Térgeometria feladatok

Info

⚠️ Pontosság: A feladatok és megoldások tájékoztató jellegűek, gondosan ellenőriztük őket. Előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd!

Mit fogsz tanulni?#

Ezen az oldalon a testek felszínét és térfogatát gyakorolhatod: hasáb, henger, gúla, kúp és gömb. Ezek a feladatok az érettségin is nagyon gyakoriak!

Elméleti összefoglaló#

Testek térfogata — összefoglaló#

Test	Térfogat	Megjegyzés
Hasáb	$V=T_{\text{alap}}\cdot m$	Bármilyen alappal
Henger	$V=r^2\pi \cdot m$	Kör alap
Gúla	$V=\frac{1}{3}{T}_{\text{alap}}\cdot m$	Bármilyen alappal
Kúp	$V=\frac{1}{3}{r}^2\pi \cdot m$	Kör alap
Gömb	$V=\frac{4}{3}{r}^3\pi$	Csak sugár kell

Tip

A gúla és a kúp térfogata egyharmada a megfelelő hasábénak vagy hengerének. Ha ezt megjegyzed, csak a hasáb/henger képletét kell tudnod, és elosztod 3-mal!

Testek felszíne#

Hasáb (téglatest)#

ahol $a$, $b$, $c$ az élek hossza.

Henger#

A palást „kiterítve" egy téglalap, amelynek egyik oldala a kör kerülete ($2r\pi$), a másik a magasság ($m$).

Gúla#

A palást háromszögekből áll. Szabályos gúlánál: $A_{\text{palaˊst}}=\frac{\text{alap keru¨lete}\cdot a_p}{2}$, ahol $a_p$ az apotéma (oldalfelező).

Kúp#

ahol $l$ az alkotó (a csúcstól az alapkör széléig mért távolság).

Tip

A kúp alkotóját ($l$) a Pitagorasz-tétellel kapjuk: $l=\sqrt{r^2+m^2}$, ahol $r$ a sugár és $m$ a magasság.

Gömb#

Hasznos összefüggés: alkotó, sugár, magasság#

Kúpnál és gúlánál gyakran kell a Pitagorasz-tétel a testben:

Ez a háromszög a test „belsejében" van: a magasság, a sugár (vagy apotéma) és az alkotó (vagy oldalél) alkotják.

Feladatok#

Összegzés#

A térgeometria feladatoknál a legfontosabb: tudd a térfogat- és felszínképleteket, és ismerd fel, mikor kell a Pitagorasz-tételt használni a test belsejében (alkotó, magasság, sugár). A gúla és kúp térfogata mindig egyharmada a megfelelő hasábénak!

Kapcsolódó tartalmak#

• Statisztika feladatok — 12. osztály
• Függvényanalízis feladatok — 12. osztály
• Pitagorasz-tétel feladatok — 8. osztály — Alapok ismétlése
• 12. osztály — összes témakör

Gyakran ismételt kérdések#

Hogyan számoljuk ki egy test térfogatát?

Az alapképlet: térfogat = alapterület × magasság. Hasábnál és hengernél ez pontosan így működik. Gúlánál és kúpnál a térfogat az alapterület × magasság / 3 (egyharmada a hasábénak). Gömbé: V = (4/3)πr³.

Mi a különbség a felszín és a palástfelszín között?

A palástfelszín csak az oldalsó felületet jelenti (ami a testet 'körbeöleli'). A teljes felszín = palástfelszín + alaplapok területe. Például egy hengernél a palást egy téglalap (2πr · m), a teljes felszín pedig ez + 2 db kör (2πr²).

Hogyan számoljuk ki egy gúla térfogatát?

Gúla térfogata = (alapterület × magasság) / 3, képletben: V = (1/3) · T_alap · m. Az alapterület a gúla alapjának területe (pl. négyzetnél a²), a magasság pedig a csúcstól az alapra húzott merőleges. Fontos: a magasság NEM az oldalél!