Hatvány, gyök, logaritmus feladatok

Info

⚠️ Pontosság: A feladatok és megoldások tájékoztató jellegűek, gondosan ellenőriztük őket. Előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd!

Mit fogsz tanulni?#

A hatvány-gyök-logaritmus hármas szorosan összefügg: a hatványozás, a gyökvonás és a logaritmus egymás inverzei. Ezen az oldalon mindhárom témakört együtt gyakorolhatod.

Elméleti összefoglaló#

Az összefüggés#

Hatványszabályok (ismétlés)#

Szabály	Képlet
Szorzás	$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
Osztás	$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
Hatvány hatványa	$(a^m{)}^n=a^{mn}$
Negatív kitevő	$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$
Törtkitevő	$a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$

Logaritmus szabályok#

Speciális értékek: ${\log }_{a}a=1$ és ${\log }_{a}1=0$.

Tip

A logaritmus kérdést tesz fel: „Az $a$-nak hanyadik hatványa $b$?" Ha ezt így gondolod el, a logaritmus sokkal kevésbé lesz ijesztő!

Feladatok#

Összegzés#

A hatvány, gyök és logaritmus egy trió — ha az egyiket ismered, a másik kettőt is tudod használni. A legfontosabb: a logaritmus a hatványozás fordítottja. A logaritmus-szabályok (szorzat → összeg, hányados → különbség, hatvány → szorzat) az egyenletmegoldás kulcsai.

Kapcsolódó tartalmak#

• Hatványozás feladatok — 7. osztály — Alapok ismétlése
• Négyzetgyök feladatok — 8. osztály
• Sorozatok feladatok — 11. osztály
• 11. osztály — összes témakör

Gyakran ismételt kérdések#

Mi az a logaritmus?

A logaritmus a hatványozás inverze (fordítottja). Ha a^x = b, akkor log_a(b) = x. Szavakkal: 'a-nak hanyadik hatványa b?' Például log₂(8) = 3, mert 2³ = 8.

Mik a logaritmus legfontosabb szabályai?

Szorzat logaritmusa: log(a·b) = log(a) + log(b). Hányados logaritmusa: log(a/b) = log(a) - log(b). Hatvány logaritmusa: log(a^n) = n·log(a). Ezek a szabályok a logaritmikus egyenletek kulcsai.

Hogyan váltunk át gyököt hatványra?

Az n-edik gyök felírható törtkitevős hatványként: ⁿ√a = a^(1/n). Például √a = a^(1/2), ³√a = a^(1/3). Ez azért fontos, mert így a hatványszabályokat használhatjuk gyökös kifejezéseknél is.