Egyenletrendszerek feladatok megoldással

Egyenletrendszerek feladatok

1🟢 Könnyű

Oldd meg az egyenletrendszert! \;x + y = 10\; és \;x - y = 4

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Adjuk össze a két egyenletet — az y kiesik:

(x + y) + (x - y) = 10 + 4 \;\Rightarrow\; 2x = 14

→ x = 7

2. lépés

Helyettesítsük vissza az első egyenletbe:

7 + y = 10

→ y = 3

📌 Végeredmény: x = 7,\ y = 3

✓ Ellenőrzés: 7 + 3 = 10 ✓ és 7 - 3 = 4 ✓

2🟢 Könnyű

Oldd meg behelyettesítéssel! \;y = 2x\; és \;x + y = 9

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Az első egyenletben y már ki van fejezve. Helyettesítsük be a másodikba:

x + 2x = 9 \;\Rightarrow\; 3x = 9

→ x = 3

2. lépés

Visszahelyettesítünk: y = 2x

y = 2 \cdot 3

→ y = 6

📌 Végeredmény: x = 3,\ y = 6

✓ Ellenőrzés: 3 + 6 = 9 ✓ és 6 = 2 \cdot 3 ✓

3🟡 Közepes

Oldd meg egyenlő együtthatós módszerrel! \;2x + 3y = 13\; és \;2x - y = 1

Megoldás megtekintése

1. lépés

Az x együtthatója mindkét egyenletben 2 — vonjuk ki a másodikat az elsőből, az x kiesik:

(2x + 3y) - (2x - y) = 13 - 1 \;\Rightarrow\; 4y = 12

→ y = 3

2. lépés

Helyettesítsük vissza a második egyenletbe:

2x - 3 = 1 \;\Rightarrow\; 2x = 4

→ x = 2

📌 Végeredmény: x = 2,\ y = 3

✓ Ellenőrzés: 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 13 ✓ és 2 \cdot 2 - 3 = 1 ✓

4🟡 Közepes

A piacon 2 alma és 3 körte 850 Ft, míg 1 alma és 2 körte 500 Ft. Mennyibe kerül egy alma és egy körte?

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Jelölje a az alma, k a körte árát: 2a + 3k = 850 és a + 2k = 500. A másodikból:

a = 500 - 2k

2. lépés

Behelyettesítjük az elsőbe:

2(500 - 2k) + 3k = 850 \;\Rightarrow\; 1000 - k = 850

→ k = 150

3. lépés

Visszahelyettesítünk az a = 500 - 2k képletbe:

a = 500 - 2 \cdot 150

→ a = 200

📌 Végeredmény: alma 200 Ft, körte 150 Ft

✓ Ellenőrzés: 2 \cdot 200 + 3 \cdot 150 = 850 Ft ✓ és 200 + 2 \cdot 150 = 500 Ft ✓

5🔴 Nehéz

Oldd meg, és add meg a két egyenes metszéspontját! \;3x + 2y = 12\; és \;x - y = -1

Megoldás megtekintése

1. lépés

A második egyenletből fejezzük ki x-et:

x = y - 1

2. lépés

Behelyettesítjük az elsőbe:

3(y - 1) + 2y = 12 \;\Rightarrow\; 5y - 3 = 12

→ y = 3

3. lépés

Visszahelyettesítünk: x = y - 1

x = 3 - 1

→ x = 2

4. lépés

Mindkét egyenlet egy-egy egyenes; a megoldás a metszéspontjuk:

→ (2,\ 3)

📌 Végeredmény: (2,\ 3)

✓ Ellenőrzés: 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 12 ✓ és 2 - 3 = -1 ✓

Info
⚠️ Pontosság: A feladatok és megoldások tájékoztató jellegűek, gondosan ellenőriztük őket. Előfordulhatnak hibák — ha találsz egyet, kérjük jelezd!

Mit fogsz tanulni?

Ezen az oldalon a kétismeretlenes lineáris egyenletrendszerek megoldását gyakorolhatod három módszerrel: behelyettesítés, egyenlő együtthatós módszer és grafikus megoldás. Ez 9. osztályos kulcstéma, az érettségin is gyakori.

Elméleti összefoglaló

Mi az egyenletrendszer?

Két egyenlet, két ismeretlennel — közös $(x, y)$ megoldást keresünk:

{a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}

Megoldási módszerek

Behelyettesítő módszer: az egyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent, és behelyettesítjük a másikba.
Egyenlő együtthatós (kiküszöbölő) módszer: az egyenleteket úgy szorozzuk, hogy összeadva/kivonva az egyik ismeretlen kiessen.
Grafikus módszer: mindkét egyenlet egy egyenes; a megoldás a metszéspontjuk.

Tip
A megoldás végén mindig ellenőrizz: helyettesítsd vissza az $(x, y)$ párt mindkét eredeti egyenletbe!

Feladatok

Összegzés

A lineáris egyenletrendszer megoldása az a számpár, amely mindkét egyenletet kielégíti — grafikusan a két egyenes metszéspontja. Válaszd a behelyettesítő módszert, ha az egyik ismeretlen könnyen kifejezhető, és az egyenlő együtthatós módszert, ha az együtthatók kényelmesen kiejthetők.

Kapcsolódó tartalmak

Egyenletrendszerek feladatok — 10. osztály — nehezebb feladatok
Függvények feladatok — 9. osztály — az egyenes mint lineáris függvény
Elsőfokú egyenletek — 9. osztály
9. osztály — összes témakör

Gyakran ismételt kérdések

Mi az a lineáris egyenletrendszer?

Két (vagy több) egyenlet, amelyeknek közös megoldását keressük. Két ismeretlen (x, y) esetén olyan számpárt keresünk, amely mindkét egyenletet kielégíti. Grafikusan ez két egyenes metszéspontja.

Hogyan működik a behelyettesítő módszer?

Az egyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent (pl. x-et), majd ezt behelyettesítjük a másik egyenletbe. Így egy egyismeretlenes egyenletet kapunk, amit megoldunk, végül visszahelyettesítünk.

Mi az egyenlő együtthatós (kiküszöbölő) módszer?

Az egyenleteket úgy szorozzuk, hogy az egyik ismeretlen együtthatója egyenlő (vagy ellentett) legyen, majd kivonjuk (vagy összeadjuk) az egyenleteket — így az egyik ismeretlen kiesik.

Mit jelent grafikusan az egyenletrendszer megoldása?

Mindkét egyenlet egy-egy egyenest ábrázol. A megoldás a két egyenes metszéspontja. Ha párhuzamosak, nincs megoldás; ha egybeesnek, végtelen sok megoldás van.

Frissítve:2026. június 20.

📐

Témazáró Mega Bundle — 5–8. osztály

Minden témazáró egy csomagban: 5–8. osztály, 14 dolgozat, 140 feladat (A és B szintekkel), prémium tanulási réteggel.

✓ 30 napos garancia✓ Azonnali letöltés✓ Nyomtatható A4 PDF

ettől

5990 Ft

Megnézem →