Megtérülés és CAGR kalkulátor

Info

Mit tanulsz meg ebből a cikkből?

• Mi a különbség a ROI, a pénzszorzó és a CAGR között – és miért keverik össze őket sokan
• Miért félrevezető önmagában, ha valaki „3×-os" vagy „5×-ös" megtérülést ígér
• Hogyan váltasz át egy szorzót évesített hozamra: $\text{CAGR}={\text{szorzoˊ}}^{1/t}-1$
• Hogyan számolod a duplázódási időt (72-es szabály) és a reálhozamot (infláció)
• 💡 És kipróbálhatod élőben a lap tetején lévő interaktív megtérülés-kalkulátorral

Ha valaha láttál már befektetési ajánlatot, találkoztál a nagy számokkal: „a pénzed háromszorosa", „akár 5×-ös megtérülés", „+274% hozam". Ezek a számok önmagukban lenyűgözőek – és pontosan ezért félrevezetők is tudnak lenni. A kérdés ugyanis mindig ugyanaz: hány év alatt? Egy kis matematikával bármelyik ígéretet átválthatod egyetlen, tisztességesen összehasonlítható számra: az évesített hozamra (CAGR).

A három szám, amit sokan összekevernek#

Amikor egy befektetés „mennyit fialt", három különböző mutatóról beszélhetünk. Mindháromnak megvan a helye, de más kérdésre válaszolnak:

Mutató	Mit mér?	Benne van az idő?
ROI (megtérülési ráta)	teljes százalékos nyereség	❌ nincs
Pénzszorzó (money multiple)	hányszorosára nőtt a tőke	❌ nincs
CAGR (évesített hozam)	egyenletes éves növekedés	✅ igen

A trükk az, hogy az első kettőből hiányzik az idő. Emiatt egy nagy ROI vagy egy nagy szorzó lehet nagyszerű vagy gyenge is – attól függ, hány év alatt jött össze. A CAGR az a szám, amely ezt a hiányt pótolja.

ROI – a megtérülési ráta#

A ROI (Return on Investment) a legegyszerűbb mutató: a nyereséget viszonyítja a befektetett tőkéhez.

Ahol:

• $P$ = kezdeti befektetés (Principal)
• $A$ = végérték (a teljes visszakapott összeg)
• $A-P$ = a teljes hozam (nyereség)

Ha 1 000 000 Ft-ból 1 500 000 Ft lesz, akkor a ROI $=(1,5-1)/1=0,5=50\%$. Egyszerű – de figyeld meg: nem tudjuk, ez 1 év alatt történt-e vagy 10 év alatt. Ez a ROI gyengéje.

Pénzszorzó – hányszorosára nőtt a tőke#

A pénzszorzó (money multiple, MoM vagy MOIC) még egyszerűbb: a végérték osztva a befektetéssel.

A szorzó és a ROI ugyanannak a két oldala:

Tehát egy 3×-os szorzó ugyanaz, mint 200% ROI; egy 5×-ös szorzó pedig 400% ROI. A marketing gyakran a szorzót emeli ki, mert a „×5" ütősebben néz ki, mint a „400%" – de matematikailag ugyanaz az információ, és ugyanúgy hiányzik belőle az idő.

Miért félrevezető önmagában a szorzó?#

Nézzük meg ugyanazt a 3×-os szorzót különböző időtávokon, évesített hozamra átváltva:

Szorzó	Időtáv	Évesített hozam (CAGR)
3×	5 év	24,6%
3×	10 év	11,6%
3×	20 év	5,6%
3×	30 év	3,7%

Ugyanaz a „megháromszorozás" 5 év alatt kimagasló, 30 év alatt viszont alig veri az inflációt. A szorzó tehát csak az időtávval együtt értelmes. Ezért van szükség egy olyan mutatóra, amelybe be van építve az idő – ez a CAGR.

CAGR – az évesített hozam#

A CAGR (Compound Annual Growth Rate, összetett éves növekedési ráta) az az egyenletes éves hozam, amely $t$ év alatt a $P$ kezdőtőkét pontosan az $A$ végértékre növeli:

Ez a kamatos kamat képletének „visszafelé" megoldása: ott a hozamból számoljuk a végösszeget, itt a végösszegből a rejtett éves hozamot. A CAGR azért a helyes összehasonlító szám, mert különböző futamidejű befektetéseket is egy közös nevezőre hoz: „évente hány százalék".

Szorzó → CAGR: a gyakorlati átváltás#

Mivel $A/P$ épp a szorzó, a képlet még egyszerűbb:

Vagyis: emeld a szorzót az $1/t$ kitevőre, és vonj ki 1-et. Például egy $3,74\times$ szorzó 10 év alatt:

A 72-es szabály – mennyi idő alatt duplázódik a pénz?#

Ha megvan az évesített hozam, egy fejben is elvégezhető becsléssel megmondható, hány év alatt duplázódik a tőke:

Egy 14%-os CAGR mellett ez $72/14\approx 5,1$ év. A pontos érték a logaritmusos képletből jön:

ami 14%-nál $\ln 2/\ln 1,14\approx 5,29$ évet ad – a 72-es szabály tehát jó közelítés a szokásos hozamsávban.

Infláció: a reálhozam#

A nominális hozam még nem a teljes kép. Ami tényleg számít, az a reálhozam – az inflációval csökkentett, tényleges vásárlóerő-növekedés. Közelítőleg:

Pontosabban a Fisher-képlettel:

Ahol $i$ az inflációs ráta. Egy 14,1%-os nominális CAGR 5% infláció mellett:

Számoljunk végig egy valós példát#

Nézzünk egy konkrét, a gyakorlatból vett illusztratív példát. Egy Dubai ingatlan-alapú, passzív jövedelmet célzó befektetési koncepció nyilvánosan bemutatott üzleti terve a következő, egy „belépési egységre" vetített tájékoztató számokkal dolgozik (a számok illusztrációk, nem garantált eredmények):

• Kezdeti befektetés: $P=83400\text{€}$
• 10 év alatt visszakapott (passzív bevétel + utazási jóváírások) $\approx A=312000\text{€}$
• Időtáv: $t=10$ év

Ebből a három számból minden mutató kijön:

Vagyis a látványos „+274%" vagy „3,74×" a 10 éves időtávra kiterítve kb. 14% évesített hozamot jelent. Ez tisztes eredmény – de már egy olyan szám, amit össze tudsz hasonlítani más lehetőségekkel (részvényindexek, állampapír, kamatos kamatú megtakarítás), nem pedig egy önmagában lebegő „ötszörös".

Tip

Nézd meg a példa hátterét A fenti számítás egy valós, Dubai ingatlanra épülő passzív befektetési modellből származik. Ha kíváncsi vagy, pontosan hogyan áll össze a belépő és a hozam – és mi a különbség „egy egész ingatlan megvétele" és „egy kezelt, escrow-védett részesedés" között –, a részletes bemutató itt olvasható: 👉 Dubai okos befektetés – a teljes koncepció

Warning

Vigyázz a „megmaradó vagyoni értékkel". Egyes modellek a hozam mellé beszámítanak egy jövőbeli „maradványértéket" is (a példában ez tovább emelné a szorzót ~4,5×-re, a CAGR-t ~16%-ra). Ez azonban nem készpénz: a tényleges viszonteladási érték jelentősen alacsonyabb – akár nulla – is lehet. A biztos hozamot és a bizonytalan maradványértéket soha ne add össze egyetlen számmá.

Próbáld ki: interaktív megtérülés-kalkulátor#

A lap tetején található kalkulátorba írd be a kezdeti befektetést, a végső értéket és az időtávot – azonnal megkapod a teljes hozamot, a ROI-t, a pénzszorzót, a CAGR-t és a tőke duplázódási idejét. Alapból a fenti Dubai-példa számai vannak beállítva, de bármilyen saját számoddal működik, tetszőleges pénznemben.

Mikor „csal" a CAGR?#

A CAGR remek összehasonlító szám, de van néhány csapdája, amit érdemes ismerni:

• Egyenletes növekedést feltételez. A valóságban a hozam ingadozik; a CAGR csak az elejét és a végét nézi, a közte lévő hullámvasutat nem.
• Nem mutatja a kockázatot. Két befektetésnek lehet azonos CAGR-je nagyon eltérő ingadozás mellett – erre való a Sharpe-ráta.
• Díjak és adók nélkül félrevezet. A kezelési költség, jutalék és a nyereségadó „megeszi" a hozam egy részét – mindig a nettó végértékkel számolj.
• Az illikviditás rejtett kockázat. Ha a tőkéd évekre le van kötve, a papíron szép CAGR keveset ér, amíg nem tudod hozzáférni – a viszonteladhatóság számít.

Fogalomtár#

Magyar	Angol	Rövidítés
Megtérülési ráta	Return on Investment	ROI
Pénzszorzó	Money Multiple / MOIC	MoM
Évesített hozam	Compound Annual Growth Rate	CAGR
Kezdeti befektetés	Principal / Invested capital	$P$
Végérték	Final value / Exit value	$A$
Reálhozam	Real rate of return	—
Nominális hozam	Nominal rate of return	—
Duplázódási idő	Doubling time	—

Kapcsolódó számítások a MatekMegoldásokon#

• Kamatos kamat kalkulátor – a végösszeg számítása adott éves hozamból (a CAGR „előre" iránya)
• Százalékszámítás kalkulátor – a ROI és a hozamkülönbségek százalékos kezeléséhez
• Hitelkalkulátor (annuitás) – a másik oldal: mennyibe kerül a kölcsönvett pénz

Warning

Ez a cikk és a kalkulátor kizárólag a megtérülési mutatók matematikáját magyarázza és számolja. A bemutatott példaszámok illusztrációk, nem ajánlatok és nem befektetési tanácsok. A tőke kockázatnak van kitéve; a tényleges eredmény eltérhet. Pénzügyi döntés előtt tájékozódj a kockázatokról.

Gyakran Ismételt Kérdések (FAQ)#

Mi a különbség a ROI és a CAGR között?

A ROI (megtérülési ráta) a teljes százalékos nyereség a befektetett tőkéhez képest, időtáv nélkül: ROI = (végérték − befektetés) / befektetés. A CAGR ezzel szemben évesített hozam: azt mondja meg, évente hány százalékos egyenletes növekedés adná ki ugyanezt a végeredményt az adott évek alatt. Két befektetés összehasonlításához mindig a CAGR a helyes szám, mert figyelembe veszi az időt.

Hogyan számoljuk a pénzszorzót (money multiple)?

A pénzszorzó (money multiple, MoM) egyszerűen a végérték osztva a befektetéssel: szorzó = végérték / befektetés. Egy 3× szorzó azt jelenti, hogy a pénzed a háromszorosára nőtt. A szorzó és a ROI kapcsolata: ROI = szorzó − 1 (tizedesben), tehát egy 3× szorzó 200% ROI-t jelent.

Mit jelent a CAGR?

A CAGR (Compound Annual Growth Rate, összetett éves növekedési ráta) az az egyenletes éves hozam, amely az adott időtáv alatt a kezdeti összeget a végső értékre növeli. Képlete: CAGR = (végérték / befektetés)^(1/év) − 1. Ez a legjobb egyetlen szám különböző hosszúságú befektetések összehasonlítására.

Miért félrevezető önmagában a szorzó?

Mert nincs benne az idő. Egy 3×-os szorzó 5 év alatt kiváló (kb. 24,6% éves hozam), ugyanez 30 év alatt viszont gyenge (kb. 3,7% évente). A puszta szorzó vagy a teljes ROI ezért félrevezető lehet: mindig kérdezd meg, hány év alatt jött össze, és számold át CAGR-re.

Hogyan váltok át szorzót évesített hozamra?

A szorzót emeld az 1/év kitevőre, és vonj ki 1-et: CAGR = szorzó^(1/év) − 1. Például egy 3,74× szorzó 10 év alatt: 3,74^(0,1) − 1 ≈ 0,141, azaz kb. 14,1% éves hozam. Ez az évesítés teszi összehasonlíthatóvá a különböző futamidejű lehetőségeket.

Mennyi idő alatt duplázódik meg a pénzem?

Gyors becslés a 72-es szabály: oszd el 72-t az éves hozammal. 14%-os CAGR mellett 72 / 14 ≈ 5,1 év. Pontosabban a duplázódási idő = ln(2) / ln(1 + CAGR). A kettő közel van egymáshoz a szokásos hozamsávban.

Mi a reálhozam, és miért fontos?

A reálhozam az inflációval csökkentett hozam – ez mutatja a tényleges vásárlóerő-növekedést. Közelítőleg reálhozam ≈ nominális hozam − infláció. Pontosabban a Fisher-képlettel: (1 + nominális) / (1 + infláció) − 1. Egy 14%-os nominális CAGR 5% infláció mellett kb. 8,6% reálhozamot jelent.

A kalkulátor befektetési tanácsot ad?

Nem. A kalkulátor és a cikk kizárólag a megtérülési mutatók matematikáját magyarázza és számolja. A bemutatott példaszámok illusztrációk, nem ajánlatok és nem befektetési tanácsok. Konkrét befektetési döntés előtt tájékozódj a kockázatokról és szükség esetén kérj szakértői véleményt.

Források és hivatkozások#

• Return on Investment (ROI) – Investopedia – a megtérülési ráta definíciója
• Compound Annual Growth Rate (CAGR) – Investopedia – az évesített hozam képlete és értelmezése
• Rate of return – Wikipedia – a hozamszámítás matematikai háttere
• Rule of 72 – Investopedia – a duplázódási idő gyorsbecslése
• MNB – infláció – a reálhozam-számításhoz szükséges inflációs adatok