Az ABC háromszögben a = 15 cm, b = 10 cm és α = 70°. Számítsd ki a háromszög β és γ szögét (tized fokra) és a c oldalát (két tizedesjegyre)!

β ≈ 38,8°, γ ≈ 71,2°, c ≈ 15,11 cm

Az ABC háromszögben a = 8 cm, b = 11 cm és α = 40°. Határozd meg az ÖSSZES ilyen háromszög β és γ szögét (tized fokra) és c oldalát (két tizedesjegyre)!

két háromszög: β_1 ≈ 62,1°, γ_1 ≈ 77,9°, c_1 ≈ 12,17 cm; illetve β_2 ≈ 117,9°, γ_2 ≈ 22,1°, c_2 ≈ 4,68 cm

Szinusztétel és koszinusztétel feladatok

Q: Mit mond ki a szinusztétel?

Bármely háromszögben az oldalak aránya megegyezik a velük szemközti szögek szinuszainak arányával: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R, ahol R a háromszög köré írt körének sugara.

Q: Mit mond ki a koszinusztétel?

Bármely háromszögben egy oldal négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetösszegéből kivonva e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát: c² = a² + b² − 2ab · cos γ. Ha γ = 90°, a cos γ = 0 miatt éppen a Pitagorasz-tételt kapjuk.

Q: Mikor használjam a szinusztételt és mikor a koszinusztételt?

Szinusztételt akkor, ha ismert egy oldal és a vele szemközti szög (plusz még egy adat): két szög és egy oldal, vagy két oldal és az egyikkel szemközti szög. Koszinusztételt akkor, ha ismert két oldal és a közbezárt szög (a harmadik oldal kell), vagy mindhárom oldal (a szögek kellenek).

Q: Mi a kétértelmű eset a szinusztételnél?

Ha két oldal és a rövidebbikkel szemközti szög ismert, a szinusztételből kapott sin β értékhez két szög tartozhat: egy hegyesszög és a 180°-ra kiegészítő tompaszög. Mindkettőt meg kell vizsgálni: ha a tompaszög és a megadott szög összege kisebb 180°-nál, két különböző háromszög létezik. Ha a megadott szöggel szemközti oldal a hosszabb, csak egy megoldás van; ha pedig sin β > 1 adódik, nincs ilyen háromszög.

1🟢 Könnyű

Az ABC háromszögben a = 12 cm, \alpha = 40° és \beta = 65°. Számítsd ki a b oldal hosszát! (Két tizedesjegyre kerekíts!)

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Két szög és egy oldal ismert → szinusztétel: az oldalak aránya a szemközti szögek szinuszainak aránya.

\frac{b}{a} = \frac{\sin \beta}{\sin \alpha}

2. lépés

Kifejezzük b-t és behelyettesítünk

b = \frac{a \cdot \sin \beta}{\sin \alpha} = \frac{12 \cdot \sin 65°}{\sin 40°} \approx \frac{12 \cdot 0{,}9063}{0{,}6428} \approx 16{,}92 \text{ cm}

📌 Végeredmény: b \approx 16{,}92 cm

✓ A nagyobb szöggel (65° > 40°) szemben nagyobb oldal áll: 16{,}92 > 12 ✓

2🟢 Könnyű

Egy háromszög két oldala b = 7 cm és c = 10 cm, az általuk közbezárt szög \alpha = 60°. Milyen hosszú a harmadik oldal? (Add meg pontosan és két tizedesjegyre kerekítve is!)

Próbáld meg egyedül! Írd be a végeredményt:

Megoldás megtekintése

1. lépés

Két oldal és a közbezárt szög ismert → koszinusztétel

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos \alpha

2. lépés

Behelyettesítés (\cos 60° = \frac{1}{2})

a^2 = 49 + 100 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 149 - 70 = 79

3. lépés

Gyökvonás

a = \sqrt{79} \approx 8{,}89 \text{ cm}

📌 Végeredmény: a = \sqrt{79} \approx 8{,}89 cm

3🟢 Könnyű

Egy háromszög két oldala 9 cm és 14 cm, az általuk közbezárt szög 120°. Mekkora a háromszög területe? (Add meg pontosan és két tizedesjegyre kerekítve is!)

Megoldás megtekintése

1. lépés

Két oldal és a közbezárt szög ismeretében a terület

T = \frac{a \cdot b \cdot \sin \gamma}{2}

2. lépés

\sin 120° = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, így

T = \frac{9 \cdot 14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{126\sqrt{3}}{4} = \frac{63\sqrt{3}}{2} \approx 54{,}56 \text{ cm}^2

📌 Végeredmény: T = \frac{63\sqrt{3}}{2} \approx 54{,}56 cm²

4🟡 Közepes

Egy háromszög oldalai 5 cm, 7 cm és 8 cm. Számítsd ki a háromszög szögeit! (Tized fokra kerekíts!)

Megoldás megtekintése

1. lépés

Három oldal ismert → a koszinusztételt a szögre rendezzük. A 7 cm-es oldallal szemközti szög:

\cos \beta = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \frac{40}{80} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; \beta = 60°

2. lépés

Az 5 cm-es oldallal szemközti szög:

\cos \alpha = \frac{7^2 + 8^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{88}{112} = \frac{11}{14} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 38{,}2°

3. lépés

A harmadik szög a belső szögek összegéből

\gamma = 180° - 60° - 38{,}2° \approx 81{,}8°

📌 Végeredmény: \approx 38{,}2°, 60° és \approx 81{,}8°

✓ Közvetlenül: \cos \gamma = \frac{5^2 + 7^2 - 8^2}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{1}{7}, ebből \gamma \approx 81{,}8° ✓ (a legnagyobb oldallal szemben a legnagyobb szög)

5🟡 Közepes

Az ABC háromszögben a = 15 cm, b = 10 cm és \alpha = 70°. Számítsd ki a háromszög \beta és \gamma szögét (tized fokra) és a c oldalát (két tizedesjegyre)!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Szinusztétel a \beta szögre

\sin \beta = \frac{b \cdot \sin \alpha}{a} = \frac{10 \cdot \sin 70°}{15} \approx 0{,}6265

2. lépés

A 0{,}6265 szinuszú szögek: \approx 38{,}8° és \approx 141{,}2°. Mivel b < a, ezért \beta < \alpha = 70°, így csak a hegyesszög jó (a 141{,}2° a 70°-kal együtt már több is lenne 180°-nál).

\beta \approx 38{,}8°

3. lépés

A harmadik szög

\gamma = 180° - 70° - 38{,}8° = 71{,}2°

4. lépés

A c oldal ismét szinusztétellel

c = \frac{a \cdot \sin \gamma}{\sin \alpha} = \frac{15 \cdot \sin 71{,}2°}{\sin 70°} \approx \frac{15 \cdot 0{,}9466}{0{,}9397} \approx 15{,}11 \text{ cm}

📌 Végeredmény: \beta \approx 38{,}8°, \gamma \approx 71{,}2°, c \approx 15{,}11 cm

6🟡 Közepes

Hány olyan háromszög van, amelyben b = 10 cm, \alpha = 30°, és a) a = 12 cm; b) a = 4 cm; c) a = 7 cm? (Indokold számolással!)

Megoldás megtekintése

1. lépés

Mindhárom esetben szinusztétellel számoljuk \sin \beta-t:

\sin \beta = \frac{b \cdot \sin \alpha}{a} = \frac{10 \cdot 0{,}5}{a} = \frac{5}{a}

2. lépés

a) \sin \beta = \frac{5}{12} \approx 0{,}4167, ebből \beta \approx 24{,}6° vagy \approx 155{,}4°. A tompaszög nem jó, mert 30° + 155{,}4° > 180° (és b < a miatt \beta < \alpha is kell). → 1 háromszög

3. lépés

b) \sin \beta = \frac{5}{4} = 1{,}25 > 1 — ilyen szög nincs. → 0 háromszög: a C csúcs az AB egyenestől b \cdot \sin \alpha = 5 cm-re van, így a 4 cm-es oldal nem ér le az AB egyenesig (a < b \cdot \sin \alpha)

4. lépés

c) \sin \beta = \frac{5}{7} \approx 0{,}7143, ebből \beta_1 \approx 45{,}6° vagy \beta_2 \approx 134{,}4°. Mindkettő jó, mert 30° + 134{,}4° = 164{,}4° < 180°. → 2 háromszög

📌 Végeredmény: a) 1; b) 0 (nincs ilyen háromszög); c) 2

✓ Szabály (hegyesszögű \alpha-ra, itt b \cdot \sin \alpha = 5): a < 5 → 0; a = 5 vagy a \ge b → 1; b \cdot \sin \alpha < a < b → 2 megoldás. a) 12 \ge 10 → 1 ✓; b) 4 < 5 → 0 ✓; c) 5 < 7 < 10 → 2 ✓

7🔴 Nehéz

Az ABC háromszögben a = 8 cm, b = 11 cm és \alpha = 40°. Határozd meg az ÖSSZES ilyen háromszög \beta és \gamma szögét (tized fokra) és c oldalát (két tizedesjegyre)!

Megoldás megtekintése

1. lépés

Szinusztétel a \beta szögre

\sin \beta = \frac{b \cdot \sin \alpha}{a} = \frac{11 \cdot \sin 40°}{8} \approx 0{,}8838

2. lépés

Két szög tartozik ehhez a szinuszhoz:

\beta_1 \approx 62{,}1°, \qquad \beta_2 = 180° - 62{,}1° = 117{,}9°

3. lépés

Mindkettő megfelel, mert 40° + 117{,}9° = 157{,}9° < 180°. A kétértelmű eset feltétele, b \cdot \sin \alpha < a < b, valóban teljesül: 11 \cdot \sin 40° \approx 7{,}07 < 8 < 11.

4. lépés

1. háromszög: \gamma_1 = 180° - 40° - 62{,}1° = 77{,}9°

c_1 = \frac{a \cdot \sin \gamma_1}{\sin \alpha} = \frac{8 \cdot \sin 77{,}9°}{\sin 40°} \approx 12{,}17 \text{ cm}

5. lépés

2. háromszög: \gamma_2 = 180° - 40° - 117{,}9° = 22{,}1°

c_2 = \frac{a \cdot \sin \gamma_2}{\sin \alpha} = \frac{8 \cdot \sin 22{,}1°}{\sin 40°} \approx 4{,}68 \text{ cm}

📌 Végeredmény: két háromszög: \beta_1 \approx 62{,}1°, \gamma_1 \approx 77{,}9°, c_1 \approx 12{,}17 cm; illetve \beta_2 \approx 117{,}9°, \gamma_2 \approx 22{,}1°, c_2 \approx 4{,}68 cm

✓ Koszinusztétellel is: a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha mindkét c-re \approx 64 ✓

8🟡 Közepes

Egy paralelogramma oldalai 8 cm és 5 cm, hegyesszöge 50°. Számítsd ki a két átló hosszát és a paralelogramma területét! (Két tizedesjegyre kerekíts!)

Megoldás megtekintése

1. lépés

A rövidebb átló a 50°-os szöggel szemben áll (koszinusztétel)

e^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 50° \approx 89 - 51{,}42 = 37{,}58 \;\Rightarrow\; e \approx 6{,}13 \text{ cm}

2. lépés

A hosszabb átló a 130°-os szöggel szemben áll, és \cos 130° = -\cos 50°

f^2 = 8^2 + 5^2 + 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \cos 50° \approx 89 + 51{,}42 = 140{,}42 \;\Rightarrow\; f \approx 11{,}85 \text{ cm}

3. lépés

A terület két egybevágó háromszög területe, azaz

T = a \cdot b \cdot \sin 50° = 40 \cdot \sin 50° \approx 30{,}64 \text{ cm}^2

📌 Végeredmény: e \approx 6{,}13 cm, f \approx 11{,}85 cm, T \approx 30{,}64 cm²

✓ Paralelogramma-tétel: e^2 + f^2 = 2(a^2 + b^2) = 178, és 37{,}58 + 140{,}42 = 178 ✓

9🟡 Közepes

Két hajó egyszerre indul ugyanabból a kikötőből. Az egyik 18 km/h sebességgel halad észak felé, a másik 24 km/h-val egy olyan egyenes mentén, amely az északi iránnyal 50°-os szöget zár be. Milyen messze lesznek egymástól 2 óra múlva? (Két tizedesjegyre kerekíts!)

Megoldás megtekintése

1. lépés

2 óra alatt megtett utak: 2 \cdot 18 = 36 km és 2 \cdot 24 = 48 km. A két útszakasz 50°-os szöget zár be, a hajók távolsága a háromszög harmadik oldala.

2. lépés

Koszinusztétel

d^2 = 36^2 + 48^2 - 2 \cdot 36 \cdot 48 \cdot \cos 50° \approx 1296 + 2304 - 2221{,}47 = 1378{,}53

3. lépés

Gyökvonás

d \approx \sqrt{1378{,}53} \approx 37{,}13 \text{ km}

📌 Végeredmény: \approx 37{,}13 km

10🟡 Közepes

Egy 1:25\,000 méretarányú turistatérképen a kilátó a templomtól 6{,}4 cm-re, a víztoronytól 9 cm-re van, és a kilátóból a templom, illetve a víztorony felé húzott szakaszok 72°-os szöget zárnak be. Milyen messze van a valóságban a templom a víztoronytól? (Egész méterre kerekíts!)

Megoldás megtekintése

1. lépés

Átváltás valódi távolságra: 1 cm a térképen 25\,000 cm = 250 m.

6{,}4 \text{ cm} \to 1600 \text{ m}, \qquad 9 \text{ cm} \to 2250 \text{ m}

2. lépés

Koszinusztétel a kilátónál lévő 72°-os szöggel

d^2 = 1600^2 + 2250^2 - 2 \cdot 1600 \cdot 2250 \cdot \cos 72° \approx 7\,622\,500 - 2\,224\,922 = 5\,397\,578

3. lépés

Gyökvonás

d \approx \sqrt{5\,397\,578} \approx 2323 \text{ m}

📌 Végeredmény: \approx 2323 m

✓ Ugyanez térképi centiméterben: \sqrt{6{,}4^2 + 9^2 - 2 \cdot 6{,}4 \cdot 9 \cdot \cos 72°} \approx 9{,}29 cm, és 9{,}29 \cdot 250 \approx 2323 m ✓

11🔴 Nehéz

Egy folyó egyenes partján kijelölünk két pontot, A-t és B-t, egymástól 120 m-re. A túlparton álló C fát A-ból az AB egyenessel 62°-os, B-ből 75°-os szögben látjuk (a háromszög belső szögei). Milyen messze van a fa az A ponttól, és milyen széles a folyó, ha a fa közvetlenül a túlparton áll? (Két tizedesjegyre kerekíts!)

Megoldás megtekintése

1. lépés

A harmadik szög a fánál

\gamma = 180° - 62° - 75° = 43°

2. lépés

Az AC oldal a B-nél lévő 75°-os szöggel szemben áll; szinusztétel:

AC = \frac{AB \cdot \sin 75°}{\sin 43°} \approx \frac{120 \cdot 0{,}9659}{0{,}6820} \approx 169{,}96 \text{ m}

3. lépés

A folyó szélessége a C pont távolsága az AB egyenestől: a derékszögű háromszögben ez a 62°-kal szemközti befogó.

m = AC \cdot \sin 62° \approx 169{,}96 \cdot 0{,}8829 \approx 150{,}06 \text{ m}

📌 Végeredmény: AC \approx 169{,}96 m, a folyó szélessége \approx 150{,}06 m

✓ B felől is: BC = \frac{120 \cdot \sin 62°}{\sin 43°} \approx 155{,}36 m, és BC \cdot \sin 75° \approx 150{,}06 m ✓

12🔴 Nehéz

Egy háromszög oldalai 3 cm, 5 cm és 7 cm. Számítsd ki a legnagyobb szögét, a területét és a köré írt körének sugarát! (Pontos értéket és két tizedesjegyre kerekített értéket is adj meg!)

Megoldás megtekintése

1. lépés

A legnagyobb szög a leghosszabb (7 cm-es) oldallal szemben van; koszinusztétel:

\cos \gamma = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2} \;\Rightarrow\; \gamma = 120°

2. lépés

Terület a két rövidebb oldallal és a közbezárt 120°-kal

T = \frac{3 \cdot 5 \cdot \sin 120°}{2} = \frac{15 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \approx 6{,}50 \text{ cm}^2

3. lépés

A szinusztétel teljes alakja: \frac{c}{\sin \gamma} = 2R

R = \frac{7}{2 \cdot \sin 120°} = \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \approx 4{,}04 \text{ cm}

📌 Végeredmény: a legnagyobb szög 120°; T = \frac{15\sqrt{3}}{4} \approx 6{,}50 cm²; R = \frac{7\sqrt{3}}{3} \approx 4{,}04 cm

✓ \cos \gamma < 0, tehát a háromszög tompaszögű — ez egyezik azzal, hogy 3^2 + 5^2 = 34 < 49 = 7^2 ✓

Info
Röviden — szinusztétel és koszinusztétel feladatok

12 feladat lépésenkénti megoldással, könnyűtől a nehézig

Hiányzó oldal és szög tetszőleges (nem derékszögű) háromszögben

A kétértelmű eset: mikor van 0, 1 vagy 2 megoldás

Háromszög területe $T = \frac{ab s i n γ}{2}$ , köré írt kör sugara, szöveges és térképes feladatok

💡 Ha ismert egy oldal és a vele szemközti szög → szinusztétel; ha két oldal és a közbezárt szög vagy három oldal → koszinusztétel.

Mit fogsz tanulni?

A derékszögű háromszögben a szögfüggvények elegendők (lásd a 10. osztályos trigonometria feladatokat). Tetszőleges háromszögben viszont két tétel kell: a szinusztétel és a koszinusztétel. Ezen az oldalon megtanulod, melyiket mikor használd, hogyan kezeld a szinusztétel kétértelmű esetét, és hogyan oldj meg velük gyakorlati (földmérési, navigációs, térképes) feladatokat. A témakör a 11. osztály tananyaga, és az érettségin rendszeresen előkerül.

Mi a szinusztétel?

Bármely háromszögben az oldalak aránya a szemközti szögek szinuszainak aránya:

\frac{a}{sin α} = \frac{b}{sin β} = \frac{c}{sin γ} = 2 R

Ahol $a, b, c$ = a háromszög oldalai, $α, β, γ$ = a velük szemközti szögek, $R$ = a háromszög köré írt körének sugara.

Mikor használd? Ha ismert egy oldal és a vele szemközti szög, plusz egy további adat:

két szög és egy oldal → a hiányzó oldalak;
két oldal és az egyikkel szemközti szög → a másik szög (figyelj a kétértelmű esetre!).

Mi a koszinusztétel?

Bármely háromszögben:

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab \cdot cos γ

Ahol $a, b$ = két oldal, $γ$ = az általuk közbezárt szög, $c$ = a $γ$ -val szemközti (harmadik) oldal. Ha $γ = 90°$ , akkor $cos γ = 0$ , és visszakapjuk a Pitagorasz-tételt.

Szög kiszámításához rendezd át:

cos γ = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}

Ahol $γ$ = a $c$ oldallal szemközti szög; ha $cos γ < 0$ , a szög tompaszög.

Mikor használd? Két oldal és a közbezárt szög ismeretében a harmadik oldalra, illetve három oldal ismeretében a szögekre.

Hogyan számoljuk ki a háromszög területét szinusszal?

T = \frac{a \cdot b \cdot sin γ}{2}

Ahol $a, b$ = két oldal, $γ$ = az általuk közbezárt szög, $T$ = a háromszög területe.

Mi a kétértelmű eset, és hogyan kezeljük?

Ha két oldal és az egyikkel szemközti szög ismert (pl. $a$ , $b$ , $α$ ), a szinusztételből $sin β$ -t kapjuk. Egy $0$ és $1$ közötti szinuszértékhez két szög tartozik: $β_{1}$ (hegyesszög) és $β_{2} = 180° - β_{1}$ (tompaszög).

Eset	Hány háromszög?
$sin β > 1$	0 — nincs ilyen háromszög
$a \geq b$ (a megadott szöggel szemközti oldal a hosszabb)	1 — csak a hegyesszög jó
$a < b$ , $sin β < 1$ és $α$ hegyesszög	2 — mindkét szög jó, mert ekkor $α + β_{2} < 180°$
$sin β = 1$	1 — derékszögű háromszög

Ha a megadott $α$ szög derékszög vagy tompaszög, háromszög csak $a > b$ esetén létezik (pontosan egy), hiszen a háromszög legnagyobb szögével szemben a leghosszabb oldal áll.

Tip
A „nagyobb oldallal szemben nagyobb szög” szabály gyors ellenőrzés: ha $b < a$ , akkor $β < α$ , így a tompaszögű megoldás biztosan kiesik.

Feladatok

Összegzés

Általános háromszögben az első kérdés mindig: mi ismert? Ha egy oldal és a vele szemközti szög → szinusztétel; ha két oldal és a közbezárt szög, vagy mindhárom oldal → koszinusztétel. A szinusztételből kapott szögnél mindig nézd meg, lehet-e tompaszög is (kétértelmű eset), és a részeredményeket kerekítés nélkül vidd tovább.

Kapcsolódó tartalmak

Trigonometria feladatok — 10. osztály — szögfüggvények derékszögű háromszögben
Szögfüggvények — részletes elmélet
Szögfüggvény kalkulátor — sin, cos, tg értékek gyors kiszámítása
Trigonometria típusfeladatok — Érettségi
Számtani és mértani sorozat feladatok — 11. osztály
11. osztály — összes témakör

Gyakran ismételt kérdések

Mit mond ki a szinusztétel?

Bármely háromszögben az oldalak aránya megegyezik a velük szemközti szögek szinuszainak arányával: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R, ahol R a háromszög köré írt körének sugara.

Mit mond ki a koszinusztétel?

Bármely háromszögben egy oldal négyzete egyenlő a másik két oldal négyzetösszegéből kivonva e két oldal és az általuk közbezárt szög koszinuszának kétszeres szorzatát: c² = a² + b² − 2ab · cos γ. Ha γ = 90°, a cos γ = 0 miatt éppen a Pitagorasz-tételt kapjuk.

Mikor használjam a szinusztételt és mikor a koszinusztételt?

Szinusztételt akkor, ha ismert egy oldal és a vele szemközti szög (plusz még egy adat): két szög és egy oldal, vagy két oldal és az egyikkel szemközti szög. Koszinusztételt akkor, ha ismert két oldal és a közbezárt szög (a harmadik oldal kell), vagy mindhárom oldal (a szögek kellenek).

Mi a kétértelmű eset a szinusztételnél?

Ha két oldal és a rövidebbikkel szemközti szög ismert, a szinusztételből kapott sin β értékhez két szög tartozhat: egy hegyesszög és a 180°-ra kiegészítő tompaszög. Mindkettőt meg kell vizsgálni: ha a tompaszög és a megadott szög összege kisebb 180°-nál, két különböző háromszög létezik. Ha a megadott szöggel szemközti oldal a hosszabb, csak egy megoldás van; ha pedig sin β > 1 adódik, nincs ilyen háromszög.

Hogyan számoljuk ki a háromszög területét két oldalból és a közbezárt szögből?

A terület a két oldal és a közbezárt szög szinuszának szorzatának fele: T = (a · b · sin γ) / 2. Például 9 cm és 14 cm oldal, 120°-os közbezárt szög esetén T = 63√3 / 2 ≈ 54,56 cm².

Hogyan dönthető el a koszinusztétellel, hogy a háromszög hegyes-, derék- vagy tompaszögű?

Vizsgáld a leghosszabb oldallal szemközti szöget. Ha a leghosszabb oldal négyzete kisebb a másik kettő négyzetösszegénél, a koszinusz pozitív, a háromszög hegyesszögű; ha egyenlő, derékszögű; ha nagyobb, a koszinusz negatív, a háromszög tompaszögű.

Milyen pontossággal kell kerekíteni a szinusztétel és a koszinusztétel feladatokban?

Ha a feladat mást nem kér, a hosszakat általában két tizedesjegyre, a szögeket tized fokra kerekítjük. A részeredményeket érdemes kerekítés nélkül (a számológép memóriájában) továbbvinni, és csak a végeredményt kerekíteni, különben a hiba felhalmozódik.

Frissítve:2026. október 19.

📐

Témazáró dolgozatok — 11. osztály (PDF, megoldókulccsal)

Három témazáró: hatvány, gyök és exponenciális egyenletek; logaritmus; sorozatok (kamatos kamat is). Mindegyik két párhuzamos csoporttal (A és B, 10–10 feladat), 3 ★ kihívással és Felkészítővel. 3 PDF, 69 feladat.

✓ 30 napos garancia✓ Azonnali letöltés✓ Nyomtatható A4 PDF

ettől

1990 Ft

Megnézem →

Előző oldalSzámtani és mértani sorozat feladatok Következő oldalKombinatorika feladatok