Másodfokú függvény feladatok megoldással

Q: Mi az a másodfokú függvény?

A másodfokú függvény alakja f(x) = ax² + bx + c, ahol a ≠ 0. Grafikonja egy parabola. Ha a > 0, a parabola felfelé nyílik (van minimuma), ha a < 0, lefelé nyílik (van maximuma).

Q: Hogyan számolom ki a parabola csúcspontját?

A csúcspont x-koordinátája x = -b / (2a), az y-koordinátát pedig úgy kapod, hogy ezt visszahelyettesíted a függvénybe: y = f(x). Például f(x) = x² - 4x + 3 esetén x = 4/2 = 2, y = f(2) = -1, tehát a csúcs (2, -1).

Q: Hogyan találom meg a másodfokú függvény zérushelyeit?

A zérushelyek ott vannak, ahol f(x) = 0, vagyis az ax² + bx + c = 0 egyenlet megoldásai. Használhatod a megoldóképletet vagy a szorzattá alakítást. A zérushelyek a parabola és az x-tengely metszéspontjai.

Q: Merre nyílik a parabola?

Az a együttható előjele dönti el: ha a > 0, a parabola felfelé nyílik (U alak, minimummal), ha a < 0, lefelé nyílik (∩ alak, maximummal). Minél nagyobb |a|, annál keskenyebb a parabola.

Másodfokú függvények feladatok

1🟢 Könnyű

Add meg az f(x) = x^2 - 4x + 3 másodfokú függvény csúcspontját!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A csúcspont x-koordinátáját a -\frac{b}{2a} képlet adja. Itt a = 1, b = -4.

x_{cs} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1}

→ x_{cs} = 2

2. lépés

Az y-koordinátát behelyettesítéssel kapjuk: y_{cs} = f(2).

f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3

→ y_{cs} = -1

3. lépés

A csúcspont tehát a két koordinátából:

→ (2,\ -1)

📌 Végeredmény: (2,\ -1)

✓ A parabola felfelé nyílik (a = 1 > 0), így a csúcs a minimumpont: (2,\ -1).

2🟢 Könnyű

Hol metszi az f(x) = x^2 - 5x + 6 függvény grafikonja az x-tengelyt? (Zérushelyek)

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A zérushelyeknél f(x) = 0, tehát megoldjuk az egyenletet.

x^2 - 5x + 6 = 0

2. lépés

Szorzattá alakítjuk: két szám, amelyek szorzata 6, összege 5 — ezek a 2 és a 3.

(x - 2)(x - 3) = 0

3. lépés

Egy szorzat akkor 0, ha valamelyik tényezője 0:

→ x_1 = 2,\ x_2 = 3

📌 Végeredmény: x_1 = 2,\ x_2 = 3

✓ Viète-formulák: x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot 3 = 6 = c ✓ és x_1 + x_2 = 5 = -b ✓

3🟡 Közepes

Elemezd az f(x) = -x^2 + 2x + 3 függvényt: merre nyílik, hol a csúcsa és hol vannak a zérushelyei?

Megoldás megtekintése

1. lépés

Az a = -1 < 0, ezért a parabola lefelé nyílik — van maximuma.

2. lépés

A csúcspont x-koordinátája, majd behelyettesítve az y:

x_{cs} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1

→ y_{cs} = f(1) = -1 + 2 + 3 = 4

3. lépés

Zérushelyek: -x^2 + 2x + 3 = 0, (-1)-gyel szorozva x^2 - 2x - 3 = 0, szorzattá alakítva (x-3)(x+1) = 0.

→ x = -1 és x = 3

📌 Végeredmény: lefelé nyílik, csúcs (1,\ 4), zérushelyek x = -1 és x = 3

✓ A csúcs x = 1 koordinátája a két zérushely (-1 és 3) számtani közepe — a parabola szimmetrikus ✓

4🟡 Közepes

Egy labdát felfelé dobunk. Magassága t másodperc múlva h(t) = -5t^2 + 20t méter. Mikor van a legmagasabban, és milyen magasan?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A magasság másodfokú függvény, a = -5 < 0, tehát van maximuma — ez a csúcspont.

2. lépés

A maximum ideje a csúcspont x-koordinátája:

t = -\frac{20}{2 \cdot (-5)} = 2

→ t = 2 s

3. lépés

A maximális magasság a h(2) behelyettesítéssel:

h(2) = -5 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 = -20 + 40

→ 20 m

📌 Végeredmény: t = 2 s-nál, 20 m magasan

✓ A labda 2 másodperc múlva éri el a legmagasabb pontot, 20 méteren.

5🔴 Nehéz

Írd fel az f(x) = 2x^2 - 8x + 5 függvényt teljes négyzetes (csúcspont) alakban, és add meg a minimumát!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Emeljük ki a = 2-t az első két tagból:

f(x) = 2(x^2 - 4x) + 5

2. lépés

Egészítsük ki teljes négyzetté: x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4.

f(x) = 2\left[(x-2)^2 - 4\right] + 5

3. lépés

Bontsuk fel a zárójelet és vonjuk össze az állandókat:

f(x) = 2(x-2)^2 - 8 + 5

→ f(x) = 2(x-2)^2 - 3

4. lépés

A csúcspont alakból leolvasható: mivel a = 2 > 0, a minimum a csúcsban van.

→ minimum = -3 a x = 2 helyen

📌 Végeredmény: f(x) = 2(x-2)^2 - 3, minimum -3 a x = 2 helyen

✓ Visszaszorozva: 2(x-2)^2 - 3 = 2x^2 - 8x + 8 - 3 = 2x^2 - 8x + 5 ✓

Info
⚠️ Pontosság: A feladatok és megoldások tájékoztató jellegűek, gondosan ellenőriztük őket. Előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd!

Mit fogsz tanulni?

Ezen az oldalon a másodfokú függvény (parabola) ábrázolását és elemzését gyakorolhatod: csúcspont, szimmetriatengely, zérushelyek és nyílásirány. Ez a 10. osztály egyik kulcstémája, és az érettségin is visszatérő típusfeladat.

Elméleti összefoglaló

Mi a másodfokú függvény?

A másodfokú függvény általános alakja:

f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq = 0)

A grafikonja egy parabola. Az együtthatók jelentése:

$a$ — a nyílás irányát és szélességét adja meg
- $a > 0$ → a parabola felfelé nyílik (van minimuma)
- $a < 0$ → a parabola lefelé nyílik (van maximuma)
- minél nagyobb $∣ a ∣$ , annál keskenyebb a parabola
$c$ — az $y$ -tengellyel való metszéspont ( $f (0) = c$ )

Csúcspont és szimmetriatengely

A parabola csúcspontja a minimum- vagy maximumpont. Az $x$ -koordinátája:

x_{cs} = - \frac{b}{2 a}

Az $y$ -koordinátát behelyettesítéssel kapjuk: $y_{cs} = f (x_{cs})$ . A szimmetriatengely a csúcsponton átmenő függőleges egyenes: $x = x_{cs}$ .

Zérushelyek

A zérushelyek ott vannak, ahol $f (x) = 0$ , azaz az $a x^{2} + b x + c = 0$ egyenlet gyökei. Ezek a parabola és az $x$ -tengely metszéspontjai. A megoldóképlet:

x_{1, 2} = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Tip
Ábrázoláshoz elég 3 dolog: a csúcspont, a nyílásirány ( $a$ előjele) és a zérushelyek (vagy az $y$ -metszet, ha nincs valós gyök).

Feladatok

Összegzés

A másodfokú függvény grafikonja parabola. A három kulcs: az $a$ előjele (merre nyílik), a csúcspont ( $x_{cs} = - \frac{b}{2 a}$ ) és a zérushelyek (az $a x^{2} + b x + c = 0$ megoldásai). Ha ezt a hármat tudod, bármelyik parabolát fel tudod rajzolni és elemezni.

Kapcsolódó tartalmak

Másodfokú egyenletek — 10. osztály — a zérushelyek megoldóképlete
Függvények feladatok — 9. osztály — a lineáris függvény alapjai
Függvény érettségi típusfeladatok
10. osztály — összes témakör

Gyakran ismételt kérdések

Mi az a másodfokú függvény?

A másodfokú függvény alakja f(x) = ax² + bx + c, ahol a ≠ 0. Grafikonja egy parabola. Ha a > 0, a parabola felfelé nyílik (van minimuma), ha a < 0, lefelé nyílik (van maximuma).

Hogyan számolom ki a parabola csúcspontját?

A csúcspont x-koordinátája x = -b / (2a), az y-koordinátát pedig úgy kapod, hogy ezt visszahelyettesíted a függvénybe: y = f(x). Például f(x) = x² - 4x + 3 esetén x = 4/2 = 2, y = f(2) = -1, tehát a csúcs (2, -1).

Hogyan találom meg a másodfokú függvény zérushelyeit?

A zérushelyek ott vannak, ahol f(x) = 0, vagyis az ax² + bx + c = 0 egyenlet megoldásai. Használhatod a megoldóképletet vagy a szorzattá alakítást. A zérushelyek a parabola és az x-tengely metszéspontjai.

Merre nyílik a parabola?

Az a együttható előjele dönti el: ha a > 0, a parabola felfelé nyílik (U alak, minimummal), ha a < 0, lefelé nyílik (∩ alak, maximummal). Minél nagyobb |a|, annál keskenyebb a parabola.

Frissítve:2026. június 20.

📐

Témazáró Mega Bundle — 5–8. osztály

Minden témazáró egy csomagban: 5–8. osztály, 14 dolgozat, 140 feladat (A és B szintekkel), prémium tanulási réteggel.

✓ 30 napos garancia✓ Azonnali letöltés✓ Nyomtatható A4 PDF

ettől

5990 Ft

Megnézem →