2023 május

1🟡 Közepes

4 pont

Adott a z_1 = 2 + i és z_2 = 1 - 3i komplex szám. Számítsa ki a z_1 \cdot \overline{z_2} + \overline{z_1} \cdot z_2 értékét!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Konjugáltak: \overline{z_1} = 2 - i, \overline{z_2} = 1 + 3i

2. lépés

z_1 \cdot \overline{z_2} = (2+i)(1+3i) = 2 + 6i + i + 3i^2 = 2 + 7i - 3 = -1 + 7i

3. lépés

\overline{z_1} \cdot z_2 = (2-i)(1-3i) = 2 - 6i - i + 3i^2 = 2 - 7i - 3 = -1 - 7i

4. lépés

Összeg:

(-1 + 7i) + (-1 - 7i) = -2

→ -2

📌 Végeredmény: -2

✓ Ellenőrzés: z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1 \overline{z_2}} = 2 \cdot \operatorname{Re}(z_1 \overline{z_2}) = 2 \cdot (-1) = -2 ✓

2🟡 Közepes

4 pont

Bizonyítsa be, hogy ha p > 3 prímszám, akkor p^2 - 1 osztható 24-gyel!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Szorzattá alakítás: p^2 - 1 = (p-1)(p+1)

2. lépés

Mivel p > 3 prím, p páratlan, tehát p-1 és p+1 mindketten párosak

3. lépés

Sőt, p-1 és p+1 két egymást követő páros szám, tehát az egyik osztható 4-gyel. Így (p-1)(p+1) osztható 2 \cdot 4 = 8-cal

4. lépés

A p-1, p, p+1 három egymást követő szám közül pontosan egy osztható 3-mal. Mivel p prím és p > 3, p nem osztható 3-mal, tehát p-1 vagy p+1 osztható 3-mal

5. lépés

Összefoglalva: (p-1)(p+1) osztható 8-cal és 3-mal, és \gcd(8, 3) = 1, tehát osztható 24-gyel. ∎

📌 Végeredmény: p^2 - 1 osztható 24-gyel minden p > 3 prímre.

✓ Ellenőrzés: p=5: 24 = 24 ✓; p=7: 48 = 2 \cdot 24 ✓; p=11: 120 = 5 \cdot 24 ✓

3🟡 Közepes

5 pont

Oldja meg a \frac{x+3}{x-1} \leq 2 egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Rendezés: \frac{x+3}{x-1} - 2 \leq 0

\frac{x+3 - 2(x-1)}{x-1} \leq 0 \implies \frac{-x + 5}{x - 1} \leq 0

2. lépés

Szorzás (-1)-gyel (előjel fordul):

\frac{x - 5}{x - 1} \geq 0

3. lépés

Előjeltáblázat: zérushelyek x = 1 (nem ÉT) és x = 5

4. lépés

x < 1: (-)(-) = (+) \geq 0 ✓ 1 < x < 5: (-)/(+) = (-) < 0 (nem megoldás) x > 5: (+)/(+) = (+) \geq 0 ✓ x = 5: 0 \geq 0 ✓

→ x \in (-\infty; 1) \cup [5; +\infty)

📌 Végeredmény: x \in (-\infty; 1) \cup [5; +\infty)

✓ Ellenőrzés: x = 0: \frac{3}{-1} = -3 \leq 2 ✓; x = 3: \frac{6}{2} = 3 ot\leq 2 ✓; x = 5: \frac{8}{4} = 2 \leq 2 ✓

4🟡 Közepes

5 pont

Az 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből (ismétlés nélkül) hány olyan háromjegyű szám képezhető, amelyben a számjegyek monoton növekvő sorrendben állnak?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Ha a számjegyek monoton növekvő sorrendben állnak, akkor a három különböző számjegy kiválasztása egyértelműen meghatározza a számot

2. lépés

Tehát a kérdés: hányféleképpen választhatunk 3 elemet a \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} halmazból?

\binom{6}{3} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = 20

→ 20

📌 Végeredmény: 20

✓ Ellenőrzés: pl. 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, ... összesen 20 db ✓

5🔴 Nehéz

5 pont

Az (a_n) számtani sorozatra teljesül, hogy a_3 + a_7 = 20 és a_2 \cdot a_8 = 96. Határozza meg az első tagot és a differenciát! (Feltétel: d > 0.)

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Számtani sorozat: a_n = a_1 + (n-1)d. Jelöljük a_1 = a, differencia = d

2. lépés

a_3 + a_7 = (a + 2d) + (a + 6d) = 2a + 8d = 20, tehát a + 4d = 10, azaz a = 10 - 4d

3. lépés

a_2 \cdot a_8 = (a + d)(a + 7d) = 96. Behelyettesítés:

(10 - 3d)(10 + 3d) = 96 \implies 100 - 9d^2 = 96

4. lépés

9d^2 = 4, tehát d^2 = \frac{4}{9}, d = \frac{2}{3} (mert d > 0)

5. lépés

Az első tag és az ellenőrzés: a = 10 - \frac{8}{3} = \frac{22}{3}, a_2 \cdot a_8 = \frac{22+2}{3} \cdot \frac{22+14}{3} = \frac{24}{3} \cdot \frac{36}{3} = 8 \cdot 12 = 96 ✓

6. lépés

Végeredmény: a_1 = \frac{22}{3}, d = \frac{2}{3}

→ a_1 = \frac{22}{3}, d = \frac{2}{3}

📌 Végeredmény: a_1 = \frac{22}{3}, d = \frac{2}{3}

✓ Ellenőrzés: a_3 + a_7 = \frac{22+4}{3} + \frac{22+12}{3} = \frac{26+34}{3} = \frac{60}{3} = 20 ✓; a_2 \cdot a_8 = 8 \cdot 12 = 96 ✓

6🔴 Nehéz

5 pont

Oldja meg a \cos 2x + \cos x = 0 egyenletet a [0; 2\pi] intervallumon!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Alkalmazzuk a \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 azonosságot:

2\cos^2 x - 1 + \cos x = 0 \implies 2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0

2. lépés

Helyettesítés: t = \cos x, t \in [-1; 1]:

2t^2 + t - 1 = 0

3. lépés

Megoldóképlet:

t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}

4. lépés

t_1 = \frac{1}{2} és t_2 = -1 — mindkettő [-1; 1]-ben van

5. lépés

\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} vagy x = \frac{5\pi}{3}

6. lépés

\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi

→ x \in \left\{\frac{\pi}{3},\; \pi,\; \frac{5\pi}{3}\right\}

📌 Végeredmény: x \in \left\{\frac{\pi}{3},\; \pi,\; \frac{5\pi}{3}\right\}

✓ Ellenőrzés: x = \frac{\pi}{3}: \cos\frac{2\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0 ✓

7🔴 Nehéz

4 pont

Egy fiókban 6 fehér és 4 fekete zokni van (mind különböző). Sötétben véletlenszerűen kiveszünk 2 zoknit. Mi a valószínűsége, hogy azonos színű párt kapunk?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Összes eset: \binom{10}{2} = 45

2. lépés

Mindkettő fehér: \binom{6}{2} = 15

3. lépés

Mindkettő fekete: \binom{4}{2} = 6

4. lépés

Kedvező esetek: 15 + 6 = 21

P = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}

→ P = \frac{7}{15} \approx 0{,}467

📌 Végeredmény: \frac{7}{15}

✓ Ellenőrzés: vegyes pár: \frac{24}{45} = \frac{8}{15}; \frac{7}{15} + \frac{8}{15} = 1 ✓

8🔴 Nehéz

4 pont

Határozza meg az f(x) = \log_2(8 - 2^x) függvény értelmezési tartományát és zérushelyét!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Értelmezési tartomány: 8 - 2^x > 0, tehát 2^x < 8 = 2^3, azaz x < 3

→ D_f = (-\infty; 3)

2. lépés

Zérushely: f(x) = 0 \iff \log_2(8 - 2^x) = 0 \iff 8 - 2^x = 1 \iff 2^x = 7

→ x = \log_2 7 \approx 2{,}807

📌 Végeredmény: D_f = (-\infty; 3), zérushely: x = \log_2 7

✓ Ellenőrzés: f(\log_2 7) = \log_2(8 - 7) = \log_2 1 = 0 ✓

9🔴 Nehéz

16 pont

a) Bizonyítsa be teljes indukcióval, hogy minden n \geq 1 pozitív egész számra: \sum_{k=1}^{n} k \cdot k! = (n+1)! - 1 b) Az eredmény felhasználásával számítsa ki az 1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \ldots + 10 \cdot 10! összeget! c) Igazolja, hogy \sum_{k=1}^{n} k \cdot k! értéke minden n \geq 1 esetén páratlan szám!

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Teljes indukció Bázis (n=1): Bal oldal: 1 \cdot 1! = 1. Jobb oldal: 2! - 1 = 1. ✓

2. lépés

Indukciós feltevés: n = k-ra igaz: \sum_{i=1}^{k} i \cdot i! = (k+1)! - 1

3. lépés

Indukciós lépés (n = k+1):

\sum_{i=1}^{k+1} i \cdot i! = \left[\sum_{i=1}^{k} i \cdot i!\right] + (k+1)(k+1)!

4. lépés

Az indukciós feltevés alapján:

= (k+1)! - 1 + (k+1)(k+1)! = (k+1)![1 + (k+1)] - 1 = (k+1)!(k+2) - 1

5. lépés

Felismerés:

= (k+2)! - 1

→ Ez az állítás n = k+1-re. ∎

6. lépés

b) n = 10 esetén:

\sum_{k=1}^{10} k \cdot k! = 11! - 1 = 39916800 - 1 = 39916799

→ 39916799

7. lépés

c) Az a) rész szerint az összeg értéke (n+1)! - 1

8. lépés

Ha n \geq 1, akkor n + 1 \geq 2, ezért az (n+1)! = 1 \cdot 2 \cdots (n+1) szorzatban szerepel a 2 tényező, tehát (n+1)! páros

9. lépés

Egy páros számnál 1-gyel kisebb szám páratlan, így (n+1)! - 1 páratlan. ∎

→ Az összeg minden n \geq 1 esetén páratlan

📌 Végeredmény: a) Indukcióval bizonyítva. b) 11! - 1 = 39\,916\,799. c) Az összeg (n+1)! - 1, ami páratlan.

✓ Ellenőrzés: n=3: 1+4+18 = 23 = 4!-1 = 23 ✓; n=4: 1+4+18+96 = 119 = 5!-1 = 119 ✓

10🔴 Nehéz

16 pont

A koordináta-síkon adott a k: x^2 + y^2 = 25 kör és a P(7; 1) pont. a) Mutassa meg, hogy P a körön kívül van! b) Határozza meg a P-ből a körhöz húzott érintők érintési pontjait! c) Mekkora az érintők által bezárt szög?

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) |OP|^2 = 7^2 + 1^2 = 49 + 1 = 50. Mivel 50 > 25 = r^2, a pont a körön kívül van. ∎

2. lépés

b) Az érintési pont E(x_0; y_0) a körön van: x_0^2 + y_0^2 = 25

3. lépés

Az E-beli érintő egyenlete: x_0 x + y_0 y = 25. Mivel P(7;1) rajta van:

7x_0 + y_0 = 25 \implies y_0 = 25 - 7x_0

4. lépés

Behelyettesítés a köregyenletbe:

x_0^2 + (25 - 7x_0)^2 = 25 \implies x_0^2 + 625 - 350x_0 + 49x_0^2 = 25

5. lépés

Rendezés:

50x_0^2 - 350x_0 + 600 = 0 \implies x_0^2 - 7x_0 + 12 = 0

6. lépés

Megoldás: x_0 = \frac{7 \pm \sqrt{49-48}}{2} = \frac{7 \pm 1}{2}, tehát x_0 = 4 vagy x_0 = 3

7. lépés

x_0 = 4: y_0 = 25 - 28 = -3, és 16+9=25 ✓ → E_1(4; -3) x_0 = 3: y_0 = 25 - 21 = 4, és 9+16=25 ✓ → E_2(3; 4)

→ E_1(4; -3), E_2(3; 4)

8. lépés

c) PE_1 és PE_2 hossza egyaránt (érintőszakasz): t = \sqrt{|OP|^2 - r^2} = \sqrt{50-25} = 5

9. lépés

|E_1E_2|^2 = (4-3)^2 + (-3-4)^2 = 1 + 49 = 50, tehát |E_1E_2| = 5\sqrt{2}

10. lépés

A PE_1E_2 háromszögben: PE_1 = PE_2 = 5 és E_1E_2 = 5\sqrt{2}. Pitagorasz-tétel: 5^2 + 5^2 = 50 = (5\sqrt{2})^2, tehát \angle E_1PE_2 = 90°

→ Az érintők által bezárt szög 90°

📌 Végeredmény: a) |OP|^2 = 50 > 25 b) E_1(4; -3), E_2(3; 4) c) 90°

✓ Ellenőrzés: érintő 1: 4x - 3y = 25, P: 28 - 3 = 25 ✓; érintő 2: 3x + 4y = 25, P: 21 + 4 = 25 ✓

11🔴 Nehéz

16 pont

Adott az f(x) = \frac{\ln x}{x} függvény (x > 0). a) Határozza meg a függvény monoton növekedési és csökkenési intervallumait, valamint lokális szélsőértékét! b) Bizonyítsa be, hogy e^\pi > \pi^e! c) Számítsa ki az \int_1^{e^2} \frac{\ln x}{x}\,dx integrál értékét!

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Derivált (hányados szabály):

f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}

2. lépés

f'(x) = 0 \iff 1 - \ln x = 0 \iff x = e. Mivel x^2 > 0:

3. lépés

f'(x) > 0 ha x < e → növekvő: (0; e) f'(x) < 0 ha x > e → csökkenő: (e; +\infty)

4. lépés

Lokális maximum: f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}

→ Lok. max. f(e) = \frac{1}{e}

5. lépés

b) Mivel f szigorúan csökkenő (e; +\infty)-n és \pi > e:

f(\pi) < f(e) \implies \frac{\ln \pi}{\pi} < \frac{1}{e}

6. lépés

Átrendezés: e \ln \pi < \pi, azaz \ln \pi^e < \pi, azaz \pi^e < e^\pi. ∎

7. lépés

c) Helyettesítés: t = \ln x, dt = \frac{1}{x}dx. Ha x = 1: t = 0; ha x = e^2: t = 2

\int_1^{e^2} \frac{\ln x}{x}\,dx = \int_0^2 t\,dt = \left[\frac{t^2}{2}\right]_0^2 = 2

→ \int_1^{e^2} \frac{\ln x}{x}\,dx = 2

📌 Végeredmény: a) Növekvő: (0; e), csökkenő: (e; +\infty), lok. max.: f(e) = \frac{1}{e}; b) Bizonyítva; c) 2

✓ Ellenőrzés: e^\pi \approx 23{,}14; \pi^e \approx 22{,}46, tehát e^\pi > \pi^e ✓

12🔴 Nehéz

16 pont

Egy játékos egy szabályos dobókockával dob. Ha 6-ost dob, nyer 5 pontot; ha 4-est vagy 5-öst dob, nyer 2 pontot; egyébként veszít 3 pontot. a) Mekkora egy dobás várható pontértéke? b) Három egymás utáni dobás összpontszámát jelöli S. Határozza meg P(S > 0) valószínűségét! c) Hány dobás szükséges ahhoz, hogy legalább 95\% valószínűséggel kapjunk legalább egy 6-ost?

Megoldás megtekintése

1. lépés

Eloszlás: P(+5) = \frac{1}{6} (6-os), P(+2) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} (4-es vagy 5-ös), P(-3) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} (1, 2, 3)

2. lépés

a) Várható érték:

E = 5 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{3} + (-3) \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{6} + \frac{2}{3} - \frac{3}{2} = \frac{5}{6} + \frac{4}{6} - \frac{9}{6} = \frac{0}{6} = 0

→ E = 0

3. lépés

b) Három dobásnál S > 0. Jelöljük a kimeneteleket: A = +5, B = +2, C = -3. A lehetséges kombinációk és összpontszámok:

4. lépés

AAA: 15, AAB: 12, AAC: 7, ABB: 9, ABC: 4, ACC: -1, BBB: 6, BBC: 1, BCC: -4, CCC: -9

5. lépés

S > 0 esetek és multiplicitásaik (a sorrend is számít, multinomiális): AAA: 1; AAB: 3; AAC: 3; ABB: 3; ABC: 6; BBB: 1; BBC: 3

6. lépés

Valószínűségek (p_A = \frac{1}{6}, p_B = \frac{1}{3}, p_C = \frac{1}{2}):

P(S>0) = 1 \cdot \frac{1}{216} + 3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{9} + 6 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{27} + 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{2}

7. lépés

Számolás:

= \frac{1}{216} + \frac{3}{108} + \frac{3}{72} + \frac{3}{54} + \frac{6}{36} + \frac{1}{27} + \frac{3}{18}

8. lépés

Közös nevező 216:

= \frac{1 + 6 + 9 + 12 + 36 + 8 + 36}{216} = \frac{108}{216} = \frac{1}{2}

→ P(S > 0) = \frac{1}{2}

9. lépés

c) Legalább egy 6-os n dobásból: P(\text{legalább egy 6-os}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n \geq 0{,}95

10. lépés

Rendezés: \left(\frac{5}{6}\right)^n \leq 0{,}05. Logaritmálás:

n \geq \frac{\ln 0{,}05}{\ln \frac{5}{6}} = \frac{-2{,}996}{-0{,}1823} \approx 16{,}43

→ n \geq 17

📌 Végeredmény: a) E = 0; b) P(S>0) = \frac{1}{2}; c) n \geq 17

✓ Ellenőrzés: \left(\frac{5}{6}\right)^{17} \approx 0{,}0451 < 0{,}05 ✓; \left(\frac{5}{6}\right)^{16} \approx 0{,}0541 > 0{,}05 ✓

Info
⚠️ Forrás és pontosság: Ez a feladatsor nem az Oktatási Hivatal eredeti feladatsora, hanem az OH emelt szintű feladatsorainak mintájára készült gyakorló feladatsor: a szerkezetet és a témaköröket követi, de a feladatok saját szerkesztésűek. A levezetéseket saját számítással ellenőriztük, ennek ellenére előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd nekünk! Az eredeti feladatsorokat és javítási útmutatókat az Oktatási Hivatal oldalán találod.

2023. május — Emelt szintű matematika gyakorló feladatsor

Összpontszám: 100 pont (I. rész: 36 pont, II. rész: 64 pont) — a gyakorló feladatsor egyszerűsített pontozása; a valódi emelt szintű írásbeli 115 pontos

Időtartam: a valódi emelt szintű írásbeli vizsga 240 perces

I. rész — Feladatok (36 pont)

II. rész — Kifejtős feladatok (64 pont)

A II. rész feladatainak megoldási gondolatmenetét minden esetben részletezni kell.

Összegzés

Rész	Feladatok	Pontszám
I. rész	8 feladat	36 pont
II. rész	4 feladat	64 pont
Összesen	12 feladat	100 pont

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Hány pontos a 2023 májusi emelt szintű gyakorló feladatsor, és mennyi a valódi emelt szintű írásbeli?

A gyakorló feladatsor 100 pontos: az I. rész 36 pont (8 feladat), a II. rész 64 pont (4 kifejtős feladat, egyenként 16 pont). A valódi emelt szintű írásbeli 240 perces és 115 pontos: az I. rész 51 pont (4 feladat), a II. rész 5 darab 16 pontos feladatból áll, amelyek közül 4-et kell megoldani (64 pont).

Milyen témák szerepeltek a 2023 májusi emelt érettségin?

Az emelt szintű érettségi jellemzően tartalmaz: bizonyítási feladatot, komplex geometriai feladatot, függvényanalízist és valószínűségszámítást. Ez a gyakorló feladatsor is ezekből a témakörökből válogat.

Mennyivel nehezebb az emelt szintű érettségi a középszintűnél?

Az emelt szint 240 perces (középszint: 180 perc), szerepelnek bizonyítások, és a II. rész 5 feladatából 4-et kell megoldani. A feladatok mélyebb matematikai ismeretet és komplex gondolkodást igényelnek.

Források

Az eredeti feladatsorok és javítási útmutatók: Oktatási Hivatal – Érettségi feladatsorok
Ez a feladatsor saját szerkesztésű gyakorló feladatsor, nem az OH eredeti feladatsora.
A levezetéseket saját számítással ellenőriztük.

Frissítve:2026. február 21.

📝

Érettségi Emelt Szint — Teljes csomag

Hat emelt szintű témacsomag (70 feladat), egy emelt mintaérettségi (9 kitűzött feladat, 115 pont, 240 perc) és az emelt képletgyűjtemény. Összesen 8 PDF, 79 feladat.

✓ 30 napos garancia✓ Azonnali letöltés✓ Nyomtatható A4 PDF

ettől

6990 Ft

Megnézem →

Előző oldal2023 október Következő oldalTípusfeladatok

2023 május

2023. május — Emelt szintű matematika gyakorló feladatsor#

I. rész — Feladatok (36 pont)#

II. rész — Kifejtős feladatok (64 pont)#

Összegzés#

Kapcsolódó tartalmak#

Gyakran ismételt kérdések#

Források#

Érettségi Emelt Szint — Teljes csomag

2023. május — Emelt szintű matematika gyakorló feladatsor

I. rész — Feladatok (36 pont)

II. rész — Kifejtős feladatok (64 pont)

Összegzés

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Források