Komplex geometria érettségi feladatok megoldással

Komplex geometria

1🟡 Közepes

6 pont

Adott az A(2; 5) és B(8; 1) pont. Határozza meg az AB szakasz felezőmerőlegesének egyenletét, és számítsa ki az AB szakasz hosszát!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Szakasz hossza:

|AB| = \sqrt{(8-2)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}

2. lépés

Felezőpont: F = \left(\frac{2+8}{2}; \frac{5+1}{2}\right) = (5; 3)

3. lépés

AB irányvektora: \vec{AB} = (6; -4), meredeksége: m_{AB} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}

4. lépés

A felezőmerőleges merőleges AB-re: m_{\perp} = \frac{3}{2}

5. lépés

Az F(5; 3) ponton átmenő egyenes:

y - 3 = \frac{3}{2}(x - 5) \;\Rightarrow\; 2y - 6 = 3x - 15

→ 3x - 2y - 9 = 0

📌 Végeredmény: |AB| = 2\sqrt{13}; felezőmerőleges: 3x - 2y - 9 = 0

✓ Ellenőrzés: A távolsága az egyenestől: \frac{|6-10-9|}{\sqrt{13}} = \frac{13}{\sqrt{13}} = \sqrt{13}; B távolsága: \frac{|24-2-9|}{\sqrt{13}} = \frac{13}{\sqrt{13}} = \sqrt{13} ✓

2🔴 Nehéz

10 pont

Egy kör középpontja K(3; -1) és érinti az y = 2x + 3 egyenest. Határozza meg a kör egyenletét, és adja meg az érintési pont koordinátáit!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A kör sugara = K pont távolsága az érintőtől. Az egyenes normálalakja: 2x - y + 3 = 0

r = \frac{|2 \cdot 3 - (-1) + 3|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|6 + 1 + 3|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}

2. lépés

A kör egyenlete (r^2 = 20):

→ (x-3)^2 + (y+1)^2 = 20

3. lépés

Az érintési pont: a K-ból az egyenesre bocsátott merőleges talppontja. A merőleges iránya az egyenes normálvektora: (2; -1).

\text{Paraméteres alak: } (3+2t;\; -1-t)

4. lépés

Behelyettesítés a 2x - y + 3 = 0 egyenletbe:

2(3+2t) - (-1-t) + 3 = 10 + 5t = 0 \;\Rightarrow\; t = -2

5. lépés

Érintési pont: (3+2 \cdot(-2);\; -1-(-2)) = (-1;\; 1)

→ E(-1; 1)

📌 Végeredmény: (x-3)^2 + (y+1)^2 = 20; érintési pont: E(-1; 1)

✓ Ellenőrzés: |KE|^2 = (3-(-1))^2+(-1-1)^2 = 16+4 = 20 = r^2 ✓; E az egyenesen: 2(-1)+3 = 1 ✓

3🟡 Közepes

6 pont

Adott \vec{a} = (3; 4) és \vec{b} = (2; -1). Számítsa ki \vec{a} és \vec{b} által bezárt szöget, valamint a \vec{a} vektor \vec{b}-re eső vetületének hosszát!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Skaláris szorzat:

\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) = 6 - 4 = 2

2. lépés

Vektorok hossza:

|\vec{a}| = \sqrt{9+16} = 5, \quad |\vec{b}| = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}

3. lépés

A bezárt szög:

\cos \alpha = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{2}{5\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{25} \approx 0{,}1789

→ \alpha \approx 79{,}7°

4. lépés

Az \vec{a} vektor \vec{b}-re eső vetületének hossza:

\operatorname{vet}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \approx 0{,}894

→ \frac{2\sqrt{5}}{5}

📌 Végeredmény: \cos \alpha = \frac{2}{5\sqrt{5}}, \alpha \approx 79{,}7°; vetület: \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 0{,}894

✓ Ellenőrzés: \cos 79{,}7° \approx 0{,}179 ✓; a vetület pozitív, tehát hegyesszög-összetevő ✓

4🔴 Nehéz

10 pont

Adott a háromszög csúcsai: A(1; 2), B(4; 6), C(7; 2). Igazolja vektorok segítségével, hogy a háromszög egyenlő szárú, és számítsa ki a B-nél lévő szöget!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Oldalvektorok:

\vec{AB} = (3; 4), \quad \vec{AC} = (6; 0), \quad \vec{BC} = (3; -4)

2. lépés

Oldalhosszak:

|AB| = \sqrt{9+16} = 5, \quad |BC| = \sqrt{9+16} = 5, \quad |AC| = \sqrt{36+0} = 6

3. lépés

Mivel |AB| = |BC| = 5, a háromszög egyenlő szárú (AC az alap).

4. lépés

A B-nél lévő szög: \vec{BA} és \vec{BC} által bezárt szög.

\vec{BA} = (-3; -4), \quad \vec{BC} = (3; -4)

5. lépés

Skaláris szorzat:

\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-3)(3) + (-4)(-4) = -9 + 16 = 7

6. lépés

A szög:

\cos \beta = \frac{7}{5 \cdot 5} = \frac{7}{25} = 0{,}28

→ \beta = \arccos(0{,}28) \approx 73{,}74°

📌 Végeredmény: |AB| = |BC| = 5, egyenlő szárú. A B-nél lévő szög: \beta \approx 73{,}7°.

✓ Ellenőrzés: koszinusz-tétel: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos\beta = 25+25-50 \cdot 0{,}28 = 36 = 6^2 ✓

5🔴 Nehéz

12 pont

Egy szabályos négyzet alapú egyenes gúla alapélének hossza 6 cm, magassága 8 cm. Számítsa ki a gúla térfogatát, felszínét és az oldalél hosszát!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Alapterület: T_a = 6^2 = 36 cm^2

2. lépés

Térfogat:

V = \frac{1}{3} \cdot T_a \cdot m = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 96 \;\text{cm}^3

→ V = 96 cm^3

3. lépés

Az alap átlójának fele (a gúla csúcsból az alap közepéig vízszintesen):

d = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}

4. lépés

Oldalél (e): a gúla csúcsából az alap sarokpontjába:

e = \sqrt{m^2 + d^2} = \sqrt{64 + 18} = \sqrt{82}

→ e = \sqrt{82} \approx 9{,}06 cm

5. lépés

Oldalfelszín: 4 db egybevágó egyenlő szárú háromszög. Az oldalfél apotéma (a_f, az oldalháromszög magassága):

a_f = \sqrt{m^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73}

6. lépés

Egy oldalfél területe: \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{73} = 3\sqrt{73}

7. lépés

Teljes felszín:

A = T_a + 4 \cdot 3\sqrt{73} = 36 + 12\sqrt{73}

→ A = (36 + 12\sqrt{73}) \approx 138{,}5 cm^2

📌 Végeredmény: V = 96 cm^3; oldalél: \sqrt{82} cm; felszín: (36 + 12\sqrt{73}) cm^2

✓ Ellenőrzés: \sqrt{73} \approx 8{,}54; 12 \cdot 8{,}54 \approx 102{,}5; felszín \approx 138{,}5 cm^2 ✓

6🔴 Nehéz

16 pont

Egy kúp magassága 12 cm, alapkörének sugara 5 cm. Számítsa ki: a) a kúp térfogatát, b) az alkotó hosszát és a palást területét, c) a kúpba írható legnagyobb gömb sugarát!

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Térfogat:

V = \frac{1}{3} \pi r^2 m = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi \approx 314{,}16 \;\text{cm}^3

→ V = 100\pi cm^3

2. lépés

b) Alkotó (Pitagorasz-tétel):

l = \sqrt{r^2 + m^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \;\text{cm}

→ l = 13 cm

3. lépés

Palást területe:

A_{\text{palást}} = \pi r l = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi \approx 204{,}2 \;\text{cm}^2

→ A_{\text{palást}} = 65\pi cm^2

4. lépés

c) A beírt gömb sugara. Az axiális háromszög metszet egy egyenlő szárú háromszög: alap = 2r = 10, szárak = l = 13, magasság = m = 12.

5. lépés

A beírt gömb sugara = a háromszög beírt körének sugara:

\rho = \frac{T}{s}

6. lépés

A háromszög kerülete: K = 10 + 13 + 13 = 36, félkerülete: s = 18

7. lépés

A háromszög területe: T = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60

8. lépés

Beírt kör sugara:

\rho = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \approx 3{,}33 \;\text{cm}

→ \rho = \frac{10}{3} cm

📌 Végeredmény: a) V = 100\pi cm^3; b) alkotó: 13 cm, palást: 65\pi cm^2; c) r = \frac{10}{3} cm

✓ Ellenőrzés: \rho = \frac{10}{3} < 5 (kisebb, mint az alapsugár) ✓; \frac{10}{3} < 12 (kisebb, mint a magasság) ✓; \frac{T}{s} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} ✓

Info
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok az Oktatási Hivatal által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak. A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatói alapján ellenőrizve.

Elméleti összefoglaló

Vektoros módszerek

Skaláris szorzat: $a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ (síkban) vagy $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$ (térben)

Merőlegesség: $a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0$

Vektoriális szorzat (térben): $∣ a \times b ∣$ megadja az $a$ és $b$ által kifeszített paralelogramma területét.

Kör és egyenes kapcsolata

Szelő: két közös pont → $d < r$
Érintő: egy közös pont → $d = r$
Külső egyenes: nincs közös pont → $d > r$

ahol $d$ a kör középpontjának az egyenestől mért távolsága, $r$ a sugár.

Térgeometriai képletek

Test	Térfogat	Felszín
Gúla	$V = \frac{1}{3} T_{a} \cdot m$	Alapterület + palástháromszögek
Kúp	$V = \frac{1}{3} r^{2} π \cdot m$	$r^{2} π + r \cdot l \cdot π$
Gömb	$V = \frac{4}{3} r^{3} π$	$A = 4 r^{2} π$

Tip
Emelt szintű geometria feladatoknál mindig készíts ábrát, és jelöld rajta a megadott adatokat. A helyes ábra fél megoldás!

Tipikus buktatók

1. Térbeli és síkbeli szög összekeverése A két sík által bezárt szög NEM ugyanaz, mint a két él által bezárt szög. Mindig tisztázd, milyen szöget keres a feladat.

2. Érintő egyenlet felírásakor a merőlegességi feltétel A kör érintője a sugárra merőleges az érintési pontban. Ez a feltétel adja meg az érintő iránytényezőjét.

3. Térbeli koordináta-rendszer felállítása Válassz okos koordináta-rendszert! Ha a test szimmetrikus, tedd a középpontot az origóba. Ez jelentősen egyszerűsíti a számolást.

Gyakran ismételt kérdések

Milyen geometria feladatok jellemzőek az emelt érettségin?

Emelt szinten jellemzőek a koordináta-geometriai bizonyítások (pl. háromszög magasságpontjának létezése), vektoros megoldások, térgeometriai feladatok (gúla, henger, kúp), és a kör-egyenes kapcsolat vizsgálata (érintő, húr, szelő).

Mikor érdemes vektoros módszert használni?

Vektoros módszer előnyös, ha párhuzamosságot, merőlegességet kell bizonyítani (skaláris szorzat = 0), ha osztópontot keresünk, vagy ha síkbeli/térbeli alakzatok tulajdonságait vizsgáljuk. A vektor-módszer gyakran egyszerűbb, mint a koordináta-geometriai.

Hogyan oldjunk meg térgeometriai feladatot?

Térgeometriai feladatoknál: 1. Készíts vázlatot. 2. Azonosítsd a síkmetszeteket (a térbeli feladat síkbeli részfeladatokra bontása). 3. Alkalmazd a Pitagorasz-tételt, szögfüggvényeket. 4. Számold ki a térfogatot/felszínt a megfelelő képlettel. Emelt szinten gyakran kell bizonyítani is.

Források

Feladatsorok és javítási útmutatók: Oktatási Hivatal – Érettségi feladatsorok archívum
A feladatok az OH által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak.
A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatói alapján ellenőrizve.

Frissítve:2026. február 21.

Komplex geometria

Elméleti összefoglaló

Vektoros módszerek

Kör és egyenes kapcsolata

Térgeometriai képletek

Feladatok

Tipikus buktatók

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Források