2024 május

1🟢 Könnyű

2 pont

Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}, A \cap B = \{1; 2\} és A \setminus B = \{3; 4\}. Adja meg az A és B halmazokat elemeik felsorolásával!

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A \cap B = \{1; 2\} → az 1 és 2 mindkét halmazban benne van

2. lépés

A \setminus B = \{3; 4\} → a 3 és 4 csak A-ban van (nem B-ben)

3. lépés

Tehát A = \{1; 2; 3; 4\} (a metszet + A\B elemei)

4. lépés

A \cup B = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}, de A-ban nincs 5 és 6 → ezek csak B-ben vannak

→ B = \{1; 2; 5; 6\}

📌 Végeredmény: A = \{1; 2; 3; 4\}, B = \{1; 2; 5; 6\}

✓ Ellenőrzés: A \cup B = \{1;2;3;4;5;6\} ✓, A \cap B = \{1;2\} ✓, A \setminus B = \{3;4\} ✓

2🟢 Könnyű

2 pont

Egy derékszögű háromszög egyik befogója 24 cm, átfogója 25 cm hosszú. Hány cm hosszú a másik befogó?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Pitagorasz-tétel: a^2 + b^2 = c^2, ahol c = 25 és a = 24

b^2 = c^2 - a^2 = 25^2 - 24^2

2. lépés

Számoljuk ki

b^2 = 625 - 576 = 49

3. lépés

Vonjunk négyzetgyököt

b = \sqrt{49} = 7

→ A másik befogó 7 cm

📌 Végeredmény: 7 cm

✓ Ellenőrzés: 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625 = 25^2 ✓

3🟢 Könnyű

2 pont

Hány darab négyjegyű, különböző számjegyekből álló (pozitív) páratlan szám alkotható az 1, 2, 3, 4 számjegyekből?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Páratlan szám → az utolsó jegy 1 vagy 3 (2 lehetőség)

2. lépés

Mivel mind a 4 jegy különböző és 4-ből mind a 4-et felhasználjuk → permutáció, de az utolsó helyre kötött

3. lépés

Utolsó jegy: 2-féle (1 vagy 3). A maradék 3 jegy a 3 helyre: 3! = 6 féle

2 \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12

📌 Végeredmény: 12 darab

✓ Ellenőrzés felsorolással: pl. 1-re végződők: 2341, 2431, 3241, 3421, 4231, 4321 (6 db); 3-ra végződők: hasonlóan 6 db → összesen 12 ✓

4🟢 Könnyű

2 pont

Egy kozmetikai cég alkalmazottja diagramot készített a 2022-ben és 2023-ban értékesített termékek mennyiségéről. A diagram alapján: 2022-ben kb. 1000, 2023-ban kb. 1200 darabot adott el. Igaz-e az az állítás, hogy az alkalmazott 2023-ban háromszor annyi terméket értékesített, mint 2022-ben?

Megoldás megtekintése

1. lépés

A diagramról leolvassuk: 2022-ben ~1000 db, 2023-ban ~1200 db

2. lépés

Az arány: \frac{1200}{1000} = 1{,}2, vagyis 1,2-szer annyit (nem 3-szor)

3. lépés

Tehát az állítás nem igaz -- csak 20%-kal többet értékesített, nem háromszor annyit

📌 Végeredmény: Nem igaz

5🟢 Könnyű

2 pont

Adja meg a értékét, ha tudjuk, hogy \frac{1}{2} = 4^a.

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Írjuk fel a 4-et 2 hatványaként: 4 = 2^2, tehát 4^a = (2^2)^a = 2^{2a}

2. lépés

A bal oldalt is 2 hatványaként: \frac{1}{2} = 2^{-1}

3. lépés

Tehát 2^{2a} = 2^{-1}, amiből 2a = -1

→ a = -\frac{1}{2}

📌 Végeredmény: a = -\frac{1}{2}

✓ Ellenőrzés: 4^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2} ✓

6🟡 Közepes

4 pont

Egy számtani sorozat nyolcadik tagja 6-tal nagyobb, mint a negyedik tagja. A sorozat hatodik tagja 6. Számítsa ki a sorozat első 6 tagjának az összegét! Megoldását részletezze!

Megoldás megtekintése

1. lépés

a_8 - a_4 = 6 → A differencia kiszámítása

a_8 - a_4 = (a_1 + 7d) - (a_1 + 3d) = 4d = 6

→ d = 1{,}5

2. lépés

Az első tag: a_6 = a_1 + 5d = 6

a_1 = 6 - 5 \cdot 1{,}5 = 6 - 7{,}5 = -1{,}5

3. lépés

Az első 6 tag összege az összegképlettel

S_6 = \frac{6}{2} \cdot (a_1 + a_6) = 3 \cdot (-1{,}5 + 6) = 3 \cdot 4{,}5

→ S_6 = 13{,}5

📌 Végeredmény: S_6 = 13{,}5

✓ Ellenőrzés: A tagok: -1{,}5;\; 0;\; 1{,}5;\; 3;\; 4{,}5;\; 6. Összeg: -1{,}5 + 0 + 1{,}5 + 3 + 4{,}5 + 6 = 13{,}5 ✓

7🟢 Könnyű

3 pont

Hány csúcsa, hány lapja és hány éle van egy hatszög alapú gúlának?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

A hatszög alapú gúla: 6 oldalú alap + 1 csúcspont

2. lépés

Csúcsok: az alap 6 csúcsa + a gúla csúcsa = 6 + 1 = 7

3. lépés

Lapok: az alap (1 hatszög) + 6 háromszög oldallap = 1 + 6 = 7

4. lépés

Élek: az alap 6 éle + 6 oldalél (csúcshoz) = 6 + 6 = 12

📌 Végeredmény: 7 csúcs, 7 lap, 12 él

✓ Euler-féle poliéder-tétel: C - É + L = 7 - 12 + 7 = 2 ✓

8🟡 Közepes

2 pont

Egy szám 2-es alapú logaritmusa 6. Mennyi a szám kétszeresének a 2-es alapú logaritmusa?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Ha \log_2 x = 6, akkor x = 2^6 = 64

2. lépés

A szám kétszerese: 2x = 2 \cdot 64 = 128 = 2^7

3. lépés

Tehát \log_2 128 = 7

📌 Végeredmény: 7

✓ Ellenőrzés: \log_2(2x) = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + 6 = 7 ✓

9🟢 Könnyű

2 pont

Egy városban a polgármester-választáson a győztes jelöltre a szavazáson résztvevők 55%-a szavazott, így 10 593 szavazatot kapott. Hányan vettek részt ebben a városban a szavazáson?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Ha az összes szavazó x, akkor 0{,}55 \cdot x = 10\,593

2. lépés

Fejezzük ki x-et

x = \frac{10\,593}{0{,}55} = 19\,260

📌 Végeredmény: 19\,260 fő

✓ Ellenőrzés: 19\,260 \cdot 0{,}55 = 10\,593 ✓

10🟡 Közepes

3 pont

Adott az alábbi 5, valós számok halmazán értelmezett függvény. Adja meg közülük azoknak a betűjelét, amelyeknek van zérushelye! f: x \mapsto x^2, g: x \mapsto \frac{2}{x}, h: x \mapsto x^2 - 3x, i: x \mapsto |x|, j: x \mapsto 5

Megoldás megtekintése

1. lépés

f(x) = x^2 = 0 → x = 0 ✓ Van zérushelye

2. lépés

g(x) = \frac{2}{x} = 0 → nincs megoldás (tört számlálója állandó 2) ✗

3. lépés

h(x) = x^2 - 3x = x(x-3) = 0 → x = 0 vagy x = 3 ✓ Van zérushelye

4. lépés

i(x) = |x| = 0 → x = 0 ✓ Van zérushelye

5. lépés

j(x) = 5 eq 0 soha ✗ Nincs zérushelye

📌 Végeredmény: f, h, i

11🟡 Közepes

3 pont

Balázs magyar irodalomból a következő jegyeket szerezte az első félévben: 1, 5, 5, 5. Számítsa ki Balázs jegyeinek átlagát és szórását!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Az átlag

\bar{x} = \frac{1 + 5 + 5 + 5}{4} = \frac{16}{4} = 4

2. lépés

Az eltérések négyzetének átlaga

\sigma^2 = \frac{(1-4)^2 + (5-4)^2 + (5-4)^2 + (5-4)^2}{4}

3. lépés

Számoljuk ki

\sigma^2 = \frac{9 + 1 + 1 + 1}{4} = \frac{12}{4} = 3

4. lépés

A szórás

\sigma = \sqrt{3} \approx 1{,}73

📌 Végeredmény: Átlag: 4, szórás: \approx 1{,}73

12🟡 Közepes

3 pont

Egy piros, egy fekete és egy fehér szabályos dobókockával egyszerre dobunk. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a dobás eredménye három különböző szám lesz!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Összes eset: mindhárom kockával 6-féle → 6^3 = 216

2. lépés

Kedvező esetek: a piros kockával 6-féle, a feketével 5-féle (más, mint a piros), a fehérrel 4-féle (más, mint a piros és fekete)

6 \cdot 5 \cdot 4 = 120

3. lépés

A valószínűség

P = \frac{120}{216} = \frac{5}{9} \approx 0{,}556

📌 Végeredmény: \frac{5}{9} \approx 0{,}556

✓ Másképp: P = 1 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9} ✓

13🟡 Közepes

9 pont

a) Oldja meg a valós számok halmazán: 18 \cdot (7x + 96) + 19 \cdot (5x - 56) = 1990. b) Írja fel az 1896 és az 1956 prímtényezős felbontását, és adja meg az 1896 és az 1956 összes közös (pozitív) osztóját!

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Bontsuk fel a zárójeleket

126x + 1728 + 95x - 1064 = 1990

2. lépés

Vonjuk össze

221x + 664 = 1990

3. lépés

Rendezzük

221x = 1326

→ x = 6

4. lépés

b) Prímtényezős felbontás:

1896 = 2^3 \cdot 3 \cdot 79

5. lépés

A másik szám

1956 = 2^2 \cdot 3 \cdot 163

6. lépés

A közös prímtényezők: 2^2 és 3. Közös osztók: az összes osztója 2^2 \cdot 3 = 12-nek:

→ 1, 2, 3, 4, 6, 12

📌 Végeredmény: a) x = 6; b) Közös osztók: 1, 2, 3, 4, 6, 12

✓ Ellenőrzés a): 18 \cdot (42+96) + 19 \cdot (30-56) = 18 \cdot 138 + 19 \cdot (-26) = 2484 - 494 = 1990 ✓

14🔴 Nehéz

13 pont

Egy szabályos tízszög egy oldalának hossza 10 cm. a) Igazolja, hogy a tízszög egy belső szöge 144°! b) Számítsa ki a tízszög területét! c) Egy szabályos sokszög átlóinak száma 2015. Hány oldalú a sokszög?

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) A tízszög belső szögeinek összege

(n-2) \cdot 180° = (10-2) \cdot 180° = 1440°

2. lépés

Egy belső szög (szabályos → egyenlők)

\frac{1440°}{10} = 144°

3. lépés

b) A tízszög 10 egybevágó háromszögre bontható (középpontból). A háromszög szárszöge 36°, alapja 10 cm

4. lépés

A háromszög magassága: m = 5 \cdot \tan 72° \approx 5 \cdot 3{,}077 \approx 15{,}4 cm

5. lépés

Egy háromszög területe: T_1 = \frac{10 \cdot 15{,}4}{2} \approx 77 cm²

→ A tízszög területe: 10 \cdot 77 \approx 770 cm²

6. lépés

c) Egy n-oldalú sokszög átlóinak száma: \frac{n(n-3)}{2} = 2015

7. lépés

Az egyenlet: n^2 - 3n - 4030 = 0

8. lépés

Megoldóképlet: n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16120}}{2} = \frac{3 \pm 127}{2}

→ n = 65 (a negatív gyök nem releváns)

📌 Végeredmény: a) 144°; b) \approx 770 cm²; c) 65 oldalú

15🔴 Nehéz

14 pont

Egy étteremben 3 dl almalé és 5 dl baracklé összesen 1010 Ft, 5 dl almalé és 3 dl baracklé pedig 990 Ft. a) Mennyibe kerül 1 dl almalé és 1 dl baracklé? b) Anna, Bella, Cili közül a pincér véletlenszerűen osztja ki a 3 italt. Mi a valószínűsége, hogy senki sem azt kapja, amit rendelt? c) Sodrófa-diagram adatok: terjedelem, átlag, kvartilisek értelmezése.

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Felírjuk az egyenletrendszert (a = almalé, b = baracklé ára dl-enként):

3a + 5b = 1010 \quad \text{és} \quad 5a + 3b = 990

2. lépés

Összeadjuk a két egyenletet: 8a + 8b = 2000 → a + b = 250

3. lépés

Az első egyenletből: 3a + 5(250-a) = 1010 → -2a = -240

→ a = 120 Ft, b = 130 Ft

4. lépés

b) A 3 ital kiosztása: 3! = 6 féle. Senki sem kapja a sajátját → szabálytalan permutáció

5. lépés

A 3-elemű szabálytalan permutációk száma: 2 (ABC → BCA vagy CAB)

6. lépés

A valószínűség

P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

📌 Végeredmény: a) almalé: 120 Ft/dl, baracklé: 130 Ft/dl; b) \frac{1}{3}

✓ Ellenőrzés a): 3 \cdot 120 + 5 \cdot 130 = 360 + 650 = 1010 ✓ és 5 \cdot 120 + 3 \cdot 130 = 600 + 390 = 990 ✓

16🔴 Nehéz

17 pont

a) 4 függvény közül legalább 2-t kell kiválasztani. Hányféleképpen? b) Egy lineáris függvény átmegy a (12; 7) és (13; 9) pontokon. Adja meg a hozzárendelési szabályát! c) Írja fel a (12; 7) középpontú, 15 sugarú kör egyenletét, és számítsa ki a kör és az y-tengely metszéspontjait!

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Legalább 2-t kiválasztani 4-ből: \binom{4}{2} + \binom{4}{3} + \binom{4}{4} = 6 + 4 + 1 = 11

2. lépés

b) Meredekség: m = \frac{9-7}{13-12} = 2. Behelyettesítve (12, 7)-be:

7 = 2 \cdot 12 + b \Rightarrow b = -17

→ f(x) = 2x - 17

3. lépés

c) A kör egyenlete: (x-12)^2 + (y-7)^2 = 225

4. lépés

Az y-tengelyen x = 0: (0-12)^2 + (y-7)^2 = 225 → 144 + (y-7)^2 = 225

5. lépés

(y-7)^2 = 81 → y - 7 = \pm 9

→ y_1 = 16, y_2 = -2. A metszéspontok: (0; 16) és (0; -2)

📌 Végeredmény: a) 11; b) f(x) = 2x - 17; c) y = 7 \pm 3\sqrt{2}

17🔴 Nehéz

17 pont

A szolnoki habos isler: az alsó és felső része 0,5 cm vastag, 6 cm átmérőjű henger alakú tésztalap. A kettő közt 90 ml hab van. a) Hány cm³ a két tésztalap együttes térfogata? b) Mekkora a habos rész átmérője, ha az isler 5 cm magas? c) A csokimáz 0,03 valószínűséggel megreped. 30 islerből mi a valószínűsége, hogy egyiken sem? d) Halmazos feladat 20 rendelésről (isler, zserbó, krémes) -- hány rendelésben csak krémes szerepelt?

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) Egy tésztalap térfogata: V = r^2 \pi \cdot h = 3^2 \pi \cdot 0{,}5 = 4{,}5\pi

V_{\text{két lap}} = 2 \cdot 4{,}5\pi = 9\pi \approx 28{,}3 \text{ cm}^3

2. lépés

b) A hab henger magassága: 5 - 2 \cdot 0{,}5 = 4 cm. Térfogata 90 cm³

r^2 \pi \cdot 4 = 90 \Rightarrow r^2 = \frac{90}{4\pi} \approx 7{,}16 \Rightarrow r \approx 2{,}68 \text{ cm}

3. lépés

Az átmérő: d \approx 5{,}35 cm

4. lépés

c) Nem reped meg: P = (1 - 0{,}03)^{30} = 0{,}97^{30} \approx 0{,}401

5. lépés

d) Halmazok: |I \cup Z \cup K| = 20 - 2 = 18 (2 rendelésben egyik sem). A szitaformulával: 18 = |I| + |Z| + |K| - |I \cap Z| - |I \cap K| - |Z \cap K| + |I \cap Z \cap K|

6. lépés

|Z| = 9, |Z \cap K| = 5, |Z \cap I| = 3, |I \cap K| = 6, |I \cap Z \cap K| = 1, és |I| = |K|

7. lépés

Behelyettesítés: 18 = |I| + 9 + |I| - 3 - 6 - 5 + 1, azaz 2|I| = 22

→ |I| = |K| = 11

8. lépés

Csak krémes:

|K| - |Z \cap K| - |I \cap K| + |I \cap Z \cap K| = 11 - 5 - 6 + 1

→ 1

📌 Végeredmény: a) \approx 28{,}3 cm³; b) \approx 5{,}4 cm; c) \approx 0{,}401; d) 1

18🔴 Nehéz

17 pont

Egy áramköri elem hatpontú gráfjának öt csúcsfokszáma: 1, 2, 2, 3, 3. a) Mi a hatodik csúcs fokszáma? Rajzoljon megfelelő gráfot! b) Elektromos autók hatótávja: 2011-ben 95 km, 2023-ban 425 km. Évente ugyanannyival nő → mikor éri el az 1000 km-t? c) Évente ugyanannyiszorosára nő → mikor éri el az 1000 km-t?

Megoldás megtekintése

1. lépés

a) A fokszámok összege páros (minden él 2 fokot ad). 1+2+2+3+3 = 11 → a 6. csúcs fokszáma: 12 - 11 = 1

2. lépés

A gráfnak \frac{12}{2} = 6 éle van

3. lépés

b) Számtani sorozat: a_1 = 95, a_{13} = 425. Differencia:

d = \frac{425 - 95}{12} = 27{,}5 \text{ km/év}

4. lépés

a_n = 95 + (n-1) \cdot 27{,}5 \geq 1000 → n - 1 \geq \frac{905}{27{,}5} \approx 32{,}9 → n = 34

5. lépés

Ellenőrzés: a_{33} = 95 + 32 \cdot 27{,}5 = 975; a_{34} = 95 + 33 \cdot 27{,}5 = 1002{,}5 \geq 1000 ✓

→ 2011 + 33 = \textbf{2044}

6. lépés

c) Mértani sorozat: a_1 = 95, a_{13} = 425

q = \left(\frac{425}{95}\right)^{1/12} \approx 1{,}1295

7. lépés

95 \cdot q^{n-1} \geq 1000 → (n-1) \cdot \ln q \geq \ln 10{,}526 → n - 1 \geq \frac{2{,}354}{0{,}1219} \approx 19{,}3

8. lépés

Ellenőrzés: a_{19} \approx 899; a_{20} \approx 1019 \geq 1000 ✓

→ 2011 + 19 = \textbf{2030}

📌 Végeredmény: a) fokszám: 1; b) 2044; c) 2030

Info
⚠️ Forrás és pontosság: A feladatok szövege az Oktatási Hivatal által közzétett, szabad felhasználású feladatsorokból származik (K2414, 2024. május 7.). A lépésenkénti levezetések saját feldolgozások, amelyeket az OH javítási-értékelési útmutatója alapján ellenőriztünk. Előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd nekünk!

2024. május 7. — Középszintű matematika érettségi

Vizsga dátuma: 2024. május 7., 9:00

Összpontszám: 100 pont (I. rész: 30 pont, II/A rész: 35 pont, II/B rész: 34 pont)

Időtartam: I. rész 45 perc, II. rész 135 perc

I. rész — Rövid feladatok (30 pont, 45 perc)

II/A rész — Kötelező feladatok (35 pont)

A II. rész feladatainak megoldási gondolatmenetét minden esetben részletezni kell.

II/B rész — Választható feladatok (3-ból 2, összesen 34 pont)

A 16–18. feladatok közül kettőt kell megoldani, egyenként 17 pont.

Összegzés

A 2024 májusi középszintű érettségi az első volt az új NAT2020 szerinti vizsgastruktúrával: 12 feladat az I. részben (30 pont), és 70 pont a II. részben. Új elemként megjelent a gráfelmélet (18. feladat) és erősödött a statisztikai rész (szórásszámítás, szárdiagram-elemzés). A feladatsor összességében megfelelt a korábbi évek nehézségi szintjének.

Kapcsolódó tartalmak

Gyakran ismételt kérdések

Hány pont volt elérhető a 2024 májusi középszintű matek érettségin?

Összesen 100 pont: az I. rész 30 pontot ért (12 rövid feladat), a II/A rész 35 pontot (3 kötelező feladat), a II/B rész pedig 34 pontot (3-ból 2 választott feladat, egyenként 17 pont).

Milyen témák szerepeltek a 2024 májusi érettségin?

I. rész: halmazok, Pitagorasz-tétel, kombinatorika, diagramelemzés, hatvány, számtani sorozat, gúla, logaritmus, százalékszámítás, függvények zérushelye, statisztika, valószínűség. II. rész: egyenlet+prímfelbontás, szabályos sokszög, egyenletrendszer+valószínűség+statisztika, koordináta-geometria, térgeometria+halmazok, gráf+sorozat.

Mi változott a 2024-es matek érettségin?

2024-ben vizsgáztak először a 2020-as NAT szerint tanulók. Az I. rész 12 feladatból áll (korábban 13), összesen 30 pont (korábban 45). A II. rész összesen 70 pont. A tematikában megjelent a gráfelmélet.

Források

Feladatsor: Oktatási Hivatal – Középszintű írásbeli, 2024 tavasz
A levezetések saját feldolgozások, az OH javítási-értékelési útmutatója alapján ellenőrizve.

Frissítve:2026. február 20.

Előző oldal2024 október Következő oldal2023 október