Sorozat Kalkulátor

Sorozat kalkulátor

📈 Sorozat Kalkulátor

n-edik tag & összeg

Számtani és mértani sorozat tagja és részletösszege

a₁ (első tag)

d (különbség)

n (tag sorszáma)

a₁₀ (n-edik tag)

S₁₀ (összeg)

155

Első tagok

2; 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23 …

💡Számtani sorozat: aₙ = a₁ + (n−1)·d, Sₙ = n·(a₁+aₙ)/2.

A sorozat kalkulátor kiszámítja a számtani és a mértani sorozat $n$ -edik tagját és első $n$ tagjának összegét. Add meg a fenti eszközben az első tagot ( $a_{1}$ ), a differenciát ( $d$ ) vagy hányadost ( $q$ ), és a tag sorszámát ( $n$ ), és azonnal megkapod az eredményt a megfelelő képlettel.

Info
Gyors áttekintés

Számtani: állandó különbség (d), aₙ = a₁ + (n−1)d

Mértani: állandó hányados (q), aₙ = a₁·qⁿ⁻¹

Összeg: Sₙ képlettel, nem kell tagonként összeadni

Kapcsolat: a kamatos kamat egy mértani sorozat

💡 A 11. osztály és az érettségi gyakori témája.

Számtani sorozat

A számtani sorozat szomszédos tagjainak különbsége állandó ( $d$ ). Az $n$ -edik tag:

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

Ahol $a_{1}$ az első tag, $d$ a differencia, $n$ a tag sorszáma.

Az első $n$ tag összege:

S_{n} = \frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2} = \frac{n ( 2 a _{1} + ( n - 1 ) d )}{2}

Mértani sorozat

A mértani sorozat szomszédos tagjainak hányadosa állandó ( $q$ ). Az $n$ -edik tag:

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Az első $n$ tag összege (ha $q \neq = 1$ ):

S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}

Részletösszeg gyorsan

A nagy összegeket nem kell tagonként összeadni – a fenti $S_{n}$ képletek azonnal megadják az eredményt. Híres példa Gauss „trükkje":

1 + 2 + \dots + 100 = \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050

Példák

Számtani: $a_{1} = 2$ , $d = 3$ , $n = 10$ → $a_{10} = 29$ , $S_{10} = 155$
Mértani: $a_{1} = 3$ , $q = 2$ , $n = 5$ → $a_{5} = 48$ , $S_{5} = 93$

Tip
💡 A kamatos kamat valójában mértani sorozat: minden évben az előző érték $(1 + kamatl \overset{a}{ˊ} b)$ -szorosa. Ezt a kamatos kamat kalkulátor is használja.

GYIK

Mi a számtani sorozat?

A számtani (aritmetikai) sorozat olyan számsorozat, amelyben bármely két szomszédos tag különbsége állandó. Ezt az állandót differenciának (d) nevezzük. Például a 2, 5, 8, 11, … sorozat számtani, ahol d = 3.

Mi a mértani sorozat?

A mértani (geometriai) sorozat olyan, amelyben bármely tag és az előző tag hányadosa állandó. Ezt az állandót kvóciensnek vagy hányadosnak (q) nevezzük. Például a 3, 6, 12, 24, … sorozat mértani, ahol q = 2.

Hogyan számoljuk a számtani sorozat n-edik tagját?

A számtani sorozat n-edik tagja: aₙ = a₁ + (n−1)·d, ahol a₁ az első tag, d a differencia, n a tag sorszáma. Például ha a₁ = 2 és d = 3, akkor a₁₀ = 2 + 9·3 = 29.

Hogyan számoljuk a mértani sorozat n-edik tagját?

A mértani sorozat n-edik tagja: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, ahol a₁ az első tag, q a hányados. Például ha a₁ = 3 és q = 2, akkor a₅ = 3·2⁴ = 48.

Mi a számtani sorozat összegképlete?

A számtani sorozat első n tagjának összege: Sₙ = n·(a₁ + aₙ) / 2, vagy ezzel egyenértékűen Sₙ = n·(2a₁ + (n−1)d) / 2. Például 1+2+…+100 = 100·101/2 = 5050.

Mi a mértani sorozat összegképlete?

A mértani sorozat első n tagjának összege (ha q ≠ 1): Sₙ = a₁·(qⁿ − 1) / (q − 1). Ha q = 1, akkor minden tag egyenlő, így Sₙ = n·a₁.

Mi a kapcsolat a mértani sorozat és a kamatos kamat között?

A kamatos kamat egy mértani sorozat: minden évben az előző érték q = (1 + kamatláb)-szorosa lesz. Ezért a befektetés n év múlvai értéke a₁·qⁿ alakú, ahol a₁ a kezdőtőke.

Mikor konvergens egy végtelen mértani sor?

A végtelen mértani sor akkor konvergens (van véges összege), ha a hányados abszolút értéke 1-nél kisebb (|q| < 1). Ekkor az összeg S = a₁ / (1 − q).

Kapcsolódó kalkulátorok és gyakorlás

Kamatos kamat kalkulátor – a mértani sorozat pénzügyi alkalmazása
Logaritmus kalkulátor – mértani növekedés és kitevők
Érettségi feladatsorok (megoldással) – gyakorolj éles feladatokon
Sorozatok feladatok (11. osztály)

Frissítve:2026. május 31.

📐

Témazáró Mega Bundle — 5–8. osztály

Minden témazáró egy csomagban: 5–8. osztály, 14 dolgozat, 140 feladat (A és B szintekkel), prémium tanulási réteggel.

✓ 30 napos garancia✓ Azonnali letöltés✓ Nyomtatható A4 PDF

ettől

5990 Ft

Megnézem →