Függvényanalízis feladatok

Info

⚠️ Pontosság: A feladatok és megoldások tájékoztató jellegűek, gondosan ellenőriztük őket. Előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd!

Mit fogsz tanulni?#

Ezen az oldalon a függvényanalízis (függvényvizsgálat) alapjait gyakorolhatod: deriválás, szélsőérték-keresés, monotonitás vizsgálat, és grafikon vázolás.

Elméleti összefoglaló#

Mi a derivált?#

A derivált megmutatja, milyen gyorsan változik a függvény egy adott pontban. Geometriailag: az érintő egyenes meredeksége.

Alapvető deriválási szabályok#

Függvény	Derivált
$f(x)=c$ (konstans)	$f^{\prime }(x)=0$
$f(x)=x^n$	$f^{\prime }(x)=n\cdot x^{n-1}$
$f(x)=e^x$	$f^{\prime }(x)=e^x$
$f(x)=\ln x$	$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$
$f(x)=\sin x$	$f^{\prime }(x)=\cos x$
$f(x)=\cos x$	$f^{\prime }(x)=-\sin x$

Műveletekkel:

Szabály	Képlet
Összeg	$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$
Szorzás konstanssal	$(c\cdot f{)}^{\prime }=c\cdot f^{\prime }$
Szorzat	$(f\cdot g{)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot g+f\cdot g^{\prime }$
Hányados	${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }\cdot g-f\cdot g^{\prime }}{g^2}$

Függvényvizsgálat lépései#

A teljes függvényvizsgálat során az alábbi tulajdonságokat határozzuk meg:

1. Értelmezési tartomány ($D_f$) Hol van értelmezve a függvény? (Pl. $\frac{1}{x}$-nél $x\ne 0$, $\sqrt{x}$-nél $x\ge 0$.)

2. Zérushelyek Megoldjuk az $f(x)=0$ egyenletet.

3. Monotonitás (növekedés/csökkenés)

4. Szélsőértékek

Ahol $f^{\prime }(x)=0$ és előjelváltás van:

• $f^{\prime }$ előjele $+$ → $-$: lokális maximum
• $f^{\prime }$ előjele $-$ → $+$: lokális minimum

Tip

A szélsőérték-keresés „receptje": 1) Deriválj. 2) Old meg az $f^{\prime }(x)=0$ egyenletet. 3) Nézd meg az előjelváltást. 4) A szélsőérték y-koordinátáját visszahelyettesítéssel kapod!

5. Aszimptoták

• Függőleges: ahol $f$ nem értelmezett, de ${\lim }_{x\to a}f(x)=\pm \infty$
• Vízszintes: ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=L$ (véges szám)

6. Grafikon vázolása

Mindent összegezve: jelöld be a zérushelyeket, szélsőértékeket, aszimptotákat, és rajzold meg a grafikont a monotonitás alapján.

Példa: $f(x)=x^3-3x$#

Lépés	Számolás
Derivált	$f^{\prime }(x)=3x^2-3$
$f^{\prime }(x)=0$	$3x^2-3=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$
Előjelváltás	$f^{\prime }(-2)=9>0$, $f^{\prime }(0)=-3<0$, $f^{\prime }(2)=9>0$
Szélsőértékek	$x=-1$: max ($f(-1)=2$), $x=1$: min ($f(1)=-2$)

Feladatok#

Összegzés#

A függvényvizsgálat lényege: a derivált megmondja, hol nő és hol csökken a függvény. Ahol a derivált nullává válik és előjelet vált, ott szélsőérték van. A teljes függvényvizsgálat: értelmezési tartomány → zérushelyek → monotonitás → szélsőértékek → aszimptoták → grafikon.

Kapcsolódó tartalmak#

• Függvény érettségi feladatok
• Statisztika feladatok — 12. osztály
• Térgeometria feladatok — 12. osztály
• 12. osztály — összes témakör

Gyakran ismételt kérdések#

Mit jelent a függvényvizsgálat?

A függvényvizsgálat során meghatározzuk egy függvény legfontosabb tulajdonságait: értelmezési tartomány, zérushelyek, szélsőértékek (minimum, maximum), monotonitás (hol nő, hol csökken), konvexitás és aszimptoták. Ezek alapján vázoljuk a grafikont.

Hogyan határozom meg a szélsőértékeket?

Szélsőérték-keresés lépései: 1) Képezzük a deriváltat: f'(x). 2) Oldjuk meg az f'(x) = 0 egyenletet — ezek a 'gyanús' helyek. 3) Vizsgáljuk meg az f'(x) előjelváltását: ha +-ból --ba vált, az maximum; ha --ból +-ba, az minimum. Vagy: ha f''(x₀) < 0, maximum; ha f''(x₀) > 0, minimum.

Mi az az aszimptota?

Az aszimptota egy olyan egyenes, amelyhez a függvény grafikonja tetszőlegesen közel kerül, de soha nem éri el (vagy csak a végtelenben). Vízszintes aszimptota: a függvény határértéke x → ±∞ esetén. Függőleges aszimptota: ahol a függvény nem értelmezett, de a határérték ±∞. Például f(x) = 1/x-nek van függőleges (x = 0) és vízszintes (y = 0) aszimptotája.