Valószínűség érettségi feladatok megoldással

Valószínűség

1🟢 Könnyű

3 pont

Egy dobozban 4 piros és 6 kék golyó van. Véletlenszerűen húzunk egyet. Mi a valószínűsége, hogy piros golyót húzunk?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Összes eset: 4 + 6 = 10 golyó

2. lépés

Kedvező esetek: 4 piros golyó

3. lépés

Klasszikus valószínűség

P(\text{piros}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

📌 Végeredmény: \frac{2}{5}

✓ Ellenőrzés: P(\text{piros}) + P(\text{kék}) = \frac{4}{10} + \frac{6}{10} = 1 ✓

2🟢 Könnyű

4 pont

Egy szabályos dobókockával dobunk. Mi a valószínűsége, hogy a dobott szám páros?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Összes eset: \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}, azaz 6 kimenetel

2. lépés

Kedvező esetek (páros számok): \{2, 4, 6\}, azaz 3 kimenetel

3. lépés

A valószínűség

P(\text{páros}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

📌 Végeredmény: \frac{1}{2}

✓ Ellenőrzés: a páratlan számok \{1, 3, 5\} valószínűsége szintén \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, összegük 1 ✓

3🟡 Közepes

6 pont

Egy osztályból 3 tanulót választanak véletlenszerűen egy versenyre. Az osztályban 12 fiú és 8 lány van. Mi a valószínűsége, hogy mindhárom kiválasztott lány?

Megoldás megtekintése

1. lépés

Összes eset: 20 tanulóból 3-at választunk (sorrend nem számít) → kombináció

\binom{20}{3} = \frac{20!}{3! \cdot 17!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1}

→ = 1140

2. lépés

Kedvező esetek: 8 lányból 3-at választunk

\binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1}

→ = 56

3. lépés

A valószínűség

P = \frac{56}{1140} = \frac{14}{285} \approx 0{,}0491

📌 Végeredmény: \frac{56}{1140} = \frac{14}{285} \approx 0{,}049

✓ Ellenőrzés: \frac{56}{1140} \approx 4{,}9\% — valóban elég kicsi, hiszen 3 lányt kell húzni 8-ból 20-as osztályból ✓

4🟡 Közepes

5 pont

Két szabályos dobókockával dobunk egyszerre. Mi a valószínűsége, hogy a dobott számok összege 7?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Összes eset: 6 \cdot 6 = 36 (mindkét kocka 1-6)

2. lépés

Kedvező párok, amelyek összege 7: (1,6),\; (2,5),\; (3,4),\; (4,3),\; (5,2),\; (6,1) — összesen 6 pár

3. lépés

A valószínűség

P(\text{összeg} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

📌 Végeredmény: \frac{1}{6}

✓ Ellenőrzés: a 7-es összeg a leggyakoribb dobás két kockával, a \frac{1}{6} \approx 16{,}7\% valószínűség helyesnek tűnik ✓

5🔴 Nehéz

8 pont

Egy dobozban 5 piros és 3 fehér golyó van. Visszatevés nélkül húzunk 2 golyót. Mi a valószínűsége, hogy legalább az egyik piros?

Megoldás megtekintése

1. lépés

Használjuk az elleneseményt: P(\text{legalább 1 piros}) = 1 - P(\text{egy sem piros})

2. lépés

P(egy sem piros) = mindkét húzott golyó fehér

P(\text{mindkét fehér}) = \frac{\binom{3}{2}}{\binom{8}{2}}

3. lépés

Számoljuk ki

\binom{3}{2} = 3 \qquad \binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28

→ P(\text{mindkét fehér}) = \frac{3}{28}

4. lépés

Az elleneseménnyel

P(\text{legalább 1 piros}) = 1 - \frac{3}{28} = \frac{25}{28}

📌 Végeredmény: \frac{25}{28}

✓ Ellenőrzés: \frac{25}{28} \approx 89{,}3\% — 8-ból 5 piros, tehát nagyon valószínű, hogy legalább 1 piros lesz ✓

6🔴 Nehéz

10 pont

Egy körbe véletlenszerűen kiválasztunk egy pontot. A kör sugara 10 cm. Mi a valószínűsége, hogy a pont a kör közepétől mért 5 cm-es sugarú körön belülre esik? (Geometriai valószínűség)

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Geometriai valószínűség: a kedvező és az összes terület aránya

2. lépés

Összes terület (nagy kör)

T_{\text{összes}} = \pi \cdot 10^2 = 100\pi \text{ cm}^2

3. lépés

Kedvező terület (kis kör)

T_{\text{kedvező}} = \pi \cdot 5^2 = 25\pi \text{ cm}^2

4. lépés

A valószínűség

P = \frac{25\pi}{100\pi} = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}

📌 Végeredmény: \frac{1}{4}

✓ Ellenőrzés: a sugár fele → a terület negyede (terület a sugár négyzetével arányos) ✓

Info
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok az Oktatási Hivatal által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak. A levezetések saját feldolgozások — előfordulhatnak hibák.

Elméleti összefoglaló

Klasszikus valószínűség

Ha egy kísérlet összes kimenetele egyformán valószínű, akkor egy esemény valószínűsége:

P (A) = \frac{kedvez o ˝ esetek sz a ˊ ma}{o ¨ sszes eset sz a ˊ ma}

A valószínűség mindig $0$ és $1$ közé esik: $0 \leq P (A) \leq 1$ .

Geometriai valószínűség

Ha az elemi események száma végtelen (pl. egy pont véletlenszerű kiválasztása egy szakaszon vagy területen), akkor:

P (A) = \frac{kedvez o ˝ ter u ¨ let (hossz, t e ˊ rfogat)}{teljes ter u ¨ let (hossz, t e ˊ rfogat)}

Kombinatorikai alapok az érettségihez

Fogalom	Képlet	Mikor használjuk
Permutáció	$n!$	Sorba rendezés, összes elem
Ismétlés nélküli variáció	$\frac{n !}{( n - k )!}$	Sorba rendezés, $k$ elem $n$ -ből
Ismétlés nélküli kombináció	$(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$	Kiválasztás, sorrend nem számít

Tip
Érettségin a legfontosabb kérdés: „Számít-e a sorrend?" Ha igen → variáció/permutáció. Ha nem → kombináció.

1. Visszatevéses vs. visszatevés nélküli húzás Ha egy golyót „visszateszünk“ az urnába → az összes eset száma nem változik a húzások között. Ha „nem tesszük vissza” → minden húzás csökkenti az elemek számát.

2. „Legalább egy" típusú feladatok Soha ne próbáld meg felsorolni a kedvező eseteket. Használd az elleneseményt: $P (legal \overset{a}{ˊ} bb 1) = 1 - P (egy sem)$

3. Kombináció vs. variáció Ha a feladat „hányféleképpen választhatunk ki“ → sorrend általában nem számít → kombináció. Ha „hányféle sorrendben” → variáció.

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Mi a klasszikus valószínűség képlete?

A klasszikus valószínűség képlete: P(A) = kedvező esetek száma / összes eset száma. Feltétel: az elemi események egyenlő valószínűségűek.

Mikor használjuk a geometriai valószínűséget?

A geometriai valószínűséget akkor használjuk, ha az elemi események száma végtelen (pl. egy pont eltalálása egy területen). Ilyenkor területek, hosszak vagy térfogatok arányával számolunk.

Mi a leggyakoribb hiba valószínűségszámításnál érettségin?

A leggyakoribb hibák: az összes eset helytelen megszámlálása, a visszatevéses és visszatevés nélküli minta összekeverése, és a kedvező esetek duplán számlálása.

Források

Feladatsorok és javítási útmutatók: Oktatási Hivatal – Érettségi feladatsorok archívum
A feladatok az OH által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származnak.
A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási útmutatói alapján ellenőrizve.

Frissítve:2026. február 16.

Valószínűség

Elméleti összefoglaló

Klasszikus valószínűség

Geometriai valószínűség

Kombinatorikai alapok az érettségihez

Feladatok

Tipikus buktatók

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Források