértékegysége a becquerel (Bq): 1 Bq = 1 bomlás másodpercenként. Az aktivitás ugyanolyan felezési idővel csökken, mint maga a mennyiség.

Hol használjuk a felezési időt?

Régészet és kormeghatározás: szerves leletek kora a C-14 maradékából (~50 000 évig)
Geológia: a Föld és a kőzetek kora az U-238 → ólom bomlási sor alapján, több milliárd éves skálán
Orvosi diagnosztika és terápia: rövid felezési idejű izotópok, pl. I-131 a pajzsmirigynél vagy Tc-99m (T ≈ 6 óra) a képalkotásban
Nukleáris hulladék kezelése: a hosszú felezési idejű izotópok (Pu-239) miatt évezredes biztonságos tárolás kell
Sugárvédelem: reaktorbaleset után a Cs-137 és I-131 lecsengésének becslése
Sterilizálás: a Co-60 gamma-sugárzása orvosi eszközök és élelmiszerek csírátlanítására

Tipikus hibák

Felezés ≠ teljes elbomlás: egy felezési idő alatt csak a fele bomlik el, nem az egész.
Lineáris gondolkodás: a bomlás exponenciális – 2 felezés után 25% marad, nem 0%; 10 felezés után sem lesz pontosan nulla.
$t$ és $T$ eltérő egységben: a két időt azonos egységre kell hozni, különben a $t / T$ hányados hibás.
Aktivitás és mennyiség keverése: az aktivitás (bomlás/s, Bq) is ugyanígy feleződik, de más mértékegység, mint a tömeg vagy az atomszám.
Keverék „közös" felezési ideje: két különböző izotóp keverékének nincs egyetlen felezési ideje – mindegyik a sajátja szerint bomlik.

Warning
A felezési idő statisztikus törvény: nagyszámú atomra pontosan érvényes, de egyetlen atomról nem lehet megmondani, mikor bomlik el – az teljesen véletlenszerű. Ezért van felső határa a radiokarbon-módszernek is (kb. 50 000 év): ennyi idő (≈9 felezés) után már olyan kevés C-14 marad, hogy a mérés bizonytalanná válik.

Magyar–angol szakszótár

Magyar	Angol	Jel	Mértékegység
Felezési idő	Half-life	$T$ ( $t_{1/2}$ )	s, nap, év
Radioaktív bomlás	Radioactive decay	—	—
Kezdeti mennyiség	Initial quantity	$N_{0}$	db, mol, g, Bq
Megmaradó mennyiség	Remaining quantity	$N$	db, mol, g, Bq
Felezések száma	Number of half-lives	$n = t / T$	dimenziótlan
Bomlási állandó	Decay constant	$λ$	1/s
Aktivitás	Activity	$A$	becquerel (Bq)
Közepes élettartam	Mean lifetime	$τ$	s, év

Kapcsolódó kalkulátorok

Kamatos kamat kalkulátor – ugyanaz az exponenciális matematika, csak növekvő irányban
Exponenciális egyenletek – az exponenciális csökkenés általánosan
Logaritmus kalkulátor – a kor (a kitevő) kiszámításához logaritmus kell
Fényév kalkulátor – a másik nagy nagyságrendű fizikai számítás
Fizika kalkulátorok – bevezetés – a teljes fizika kategória

Gyakran ismételt kérdések (GYIK)

Mi a felezési idő?

A felezési idő (T) az az idő, amely alatt egy radioaktív anyag mennyisége a felére csökken. Minden felezési idő elteltével feleannyi marad, mint az elején.

Mi a radioaktív bomlás képlete?

N = N₀·(½)^(t/T), ahol N₀ a kezdeti mennyiség, N a megmaradó, t az eltelt idő, T a felezési idő. A t/T hányados a felezések száma.

Hogyan működik a szén-14 kormeghatározás?

Az élőlényekben állandó a C-14 aránya; halál után bomlani kezd, felezési ideje 5730 év. A maradék C-14 arányából a bomlás képletével visszaszámolható a kor.

Mennyi marad 3 felezési idő után?

A kezdeti mennyiség (½)³ = 1/8 = 12,5%-a marad meg. 3 felezés alatt tehát 87,5% elbomlik.

Mennyi a szén-14 felezési ideje?

A szén-14 (C-14) felezési ideje kb. 5730 év. Ezért alkalmas néhány tízezer éves szerves leletek korának meghatározására.

Hogyan számolom ki a megmaradó mennyiséget?

Oszd el az eltelt időt a felezési idővel (ez a felezések száma, n = t/T), majd N = N₀·(½)ⁿ. Például 2 felezés után a negyede marad.

Mi marad 10 felezési idő után?

A kezdeti mennyiség (½)¹⁰ ≈ 0,098%-a, azaz kevesebb mint 0,1%. Tíz felezés után gyakorlatilag elbomlik az anyag.

Függ a felezési idő a kezdeti mennyiségtől?

Nem: a felezési idő az adott izotópra jellemző állandó, független a mennyiségtől, a hőmérséklettől és a nyomástól.

Nemzetközi hivatkozások

Half-life – Wikipedia – a felezési idő matematikája és példák
Radioactive decay – Wikipedia – a bomlástörvény és a bomlási állandó
Radiocarbon dating – Wikipedia – a szén-14 módszer részletei

Magyar források

Felezési idő – Wikipédia – magyar nyelvű összefoglaló
Sulinet Tudásbázis – Radioaktivitás – iskolai elméleti összefoglaló
Nemzeti Köznevelési Portál (NKP) – fizika tananyag és feladatok

Frissítve:2026. július 15.