Valószínűség feladatok

Info

⚠️ Pontosság: A feladatok és megoldások tájékoztató jellegűek, gondosan ellenőriztük őket. Előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd!

Mit fogsz tanulni?#

Ezen az oldalon a valószínűségszámítás alapjait gyakorolhatod: klasszikus valószínűség, összetett események, és kombinatorikus valószínűség feladatokon keresztül.

Elméleti összefoglaló#

Klasszikus valószínűség#

Ha minden elemi esemény egyformán valószínű (pl. szabályos kocka, érme, jól kevert kártyák):

A valószínűség mindig $0$ és $1$ közé esik: $0\le P(A)\le 1$.

Érték	Jelentése
$P(A)=0$	Lehetetlen esemény
$P(A)=1$	Biztos esemény
$P(A)=0,5$	„Fifty-fifty" — egyforma esély

Komplementer esemény#

Az $A$ esemény komplementere ($\overline{A}$) azt jelenti: „$A$ NEM következik be".

Tip

Ha nehéz közvetlenül kiszámolni, hogy „legalább egy...", akkor számold ki az ellenkezőjét: „egy sem" és vond ki 1-ből!

Összetett események#

Egymást kizáró események ($A$ és $B$ nem történhet egyszerre):

Nem kizáró események (lehetnek egyszerre is):

Független események (egyik nem befolyásolja a másikat):

Kombinatorikus valószínűség#

Sok feladatban a kedvező és az összes esetet kombinatorikával számoljuk ki:

Példa: 52 lapos pakliból 5 lapot húzunk. Mennyi a valószínűsége, hogy mind piros? Kedvező: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{26}{5}\right)$, összes: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{52}{5}\right)$.

Összefoglaló — mikor mit használj#

Helyzet	Művelet	Képlet
„A és B is bekövetkezik" (független)	Szorzás	$P(A)\cdot P(B)$
„A vagy B bekövetkezik" (kizáró)	Összeadás	$P(A)+P(B)$
„A vagy B bekövetkezik" (nem kizáró)	Szita	$P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
„Legalább egy…"	Komplementer	$1-P(\text{egy sem})$

Feladatok#

Összegzés#

A valószínűségszámítás lényege: kedvező esetek / összes eset. Ha „és“ van a feladatban → szorzás, ha „vagy” → összeadás (és esetleg szita). A „legalább egy" típusú feladatoknál pedig a komplementer trükk a barátod: számold ki, hogy „egy sem", és vond ki 1-ből!

Kapcsolódó tartalmak#

• Kombinatorika feladatok — 11. osztály — Szorosan kapcsolódik!
• Sorozatok feladatok — 11. osztály
• Valószínűség típusfeladatok — Érettségi
• 11. osztály — összes témakör

Gyakran ismételt kérdések#

Mi a klasszikus valószínűség képlete?

A klasszikus valószínűség: P(A) = kedvező esetek száma / összes eset száma. Feltétel: minden elemi esemény egyformán valószínű. Például szabályos kockával 6-ost dobni: P = 1/6, mert 1 kedvező eset van a 6-ból.

Mit jelent, hogy két esemény független?

Két esemény független, ha az egyik bekövetkezése nem befolyásolja a másik valószínűségét. Ilyenkor a valószínűségek szorzódnak: P(A és B) = P(A) · P(B). Például két kockadobás eredménye független egymástól.

Mikor kell összeadni és mikor szorozni a valószínűségeket?

Szorzás: ha mindkét eseménynek EGYSZERRE kell bekövetkeznie ('és'). Összeadás: ha legalább az egyiknek kell bekövetkeznie ('vagy'), de csak egymást kizáró esetben. Ha nem kizáró: P(A vagy B) = P(A) + P(B) - P(A és B).