2023 május

1🟢 Könnyű

2 pont

Egy akció során az eredetileg 21 000 Ft-os cipő árát 20%-kal csökkentették. Mennyi a cipő csökkentett ára?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Az eredeti ár: 21\,000 Ft

21\,000 \cdot 0{,}8

→ 16\,800 \text{ Ft}

📌 Végeredmény: 16\,800 Ft

2🟢 Könnyű

2 pont

Hány éle van egy hétpontú teljes gráfnak?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Teljes gráfban minden csúcs össze van kötve minden másikkal

\binom{7}{2} = \frac{7 \cdot 6}{2}

→ 21

📌 Végeredmény: 21

3🟢 Könnyű

3 pont

Az alaphalmaz legyen az egyjegyű pozitív egész számok halmaza. Az alaphalmaz részhalmazai közül az A halmaz legyen a prímszámok halmaza, a B halmaz pedig legyen a 3-mal osztható számok halmaza. Elemei felsorolásával adja meg a B és az A \setminus B halmazt!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Alaphalmaz: \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}

2. lépés

A (prímek): A = \{2; 3; 5; 7\}

3. lépés

B (3-mal oszthatók): B = \{3; 6; 9\}

→ B = \{3; 6; 9\}

4. lépés

A \setminus B: az A-nak azon elemei, amelyek nincsenek B-ben → 3-at kihagyjuk

→ A \setminus B = \{2; 5; 7\}

📌 Végeredmény: B = \{3; 6; 9\}, A \setminus B = \{2; 5; 7\}

4🟢 Könnyű

2 pont

Ábrázolja a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett f(x) = \sqrt{x} - 1 függvényt!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Kiindulás: a \sqrt{x} függvény grafikonja (gyökfüggvény x \geq 0-ra)

2. lépés

Az f(x) = \sqrt{x} - 1 grafikon: a \sqrt{x} grafikont 1 egységgel lefelé toljuk az y tengely mentén

3. lépés

Jellemző pontok: f(0) = -1, f(1) = 0, f(4) = 1, f(9) = 2

📌 Végeredmény: A \sqrt{x} grafikon 1-gyel lefelé tolva

5🟡 Közepes

3 pont

Adja meg a 420 és az 504 legnagyobb közös osztóját! Megoldását részletezze!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Prímfelbontás: 420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7

420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7

2. lépés

Prímfelbontás: 504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7

504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7

3. lépés

LNKO: minden közös prímtényező a kisebb hatvánnyal

\text{LNKO} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7

→ 84

📌 Végeredmény: \text{LNKO}(420, 504) = 84

✓ Ellenőrzés: 420 : 84 = 5 ✓, 504 : 84 = 6 ✓

6🟢 Könnyű

2 pont

Adott az A(2; 4) és a B(3; -1) pont a koordináta-rendszerben. Írja fel az \overrightarrow{AB} vektort a koordinátáival!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A vektor koordinátáit a végpont koordinátáiból vonjuk ki a kezdőpont koordinátáit

\overrightarrow{AB} = (3 - 2;\; -1 - 4)

→ (1; -5)

📌 Végeredmény: \overrightarrow{AB} = (1; -5)

7🟡 Közepes

4 pont

Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 9. Számítsa ki a sorozat első hat tagjának az összegét! Megoldását részletezze!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Hányados meghatározása

q = \frac{a_3}{a_2} = \frac{9}{6}

→ q = 1{,}5

2. lépés

Első tag meghatározása

a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{6}{1{,}5}

→ a_1 = 4

3. lépés

Az első hat tag összege a mértani sorozat összegképletével

S_6 = a_1 \cdot \frac{q^6 - 1}{q - 1} = 4 \cdot \frac{1{,}5^6 - 1}{1{,}5 - 1}

→ S_6 = 83{,}125

📌 Végeredmény: S_6 = 83{,}125

✓ Ellenőrzés: 4 + 6 + 9 + 13{,}5 + 20{,}25 + 30{,}375 = 83{,}125 ✓

8🟢 Könnyű

2 pont

Hány olyan háromjegyű pozitív egész szám van, amelynek számjegyei különböző páratlan számok?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Páratlan számjegyek: 1, 3, 5, 7, 9 (5 darab)

2. lépés

Három különböző számjegyet kell kiválasztani és sorba rendezni (ismétlés nélküli variáció)

5 \cdot 4 \cdot 3

→ 60

📌 Végeredmény: 60

9🟢 Könnyű

2 pont

Tekintsük a következő állítást: Minden út Rómába vezet. Az alábbi állítások közül válassza ki azokat, amelyek tagadásai ennek az állításnak! A: Nincs olyan út, ami Rómába vezet. B: Van olyan út, amelyik nem Rómába vezet. C: Semelyik út nem vezet Rómába. D: Nem minden út vezet Rómába.

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Az eredeti állítás: Minden út Rómába vezet -- ez egy univerzális állítás (\forall)

2. lépés

Az univerzális állítás tagadása egy egzisztenciális állítás: Létezik (legalább egy) út, amelyik nem Rómába vezet

3. lépés

B (Van olyan út, amelyik nem Rómába vezet) -- ez a pontos tagadás ✓

4. lépés

D (Nem minden út vezet Rómába) -- ez szintén a tagadás ✓

5. lépés

A és C túl erős állítások (azt mondják, hogy semelyik út sem vezet oda) -- ezek nem tagadások ✗

📌 Végeredmény: B és D

10🟢 Könnyű

2 pont

Adott a 2x + 5y = 19 egyenletű f egyenes. Adja meg az f egyenes és az y = 5 egyenletű egyenes metszéspontjának koordinátáit!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Behelyettesítjük y = 5-öt az f egyenes egyenletébe

2x + 5 \cdot 5 = 19

2. lépés

Megoldjuk x-re

2x = 19 - 25 = -6

→ x = -3

3. lépés

A metszéspont: (-3; 5)

📌 Végeredmény: (-3; 5)

11🟡 Közepes

2 pont

Számítsa ki az 1989 \text{ cm}^3 térfogatú gömb sugarának hosszát!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A gömb térfogatának képlete

V = \frac{4}{3} \pi r^3

2. lépés

Behelyettesítés és rendezés

r^3 = \frac{3 \cdot 1989}{4\pi}

→ r \approx 7{,}8 \text{ cm}

📌 Végeredmény: r \approx 7{,}8 cm

12🟡 Közepes

4 pont

Egy kék és egy piros szabályos dobókockával dobva mennyi a valószínűsége annak, hogy a kék kockával nagyobb számot dobunk, mint a pirossal? Válaszát indokolja!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Két kockával 6 \times 6 = 36-féle számpárt dobhatunk (összes eset)

2. lépés

Szimmetria: annak valószínűsége, hogy a kék nagyobb, ugyanannyi, mint hogy a piros nagyobb. Egyforma számot 6 esetben dobunk.

3. lépés

Kedvező esetek száma

\frac{36 - 6}{2} = 15

4. lépés

Valószínűség

P = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}

→ \approx 0{,}417

📌 Végeredmény: P = \dfrac{15}{36} \approx 0{,}417

13🟡 Közepes

11 pont

Adott a valós számok halmazán értelmezett f(x) = (x + 3)^2 - 2{,}25 függvény. a) Mit rendel az f függvény az x = 1-hez? b) Adja meg az f függvény zérushelyeit! c) Az alábbi mondatban válassza ki a megfelelő szót és egészítse ki: Az f függvénynek az x = \ldots helyen maximuma/minimuma van, melynek értéke \ldots d) Adja meg az alábbi állítás logikai értékét: Az f függvény értékkészlete a valós számok halmaza. Válaszát indokolja!

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Behelyettesítés: f(1) = (1+3)^2 - 2{,}25

f(1) = 16 - 2{,}25

→ 13{,}75

2. lépés

b) Zérushelyek: (x+3)^2 - 2{,}25 = 0

(x+3)^2 = 2{,}25

3. lépés

|x+3| = 1{,}5, tehát x + 3 = 1{,}5 vagy x + 3 = -1{,}5

→ x_1 = -1{,}5, \quad x_2 = -4{,}5

4. lépés

c) Az f(x) = (x+3)^2 - 2{,}25 egy felfelé nyíló parabola (mert a = 1 > 0), csúcsa: (-3; -2{,}25)

→ x = -3 \text{ helyen minimuma van, értéke } -2{,}25

5. lépés

d) Hamis. A függvény minimuma -2{,}25, ezért az értékkészlete [-2{,}25; +\infty), ami nem a teljes valós számhalmaz.

📌 Végeredmény: a) 13{,}75 · b) x_1 = -1{,}5, x_2 = -4{,}5 · c) x = -3, min = -2{,}25 · d) hamis

14🔴 Nehéz

13 pont

Az ABCD téglalap AB oldalának hossza 12 cm, a BC oldal hossza 6 cm. A téglalapba az AECF rombuszt írjuk (E az AB oldal, F a CD oldal egy pontja). a) Igazolja, hogy a rombusz oldalainak hossza 7,5 cm! b) Számítsa ki a rombusz belső szögeinek nagyságát! c) Hány százaléka a rombusz területe a téglalap területének?

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Jelöljük AE = EC = x, akkor EB = 12 - x

2. lépés

Az EBC derékszögű háromszögben Pitagorasz-tétel:

(12 - x)^2 + 6^2 = x^2

3. lépés

Kifejtés: 144 - 24x + x^2 + 36 = x^2

180 = 24x

→ x = 7{,}5 \text{ cm}

4. lépés

b) A rombusz A és C csúcsnál lévő \alpha szög:

\sin\alpha = \frac{6}{7{,}5} = 0{,}8

→ \alpha \approx 53{,}1°

5. lépés

Az E és F csúcsnál lévő szög:

\beta = 180° - 53{,}1°

→ \beta \approx 126{,}9°

6. lépés

c) Téglalap területe: 12 \cdot 6 = 72 \text{ cm}^2

7. lépés

Rombusz területe: AE \cdot BC = 7{,}5 \cdot 6 = 45 \text{ cm}^2 (a téglalap magasságával egyenlő magasságú)

\frac{45}{72} = 0{,}625

→ 62{,}5\%

📌 Végeredmény: a) AE = 7{,}5 cm igazolva · b) \alpha \approx 53{,}1°, \beta \approx 126{,}9° · c) 62{,}5\%

✓ Ellenőrzés: 4{,}5^2 + 6^2 = 20{,}25 + 36 = 56{,}25 = 7{,}5^2 ✓

15🔴 Nehéz

12 pont

Az ENSZ felmérése szerint a Föld népessége 8 milliárd fő volt 2022 végén. A népességnövekedés mértéke jelenleg körülbelül évi 1%. a) Hány fő élne 2100 végén a Földön, ha addig folyamatosan évi 1% lenne a népességnövekedés? b) Melyik évben érné el a 12 milliárd főt a Föld népessége évi 1%-os növekedés mellett? c) 2022 végétől kezdve évente hány százalékkal kellene növekednie a népességnek ahhoz, hogy 2100 végére 10,35 milliárd legyen?

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) 2022-től 2100-ig 78 év telik el

8 \cdot 1{,}01^{78}

→ \approx 17{,}38 \text{ milliárd fő}

2. lépés

b) Felírjuk az egyenletet:

8 \cdot 1{,}01^n = 12

3. lépés

Rendezés:

1{,}01^n = 1{,}5

4. lépés

Logaritmussal:

n = \frac{\lg 1{,}5}{\lg 1{,}01} \approx 40{,}75

5. lépés

Tehát 2022 + 41 = 2063-ban érné el a 12 milliárd főt.

→ 2063

6. lépés

c) Jelöljük q-val az éves szorzót:

8 \cdot q^{78} = 10{,}35

7. lépés

Rendezés:

q = \sqrt[78]{\frac{10{,}35}{8}} \approx 1{,}0033

8. lépés

Évente kb. 0{,}33\%-kal kellene növekednie a népességnek.

→ \approx 0{,}33\%

📌 Végeredmény: a) \approx 17{,}38 milliárd · b) 2063 · c) \approx 0{,}33\%

16🔴 Nehéz

17 pont

Egy 24 fős érettségiző csoportban a vizsgázók 75%-a választotta a 16-os, 62,5%-a a 17-es feladatot (mindenki pontosan kettőt választ a 16–17–18-ból). a) A csoportban a vizsgázók hány százaléka választotta a 18-as feladatot? b) Az osztályzatok eloszlása: 1-es: 0, 2-es: 2, 3-as: 9, 4-es: 6, 5-ös: 7. Számítsa ki az átlagot! c) Adja meg a móduszt, mediánt és terjedelmet! d) Ábrázolja kördiagramon az osztályzatok eloszlását! e) Az elnök 8 dolgozatot választ ki úgy, hogy 2-esből, 3-asból, 4-esből és 5-ösből is pontosan 2-2 legyen. Hányféleképpen teheti?

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Mindenki 2 feladatot választ, tehát a százalékok összege 200\%

75 + 62{,}5 + x = 200

→ x = 62{,}5\%

2. lépés

b) Átlag kiszámítása

\frac{2 \cdot 2 + 9 \cdot 3 + 6 \cdot 4 + 7 \cdot 5}{24} = \frac{90}{24}

→ 3{,}75

3. lépés

c) Módusz: a legtöbbször előforduló érték → 3 (9-szer fordul elő)

4. lépés

Medián: 24 adat → a 12. és 13. adat átlaga. Sorrendben: 2 db kettes, 9 db hármas (összesen 11), majd 6 db négyes → a 12. és 13. adat is 4

→ \text{medián} = 4

5. lépés

Terjedelem: 5 - 2 = 3

6. lépés

d) Kördiagram: egy diákhoz \frac{360°}{24} = 15° tartozik. Szögek: 2-es: 30°, 3-as: 135°, 4-es: 90°, 5-ös: 105°

7. lépés

e) A 2 db kettest fix ki kell választani (csak 2 van). A többinél:

\binom{9}{2} \cdot \binom{6}{2} \cdot \binom{7}{2} = 36 \cdot 15 \cdot 21

→ 11\,340

📌 Végeredmény: a) 62{,}5\% · b) 3{,}75 · c) módusz: 3, medián: 4, terjedelem: 3 · e) 11\,340

17🔴 Nehéz

17 pont

Az ABCD trapéz AB alapja 24 cm, a többi oldala 12 cm hosszú. a) Igazolja, hogy a trapéz A csúcsánál lévő belső szög 60°-os! b) Számítsa ki a BD átló hosszát! c) A trapézt megforgatjuk a szimmetriatengelye körül. Számítsa ki a keletkező forgástest térfogatát! d) Egy trapéz alakú területre szőlőt ültettek: az első sorba 120, az utolsóba 240 tőkét. A második sortól kezdve minden sorba ugyanannyival több tőke került. Összesen 7380 tőkét ültettek. Az első 20 sorba olaszrizlinget ültettek. Hány olaszrizlingtőke van?

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) A D-ből húzott magasság talppontja T. Az AB alapot egy \frac{24-12}{2} = 6 cm és 18 cm hosszú részre osztja.

2. lépés

Az ATD derékszögű háromszögben:

\cos\alpha = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

→ \alpha = 60°

3. lépés

b) A DTB derékszögű háromszögben a magasság:

DT = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}

4. lépés

Pitagorasz-tétel a DTB háromszögben (TB = 18 cm):

BD = \sqrt{18^2 + 108} = \sqrt{432}

→ BD \approx 20{,}8 \text{ cm}

5. lépés

c) A forgástest csonkakúp. Alapkör sugara: R = 12 cm, fedőkör sugara: r = 6 cm.

6. lépés

Magasság: m = 6\sqrt{3} \approx 10{,}39 cm

7. lépés

Csonkakúp térfogata:

V = \frac{m \cdot \pi}{3}(R^2 + Rr + r^2) = \frac{6\sqrt{3} \cdot \pi}{3}(144 + 72 + 36)

→ V \approx 2742 \text{ cm}^3

8. lépés

d) Számtani sorozat: a_1 = 120, a_n = 240.

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{120 + 240}{2} \cdot n = 7380

9. lépés

Ebből n = 41 sor (és n \geq 20 ✓). A differencia:

d = \frac{240 - 120}{41 - 1} = \frac{120}{40}

→ d = 3

10. lépés

Az első 20 sorban lévő tőkék (a_{20} = 120 + 19 \cdot 3 = 177):

S_{20} = \frac{120 + 177}{2} \cdot 20

→ 2970 \text{ tőke}

📌 Végeredmény: a) 60° igazolva · b) BD \approx 20{,}8 cm · c) V \approx 2742 \text{ cm}^3 · d) 2970 tőke

18🔴 Nehéz

17 pont

Egy szántóföld öt tulajdonos között van felosztva (A, B, C, D, E). a) Rajzolja fel a szomszédsági gráfot (két csúcs éllel van összekötve, ha a területeknek van közös határszakasza)! b) Tudjuk, hogy 1 hektár kb. 2780 négyszögöl, és 1 négyszögöl egy 1 öl oldalú négyzet területe. Számítsa ki, hogy egy öl hány méter! c) 14 családból 12-t sorsolnak ki telekre. Mi a valószínűsége, hogy a Kovács és a Szabó család is nyer? d) Két szomszédos téglalap telket összevonnak. Rövidebb oldalukkal összekapcsolva 228 m, hosszabb oldalukkal 156 m kerítés kell. Mekkora egy telek területe?

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) A szomszédsági gráfot az ábra alapján kell felrajzolni -- a szomszédos területek csúcsai kapnak élt.

2. lépés

b) Egy négyszögöl:

\frac{10\,000}{2780} \approx 3{,}597 \text{ m}^2

3. lépés

Egy öl (a négyszögöl négyzetgyöke):

\sqrt{3{,}597}

→ \approx 1{,}9 \text{ m}

4. lépés

c) Összes eset: \binom{14}{12} = 91. Ha mindkét család nyer, a maradék 10-et a másik 12-ből választjuk:

\binom{12}{10} = 66

5. lépés

Valószínűség:

P = \frac{66}{91}

→ \approx 0{,}725

6. lépés

d) Jelöljük a telek rövidebb oldalát a-val, a hosszabbat b-vel. Rövidebb oldalukkal összekapcsolva:

2a + 4b = 228

7. lépés

Hosszabb oldalukkal összekapcsolva:

4a + 2b = 156

8. lépés

Az első egyenletből: a = 114 - 2b. Behelyettesítés a másodikba:

4(114 - 2b) + 2b = 156

9. lépés

Megoldás: 456 - 8b + 2b = 156, tehát 6b = 300

→ b = 50 \text{ m}

10. lépés

Visszahelyettesítés: a = 114 - 100 = 14 m

T = 14 \cdot 50

→ 700 \text{ m}^2

📌 Végeredmény: a) gráf · b) \approx 1{,}9 m · c) P \approx 0{,}725 · d) 700 \text{ m}^2

✓ Ellenőrzés: rövidebb oldal: 2 \cdot 14 + 4 \cdot 50 = 228 ✓, hosszabb: 4 \cdot 14 + 2 \cdot 50 = 156 ✓

Info
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok szövege az Oktatási Hivatal által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származik (2312, 2023. május 9.). A lépésenkénti levezetések saját feldolgozások, amelyeket az OH javítási-értékelési útmutatója alapján ellenőriztünk. Előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd nekünk!

2023. május 9. — Középszintű matematika érettségi

Vizsga dátuma: 2023. május 9., 9:00

Összpontszám: 100 pont (I. rész: 30 pont, II/A rész: 36 pont, II/B rész: 34 pont)

Időtartam: I. rész 45 perc, II. rész 135 perc

I. rész — Rövid feladatok (30 pont, 45 perc)

II/A rész — Kötelező feladatok (36 pont)

A II. rész feladatainak megoldási gondolatmenetét minden esetben részletezni kell.

II/B rész — Választható feladatok (3-ból 2, összesen 34 pont)

A 16–18. feladatok közül kettőt kell megoldani, egyenként 17 pont.

Összegzés

A 2023 májusi középszintű érettségi az utolsó vizsgák egyike volt a régi NAT2012 szerinti struktúrában. Az I. részben a százalékszámítás, halmazok, LNKO, gráf, mértani sorozat és valószínűség témakörök domináltak. A II. részben kiemelkedő feladat volt a téglalapba írt rombusz (14.), a népességnövekedés exponenciális modellje (15.), valamint a trapéz-csonkakúp-sorozat összetett feladat (17.). A nehézségi szint a korábbi évekhez hasonló volt.

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Hány pont volt elérhető a 2023 májusi középszintű matek érettségin?

Összesen 100 pont: az I. rész 30 pontot ért (12 rövid feladat), a II/A rész 36 pontot (3 kötelező feladat: 11+13+12 pont), a II/B rész pedig 34 pontot (3-ból 2 választott feladat, egyenként 17 pont).

Milyen témák szerepeltek a 2023 májusi érettségin?

I. rész: százalékszámítás, teljes gráf, halmazok, függvényábrázolás, LNKO, vektor, mértani sorozat, kombinatorika, logika, egyenesek metszése, gömb sugara, valószínűség. II. rész: másodfokú függvény, rombusz a téglalapban, népességnövekedés, statisztika+kombinatorika, trapéz+csonkakúp+sorozat, gráf+valószínűség+egyenletrendszer.

Milyen struktúrájú volt a 2023-as középszintű érettségi?

A 2023-as érettségi még a régi (NAT2012) szerkezetben zajlott: I. rész 12 feladat (30 pont), II/A rész 3 kötelező feladat (36 pont), II/B rész 3-ból 2 választható feladat (34 pont). 2024-től változott a struktúra a NAT2020 bevezetésével.

Források

Feladatsor: Oktatási Hivatal – Középszintű írásbeli, 2023 tavasz
A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási-értékelési útmutatója alapján ellenőrizve.

Frissítve:2026. február 20.

Előző oldal2023 október Következő oldalTípusfeladatok