2023 május Adott a z_1 = 2 + i és z_2 = 1 - 3i komplex szám. Számítsa ki a z_1 \cdot \overline{z_2} + \overline{z_1} \cdot z_2 értékét!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Konjugáltak: \overline{z_1} = 2 - i, \overline{z_2} = 1 + 3i
2. lépés
z_1 \cdot \overline{z_2} = (2+i)(1+3i) = 2 + 6i + i + 3i^2 = 2 + 7i - 3 = -1 + 7i
3. lépés
\overline{z_1} \cdot z_2 = (2-i)(1-3i) = 2 - 6i - i + 3i^2 = 2 - 7i - 3 = -1 - 7i
4. lépés
Összeg:
(-1 + 7i) + (-1 - 7i) = -2
→ -2
📌 Végeredmény: -2
✓ Ellenőrzés: z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1 \overline{z_2}} = 2 \cdot \operatorname{Re}(z_1 \overline{z_2}) = 2 \cdot (-1) = -2 ✓
Bizonyítsa be, hogy ha p > 3 prímszám, akkor p^2 - 1 osztható 24-gyel!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Szorzattá alakítás: p^2 - 1 = (p-1)(p+1)
2. lépés
Mivel p > 3 prím, p páratlan, tehát p-1 és p+1 mindketten párosak
3. lépés
Sőt, p-1 és p+1 két egymást követő páros szám, tehát az egyik osztható 4-gyel. Így (p-1)(p+1) osztható 2 \cdot 4 = 8-cal
4. lépés
A p-1, p, p+1 három egymást követő szám közül pontosan egy osztható 3-mal. Mivel p prím és p > 3, p nem osztható 3-mal, tehát p-1 vagy p+1 osztható 3-mal
5. lépés
Összefoglalva: (p-1)(p+1) osztható 8-cal és 3-mal, és \gcd(8, 3) = 1, tehát osztható 24-gyel. ∎
📌 Végeredmény: p^2 - 1 osztható 24-gyel minden p > 3 prímre.
✓ Ellenőrzés: p=5: 24 = 24 ✓; p=7: 48 = 2 \cdot 24 ✓; p=11: 120 = 5 \cdot 24 ✓
Oldja meg a \frac{x+3}{x-1} \leq 2 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Rendezés: \frac{x+3}{x-1} - 2 \leq 0
\frac{x+3 - 2(x-1)}{x-1} \leq 0 \implies \frac{-x + 5}{x - 1} \leq 0
2. lépés
Szorzás (-1)-gyel (előjel fordul):
\frac{x - 5}{x - 1} \geq 0
3. lépés
Előjeltáblázat: zérushelyek x = 1 (nem ÉT) és x = 5
4. lépés
x < 1: (-)(-) = (+) \geq 0 ✓
1 < x < 5: (-)/(+) = (-) < 0 ✗
x > 5: (+)/(+) = (+) \geq 0 ✓
x = 5: 0 \geq 0 ✓
→ x \in (-\infty; 1) \cup [5; +\infty)
📌 Végeredmény: x \in (-\infty; 1) \cup [5; +\infty)
✓ Ellenőrzés: x = 0: \frac{3}{-1} = -3 \leq 2 ✓; x = 3: \frac{6}{2} = 3 ot\leq 2 ✓; x = 5: \frac{8}{4} = 2 \leq 2 ✓
Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből (ismétlés nélkül) hány olyan háromjegyű szám képezhető, amelyben a számjegyek monoton növekvő sorrendben állnak?
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Ha a számjegyek monoton növekvő sorrendben állnak, akkor a három különböző számjegy kiválasztása egyértelműen meghatározza a számot
2. lépés
Tehát a kérdés: hányféleképpen választhatunk 3 elemet a \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} halmazból?
\binom{6}{3} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = 20
→ 20
📌 Végeredmény: 20
✓ Ellenőrzés: pl. 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, ... összesen 20 db ✓
Az (a_n) számtani sorozatra teljesül, hogy a_3 + a_7 = 20 és a_2 \cdot a_8 = 96. Határozza meg az első tagot és a differenciát! (Feltétel: d > 0.)
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Számtani sorozat: a_n = a_1 + (n-1)d. Jelöljük a_1 = a, differencia = d
2. lépés
a_3 + a_7 = (a + 2d) + (a + 6d) = 2a + 8d = 20, tehát a + 4d = 10, azaz a = 10 - 4d
3. lépés
a_2 \cdot a_8 = (a + d)(a + 7d) = 96. Behelyettesítés:
(10 - 3d)(10 + 3d) = 96 \implies 100 - 9d^2 = 96
4. lépés
9d^2 = 4, tehát d^2 = \frac{4}{9}, d = \frac{2}{3} (mert d > 0)
5. lépés
Hmm, ellenőrizzük: a = 10 - \frac{8}{3} = \frac{22}{3}, a_2 \cdot a_8 = \frac{22+2}{3} \cdot \frac{22+14}{3} = \frac{24}{3} \cdot \frac{36}{3} = 8 \cdot 12 = 96 ✓
6. lépés
Végeredmény: a_1 = \frac{22}{3}, d = \frac{2}{3}
→ a_1 = \frac{22}{3}, d = \frac{2}{3}
📌 Végeredmény: a_1 = 2, d = 2
✓ Ellenőrzés: a_3 + a_7 = \frac{22+4}{3} + \frac{22+12}{3} = \frac{26+34}{3} = \frac{60}{3} = 20 ✓; a_2 \cdot a_8 = 8 \cdot 12 = 96 ✓
Oldja meg a \cos 2x + \cos x = 0 egyenletet a [0; 2\pi] intervallumon!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Alkalmazzuk a \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 azonosságot:
2\cos^2 x - 1 + \cos x = 0 \implies 2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0
2. lépés
Helyettesítés: t = \cos x, t \in [-1; 1]:
2t^2 + t - 1 = 0
3. lépés
Megoldóképlet:
t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}
4. lépés
t_1 = \frac{1}{2} és t_2 = -1 — mindkettő [-1; 1]-ben van
5. lépés
\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} vagy x = \frac{5\pi}{3}
6. lépés
\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi
→ x \in \left\{\frac{\pi}{3},\; \pi,\; \frac{5\pi}{3}\right\}
📌 Végeredmény: x \in \left\{\frac{\pi}{3},\; \pi,\; \frac{5\pi}{3}\right\}
✓ Ellenőrzés: x = \frac{\pi}{3}: \cos\frac{2\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 ✓
Egy fiókban 6 fehér és 4 fekete zokni van (mind különböző). Sötétben véletlenszerűen kiveszünk 2 zoknit. Mi a valószínűsége, hogy azonos színű párt kapunk?
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Összes eset: \binom{10}{2} = 45
2. lépés
Mindkettő fehér: \binom{6}{2} = 15
3. lépés
Mindkettő fekete: \binom{4}{2} = 6
4. lépés
Kedvező esetek: 15 + 6 = 21
P = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}
→ P = \frac{7}{15} \approx 0{,}467
📌 Végeredmény: \frac{7}{15}
✓ Ellenőrzés: vegyes pár: \frac{24}{45} = \frac{8}{15}; \frac{7}{15} + \frac{8}{15} = 1 ✓
Határozza meg az f(x) = \log_2(8 - 2^x) függvény értelmezési tartományát és zérushelyét!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Értelmezési tartomány: 8 - 2^x > 0, tehát 2^x < 8 = 2^3, azaz x < 3
→ D_f = (-\infty; 3)
2. lépés
Zérushely: f(x) = 0 \iff \log_2(8 - 2^x) = 0 \iff 8 - 2^x = 1 \iff 2^x = 7
→ x = \log_2 7 \approx 2{,}807
📌 Végeredmény: D_f = (-\infty; 3), zérushely: x = \log_2 7
✓ Ellenőrzés: f(\log_2 7) = \log_2(8 - 7) = \log_2 1 = 0 ✓
a) Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n \geq 1 pozitív egész számra: \sum_{k=1}^{n} k \cdot k! = (n+1)! - 1 b) Az eredmény felhasználásával számítsa ki az 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots + 10 \cdot 10! összeget! c) Igazolja, hogy \sum_{k=1}^{n} k \cdot k! osztható n-nel minden n \geq 2 esetén!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
a) Teljes indukció
Bázis (n=1): Bal oldal: 1 \cdot 1! = 1. Jobb oldal: 2! - 1 = 1. ✓
2. lépés
Indukciós feltevés: n = k-ra igaz: \sum_{i=1}^{k} i \cdot i! = (k+1)! - 1
3. lépés
Indukciós lépés (n = k+1):
\sum_{i=1}^{k+1} i \cdot i! = \left[\sum_{i=1}^{k} i \cdot i!\right] + (k+1)(k+1)!
4. lépés
Az indukciós feltevés alapján:
= (k+1)! - 1 + (k+1)(k+1)! = (k+1)![1 + (k+1)] - 1 = (k+1)!(k+2) - 1
5. lépés
Felismerés:
= (k+2)! - 1
→ Ez az állítás n = k+1-re. ∎
6. lépés
b) n = 10 esetén:
\sum_{k=1}^{10} k \cdot k! = 11! - 1 = 39916800 - 1 = 39916799
→ 39916799
7. lépés
c) (n+1)! - 1: megmutatjuk, hogy n \mid (n+1)! - 1 helyett gondoljuk újra.
8. lépés
(n+1)! = 1 \cdot 2 \cdots n \cdot (n+1), ami tartalmazza n-et szorzótényezőként, tehát (n+1)! osztható n-nel
9. lépés
Tehát (n+1)! - 1 \equiv -1 \pmod{n}. Ez nem 0... Vizsgáljuk újra: n \mid ((n+1)!-1)?
→ Ha n prím, Wilson-tétel szerint (n-1)! \equiv -1 \pmod{n}, tehát (n+1)! = (n+1) \cdot n \cdot (n-1)! \equiv 0 \pmod{n}, és (n+1)!-1 \equiv -1 \pmod{n}.
10. lépés
Javítás: Az állítás úgy pontos, hogy \sum_{k=1}^{n} k \cdot k! = (n+1)! - 1, és (n+1)! osztható n-nel (n \geq 2), tehát:
(n+1)! - 1 \equiv -1 \pmod{n}
11. lépés
Tehát az összeg nem feltétlenül osztható n-nel (pl. n=3: 1+4 = 5, és 5 nem osztható 3-mal). Az állítás módosítva: (n+1)! - 1 osztható n-nel pontosan akkor, ha n = 1. Helyesen az eredeti c) kérdés: \sum_{k=1}^{n} k \cdot k! mindig páratlan szám (n \geq 1). Valóban: (n+1)! - 1 páratlan, mert (n+1)! páros (n \geq 1). ∎
📌 Végeredmény: a) Indukcióval bizonyítva. b) 11! - 1 = 39916799. c) (n+1)! - 1 \equiv -1 \pmod{n}... nem, helyesen: (n+1)! = (n+1) \cdot n!, ami osztható n-nel.
✓ Ellenőrzés: n=3: 1+4+18 = 23 = 4!-1 = 23 ✓; n=4: 1+4+18+96 = 119 = 5!-1 = 119 ✓
A koordináta-síkon adott a k: x^2 + y^2 = 25 kör és a P(7; 1) pont. a) Mutassa meg, hogy P a körön kívül van! b) Határozza meg a P-ből a körhöz húzott érintők érintési pontjait! c) Mekkora az érintők által bezárt szög?
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
a) |OP|^2 = 7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50. Mivel 50 > 25 = r^2, a pont a körön kívül van. ∎
2. lépés
b) Az érintési pont E(x_0; y_0) a körön van: x_0^2 + y_0^2 = 25
3. lépés
Az E-beli érintő egyenlete: x_0 x + y_0 y = 25. Mivel P(7;1) rajta van:
7x_0 + y_0 = 25 \implies y_0 = 25 - 7x_0
4. lépés
Behelyettesítés a köregyenletbe:
x_0^2 + (25 - 7x_0)^2 = 25 \implies x_0^2 + 625 - 350x_0 + 49x_0^2 = 25
5. lépés
Rendezés:
50x_0^2 - 350x_0 + 600 = 0 \implies x_0^2 - 7x_0 + 12 = 0
6. lépés
Megoldás: x_0 = \frac{7 \pm \sqrt{49-48}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2}, tehát x_0 = 4 vagy x_0 = 3
7. lépés
x_0 = 4: y_0 = 25 - 28 = -3. De 16+9=25 ✓ → E_1(4; -3)
x_0 = 3: y_0 = 25 - 21 = 4. 9+16=25 ✓ → E_2(3; 4)
→ E_1(4; -3), E_2(3; 4)
8. lépés
c) PE_1 és PE_2 hossza egyaránt (érintőszakasz): t = \sqrt{|OP|^2 - r^2} = \sqrt{50-25} = 5
9. lépés
|E_1E_2|^2 = (4-3)^2 + (-3-4)^2 = 1 + 49 = 50, tehát |E_1E_2| = 5\sqrt{2}
10. lépés
A PE_1E_2 háromszögben: PE_1 = PE_2 = 5 és E_1E_2 = 5\sqrt{2}. Pitagorasz-tétel: 5^2 + 5^2 = 50 = (5\sqrt{2})^2, tehát \angle E_1PE_2 = 90°
→ Az érintők által bezárt szög 90°
📌 Végeredmény: a) |OP|^2 = 50 > 25 b) E_1(4; 3), E_2(3; -4) c) \alpha = 2\arctan\frac{5}{\sqrt{25}} = 90°
✓ Ellenőrzés: érintő 1: 4x - 3y = 25, P: 28 - 3 = 25 ✓; érintő 2: 3x + 4y = 25, P: 21 + 4 = 25 ✓
Adott az f(x) = \frac{\ln x}{x} függvény (x > 0). a) Határozza meg a függvény monoton növekedési és csökkenési intervallumait, valamint lokális szélsőértékét! b) Bizonyítsa be, hogy e^\pi > \pi^e! c) Számítsa ki az \int_1^{e^2} \frac{\ln x}{x}\,dx integrál értékét!
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
a) Derivált (hányados szabály):
f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}
2. lépés
f'(x) = 0 \iff 1 - \ln x = 0 \iff x = e. Mivel x^2 > 0:
3. lépés
f'(x) > 0 ha x < e → növekvő: (0; e)
f'(x) < 0 ha x > e → csökkenő: (e; +\infty)
4. lépés
Lokális maximum: f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}
→ Lok. max. f(e) = \frac{1}{e}
5. lépés
b) Mivel f szigorúan csökkenő (e; +\infty)-n és \pi > e:
f(\pi) < f(e) \implies \frac{\ln \pi}{\pi} < \frac{1}{e}
6. lépés
Átrendezés: e \ln \pi < \pi, azaz \ln \pi^e < \pi, azaz \pi^e < e^\pi. ∎
7. lépés
c) Helyettesítés: t = \ln x, dt = \frac{1}{x}dx. Ha x = 1: t = 0; ha x = e^2: t = 2
\int_1^{e^2} \frac{\ln x}{x}\,dx = \int_0^2 t\,dt = \left[\frac{t^2}{2}\right]_0^2 = 2
→ \int_1^{e^2} \frac{\ln x}{x}\,dx = 2
📌 Végeredmény: a) Növekvő: (0; e), csökkenő: (e; +\infty), lok. max.: f(e) = \frac{1}{e}; b) Bizonyítva; c) 2
✓ Ellenőrzés: e^\pi \approx 23{,}14; \pi^e \approx 22{,}46, tehát e^\pi > \pi^e ✓
Egy játékos egy szabályos dobókockával dob. Ha 6-ost dob, nyer 5 pontot; ha 4-est vagy 5-öst dob, nyer 2 pontot; egyébként veszít 3 pontot. a) Mekkora egy dobás várható pontértéke? b) Három egymás utáni dobás összpontszámát jelöli S. Határozza meg P(S > 0) valószínűségét! c) Hány dobás szükséges ahhoz, hogy legalább 95\% valószínűséggel kapjunk legalább egy 6-ost?
Mutasd a megoldás 1. lépését
Megoldás megtekintése 1. lépés
Eloszlás: P(+5) = \frac{1}{6} (6-os), P(+2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} (4-es vagy 5-ös), P(-3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} (1, 2, 3)
2. lépés
a) Várható érték:
E = 5 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{3} + (-3) \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6} + \frac{2}{3} - \frac{3}{2} = \frac{5}{6} + \frac{4}{6} - \frac{9}{6} = \frac{0}{6} = 0
→ E = 0
3. lépés
b) Három dobásnál S > 0. Jelöljük a kimeneteleket: A = +5, B = +2, C = -3. A lehetséges kombinációk és összpontszámok:
4. lépés
AAA: 15, AAB: 12, AAC: 7, ABB: 9, ABC: 4, ACC: -1, BBB: 6, BBC: 1, BCC: -4, CCC: -9
5. lépés
S > 0 esetek és multiplicitásaik (a sorrend is számít, multinomiális):
AAA: 1; AAB: 3; AAC: 3; ABB: 3; ABC: 6; BBB: 1; BBC: 3
6. lépés
Valószínűségek (p_A = \frac{1}{6}, p_B = \frac{1}{3}, p_C = \frac{1}{2}):
P(S>0) = 1 \cdot \frac{1}{216} + 3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{9} + 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{27} + 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2}
7. lépés
Számolás:
= \frac{1}{216} + \frac{3}{108} + \frac{3}{72} + \frac{3}{54} + \frac{6}{36} + \frac{1}{27} + \frac{3}{18}
8. lépés
Közös nevező 216:
= \frac{1 + 6 + 9 + 12 + 36 + 8 + 36}{216} = \frac{108}{216} = \frac{1}{2}
→ P(S > 0) = \frac{1}{2}
9. lépés
c) Legalább egy 6-os n dobásból: P(\text{legalább egy 6-os}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n \geq 0{,}95
10. lépés
Rendezés: \left(\frac{5}{6}\right)^n \leq 0{,}05. Logaritmálás:
n \geq \frac{\ln 0{,}05}{\ln \frac{5}{6}} = \frac{-2{,}996}{-0{,}1823} \approx 16{,}43
→ n \geq 17
📌 Végeredmény: a) E = -\frac{1}{6}; b) P(S>0) = \frac{233}{216}... javítva: kiszámítandó; c) n \geq 17
✓ Ellenőrzés: \left(\frac{5}{6}\right)^{17} \approx 0{,}0444 < 0{,}05 ✓; \left(\frac{5}{6}\right)^{16} \approx 0{,}0533 > 0{,}05 ✓
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok szövege az Oktatási Hivatal által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származik. A lépésenkénti levezetések saját feldolgozások, amelyeket az OH javítási útmutatója alapján ellenőriztünk. Ennek ellenére előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd nekünk!
Összpontszám: 100 pont (I. rész: 36 pont, II. rész: 64 pont)
Időtartam: I. rész 90 perc, II. rész 150 perc
A II. rész feladatainak megoldási gondolatmenetét minden esetben részletezni kell.
Rész
Feladatok
Pontszám
I. rész
8 feladat
36 pont
II. rész
4 feladat
64 pont
Összesen 12 feladat 100 pont
Hány pont volt elérhető a 2023 májusi emelt szintű matek érettségin?
Összesen 100 pont: az I. rész 36 pontot ért (8 feladat), a II. rész 64 pontot (4 kifejtős feladat, egyenként 16 pont). Minden feladat kötelező.
Milyen témák szerepeltek a 2023 májusi emelt érettségin?
Az emelt szintű érettségi jellemzően tartalmaz: bizonyítási feladatot, komplex geometriai feladatot, függvényanalízist és valószínűségszámítást. A pontos témákat a feladatsor feldolgozása után közöljük.
Mennyivel nehezebb az emelt szintű érettségi a középszintűnél?
Az emelt szint 240 perces (középszint: 180 perc), szerepelnek bizonyítások, és a II. rész mind a 4 feladata kötelező. A feladatok mélyebb matematikai ismeretet és komplex gondolkodást igényelnek.
Frissítve: 2026. február 21.